第二十二章極限與連續(xù)

授課日期授課班級(jí)授課課時(shí)授課形式新授授課章節(jié)名稱22.1極限使用教具多媒體教學(xué)目的1.了解數(shù)列極限的概念.教學(xué)重點(diǎn)了解數(shù)列極限的概念教學(xué)難點(diǎn)了解數(shù)列極限的概念內(nèi)容更刪課外作業(yè)課本習(xí)題教學(xué)后記

授課主要內(nèi)容或板書(shū)設(shè)計(jì)函數(shù)的概念（二）1極限：例題12探究：例題23總結(jié)方法：練習(xí)1練習(xí)2小結(jié):作業(yè):

課堂教學(xué)安排教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟復(fù)習(xí)探究新課講授教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)戰(zhàn)國(guó)時(shí)代哲學(xué)家莊周著的<莊子天下篇>引用過(guò)一句話：“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”假設(shè)原錘長(zhǎng)為1，第n天剩下的錘長(zhǎng)記為an（1）試寫出數(shù)列}的前5項(xiàng)。n（2）隨著n的無(wú)限增大，an的變化趨勢(shì)是什么？（3）“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”數(shù)列的概念定義:如果按照某一法則，對(duì)每個(gè)xeN+,對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)an，這些實(shí)數(shù)xn按照下標(biāo)n從小到大排列得到的一個(gè)序列x1,x2,x3,xn,就叫做數(shù)列，簡(jiǎn)記為數(shù)列{a} ……n例題1觀察下列數(shù)列的變化趨勢(shì)，寫出它們的極限1（1）a—n=na2—-n= n（3）a——n=3n（4）an_-2探究讓學(xué)生在給出相應(yīng)的探究結(jié)論以后抽象出定義域和值域的一般含義.定義講解習(xí)題講解3

練習(xí)p3寫出下列數(shù)列的極限1⑴a—n=2n3n-1a——n=n/、I1an_1-3a5-(-1)n+1n=an=24a(—)nn_5思考交流p3學(xué)生練習(xí)4

授課日期授課班級(jí)授課課時(shí)授課形式新授授課章節(jié)名稱22.2函數(shù)的極限1使用教具多媒體教學(xué)目的.理解當(dāng)X-+8,X-—8,X-8時(shí)，函數(shù)f(X)的極限的概念..從函數(shù)的變化趨勢(shì)，理解掌握函數(shù)極限的概念..會(huì)求當(dāng)函數(shù)的自變量分別趨于+8,—8,8時(shí)的極限.教學(xué)重點(diǎn)從函數(shù)的變化趨勢(shì)來(lái)理解極限的概念，體會(huì)極限思想教學(xué)難點(diǎn)對(duì)極限概念如何可從變化趨勢(shì)的角度來(lái)正確理解內(nèi)容更刪課外作業(yè)課本習(xí)題教學(xué)后記

授課主要內(nèi)容或板書(shū)設(shè)計(jì)函數(shù)的概念（1）1函數(shù)的極限：例題12探究：例題23總結(jié)方法：練習(xí)1練習(xí)2小結(jié):作業(yè):

課堂教學(xué)安排教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟探究新課講授教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)復(fù)習(xí)：數(shù)列的極限一.新課講解.數(shù)列極限的定義：一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)窮數(shù)列｛a｝的項(xiàng)a無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)a(即aan n^~^?^?^?" n無(wú)限趨近于0),那么就說(shuō)數(shù)列｛an｝以a為極限，或者說(shuō)a是數(shù)列｛aj的極限.記作liman=a,nf8讀作“當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，an的極限等于a”“nf8”表示“n趨向于無(wú)窮大”，即n無(wú)限增大的意思」ima=a有時(shí)也記作：當(dāng)nfnnf88時(shí)，afa..幾個(gè)重要極限：1八 一八八lim—=0 (2)limC=C(Cnf8n nf8是常數(shù))(3)無(wú)窮等比數(shù)列｛/｝(回<1)的極限是0,即limqn=0(q<1).nf83.將an看成是n的函數(shù)即an=f(n).自變量n￡N*,an就是一個(gè)特殊的函數(shù).數(shù)列的項(xiàng)an,隨著n的增大an越來(lái)越接近于a,也就是f(n)越來(lái)越接近于a.對(duì)于一般的函數(shù)久用，自變量x￡R,是否有同樣的結(jié)論呢？這節(jié)課就來(lái)研究當(dāng)x-8時(shí)，函數(shù)f(x)的極限.函數(shù)極限的定義：(1)當(dāng)自變量x取正值并且無(wú)限增大時(shí)，如果函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a,就說(shuō)當(dāng)x趨向于正無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)f(x)的極限是a.記作：11m￡&)—&,或者當(dāng)x—+8時(shí)，f(x)-a.兀f+8(2)當(dāng)自變量x取負(fù)值并且絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，如果函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a,就說(shuō)當(dāng)x趨向于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)f(x)的極限是a.學(xué)生回答理解：數(shù)列的極限的直觀描述方式的定義，只是對(duì)數(shù)列變化趨勢(shì)的定性說(shuō)明，而不是定量化的定義.“隨著項(xiàng)數(shù)n的無(wú)限增大，數(shù)列的項(xiàng)an無(wú)限地趨近于某個(gè)常數(shù)a”的意義有兩個(gè)方面：一方面，數(shù)列的項(xiàng)an趨近于a是在無(wú)限過(guò)程中進(jìn)行的，即隨著n的增大an越來(lái)越接近于a；另一方面，an不是一般地趨近于a,而是“無(wú)限”地趨近于a,即|an一a|隨n的增大而無(wú)限地趨近于0.7

記作limf(x)-a或者當(dāng)x——8時(shí)，f(x)-a.xT-g(3)如果limf(x)-a且limf(x)-a,那么XT+8 XT-g就說(shuō)當(dāng)x趨向于無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)f(x)的極限是a,記作：limf(x)-a或者當(dāng)x-8時(shí)，f(x)-a.xTg3.常數(shù)函數(shù)f(x)-c.(x￡R),有l(wèi)imf(x)-c.xTg注意：limf(x)存在，表示limf(x)和xTg xT+glimf(x)都存在，且兩者相等.所以limf(x)中xT-g xTg的8既有+8,又有一8的意義，而數(shù)列極限liman中的8僅有+8的意義.xTg二.例題講解例1分別就自變量x趨向于+8和一8的情況,討論下列函數(shù)的變化趨勢(shì).1(1)y-(2)x (2)y-2x三、課堂練習(xí)：1.寫出下列函數(shù)極限的值.⑴lim」；⑵limiqx.xT+g7x xT-g5 5 「2⑶lim一；(4)lim--.xT+gx3 xT+gx十1答案：⑴0⑵0 ⑶0⑷0小結(jié)：當(dāng)x分別趨向于+8,—8,8時(shí)，函數(shù)f(x)的極限，以及常數(shù)函數(shù)的極限，注意11mf(x)xTg中的8和數(shù)列極限liman中的8的不同意義.以nTg概念為依據(jù)，結(jié)合函數(shù)圖象，學(xué)會(huì)求一些函數(shù)的極限.例題講解學(xué)生練習(xí)

授課日期授課班級(jí)授課課時(shí)授課形式新授授課章節(jié)名稱22.2函數(shù)的極限2使用教具多媒體教學(xué)目的.理解函數(shù)在一點(diǎn)處的極限，并會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的極限..已知函數(shù)的左、右極限，會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左右極限..理解函數(shù)在一點(diǎn)處的極限與左右極限的關(guān)系?教學(xué)重點(diǎn)掌握當(dāng)xTx0時(shí)函數(shù)的極限教學(xué)難點(diǎn)對(duì)“x豐x0時(shí)，當(dāng)xTx0時(shí)函數(shù)的極限的概念”的理解內(nèi)容更刪課外作業(yè)課本習(xí)題教學(xué)后記9

授課主要內(nèi)容或板書(shū)設(shè)計(jì)函數(shù)的極限（2）1函數(shù)的極限：例題12探究：例題23總結(jié)方法：練習(xí)1練習(xí)2小結(jié):作業(yè):10

課堂教學(xué)安排教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了當(dāng)％趨向于8即%—8時(shí)問(wèn)題引入函數(shù)f(%)的極限.當(dāng)％趨向于8時(shí)，函數(shù)f(%)的值就無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)。.我們可以把8看成數(shù)軸上的一個(gè)特殊的點(diǎn).那么如果對(duì)于數(shù)軸上的一般的點(diǎn)%0,當(dāng)％趨向于％。時(shí)，函數(shù)f%)的值是否會(huì)趨近于某個(gè)常數(shù)a呢？一.新課講解.數(shù)列極限的定義：.幾個(gè)重要極限：.函數(shù)極限的定義：.常數(shù)函數(shù)f(x)=c.(x￡R),有l(wèi)imf(x)=c.%-8學(xué)生回答新課講授.研究實(shí)例探討函數(shù)y=%2，當(dāng)%無(wú)限趨近于2時(shí)的變化趨%2—1勢(shì).探究y=--,當(dāng)%無(wú)限趨近于1(%豐1)%一1時(shí)的變化趨勢(shì)：.趨向于定值的函數(shù)極限概念：當(dāng)自變量%無(wú)限趨近于%0(%豐%。)時(shí)，如果函數(shù)y=f(%)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a，就說(shuō)當(dāng)%趨向%0時(shí)，函數(shù)y=f(%)的極限是a，記作limf(%)=a.%-%o特別地，limC=C；lim%=%*%-%o %-%o 0.limf(%)=a=limf(%)=limf(%)=a%—%0 %—%0一 %—%0+其中11mf(%)=a表示當(dāng)%從左側(cè)趨近于%%-%。- 0時(shí)的左極限，limf(%)=a表示當(dāng)%從右側(cè)趨%—%0+近于%0時(shí)的右極限-探究例題講解11

例題講解學(xué)生練習(xí)小結(jié)1y=(^)x (2)y=2x三、例題講解例1求下列函數(shù)在X=0處的極限,x2—1 .xlim (2)lim—xf02x2—x—1 x-0x[2x,x>0f(x)= <0,x=01+x2,x<0—— x2—1 「 x+1 Ilim =lim =1x-02x2—x—1x-02x+1Ixl Ixl Ixllim—=—1,lim—=1nlim—不存x-0-x x-0+x x-0x在.四學(xué)生練習(xí)求如下極限：，、一 x2—1⑴limx-12x2—x—1「(x—1)3+(1—3x)⑵lim ；x-0 x2+2x3五、小結(jié)：函數(shù)極限存在的條件；如何求函數(shù)的極限.學(xué)生聽(tīng)講學(xué)生練習(xí)小結(jié)反思12

授課日期授課班級(jí)授課課時(shí)授課形式新授授課章節(jié)名稱22.2函數(shù)的極限2-兩個(gè)重要極限(1)使用教具多媒體教學(xué)目的知識(shí)與技能：讓學(xué)生了解公式lim比=1的證明過(guò)程，正確理解兀f0x公式，知道公式應(yīng)用的條件，熟練運(yùn)用公式及其變形式解決有關(guān)函數(shù)極限的計(jì)算。過(guò)程與方法：通過(guò)教師引導(dǎo)，學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、分析討論和練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、舉一反三的能力，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)換元法、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)型結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的重要作用。情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)對(duì)這重要極限公式的研究，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維品質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)正確理解公式limsinx=1，并能運(yùn)用公式及其變形式解決有關(guān)函數(shù)極xf0x限的計(jì)算。教學(xué)難點(diǎn)公式limsinx=1的證明、公式及其變形式靈活運(yùn)用。xf0x內(nèi)容更刪課外作業(yè)課本習(xí)題教學(xué)后記13授課主要內(nèi)容或板書(shū)設(shè)計(jì)教材分析：《兩個(gè)重要極限》是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限、函數(shù)的極限以及函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，它是解決極限計(jì)算問(wèn)題的一個(gè)有效工具，也是今后研究初等函數(shù)求導(dǎo)公式的一個(gè)工具，所以兩個(gè)重要極限是后繼學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。學(xué)情分析：一方面，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的極限以及函數(shù)極限的運(yùn)算法則，會(huì)用因式分解約去非零因子、有理化分子或分母這兩種方法計(jì)算“0型”函數(shù)的極0限，具備了接受新知識(shí)的基礎(chǔ)；另一方面，學(xué)生理性思維能力相對(duì)較弱，對(duì)函數(shù)極限概念的理解還比較淺顯，運(yùn)用極限思維解決問(wèn)題的能力有限。教學(xué)方法：本節(jié)課采用實(shí)驗(yàn)法、討論法以及講練結(jié)合的教學(xué)方法。通過(guò)復(fù)習(xí)函數(shù)極限的定義以及函數(shù)極限的運(yùn)算法則，配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)極限概念的理解和運(yùn)算能力。在公式的引入上通過(guò)設(shè)疑引導(dǎo)學(xué)生嘗試、討論、猜想，并借助多媒體動(dòng)畫幫助學(xué)生理解結(jié)論，鍛煉學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。對(duì)于公式的證明，所涉及的內(nèi)容比較多，邏輯性較強(qiáng)，在老師的引導(dǎo)下了解論證過(guò)程。在公式的運(yùn)用上按照循序漸進(jìn)的原則，設(shè)計(jì)梯度、降低難度，留出學(xué)生的思考空間，讓學(xué)生去嘗試、聯(lián)想、探索，以獨(dú)立思考和相互交流相結(jié)合的形式，在教師的指導(dǎo)下分析和解決問(wèn)題，幫助學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)。14

課堂教學(xué)安排教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟復(fù)習(xí)導(dǎo)入新課講授教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)一、問(wèn)題的提出“0型”極限的計(jì)算方法，到目前為止，我們0學(xué)過(guò)因式分解約去非零因子，有理化分子或分母這兩種方法。是不是所有的“0型”都可以用這兩0種方法解決呢？問(wèn)題：如何求limsnx？xf0x（學(xué)生使用計(jì)算器進(jìn)行實(shí)驗(yàn)）二、動(dòng)態(tài)演示，驗(yàn)證猜想作單位圓。，設(shè)/AOB=x,（0<x<（）,則弧AB=x,于C，則BC=sinx，拖動(dòng)點(diǎn)B，改變x的大小，觀察膽值的變化趨勢(shì)。x得出結(jié)論：limsinx=1xf0x三、證明猜想過(guò)程見(jiàn)課本P51-P2強(qiáng)調(diào)：①極限中函數(shù)吧x的分子分母都是當(dāng)xxf0時(shí)的無(wú)窮小。②這里的自變量x是用弧度度量的，以后引用這個(gè)極限時(shí)必須用弧度作單位。③在利用這個(gè)極限求較復(fù)雜函數(shù)的極限時(shí)，必須注意所有含有自變量的表達(dá)形式應(yīng)一致。利用幾何畫板事先制作課件，拖動(dòng)動(dòng)點(diǎn)，讓學(xué)生觀察比值的變化，驗(yàn)證猜想。體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的作用教師講授證明過(guò)程，學(xué)生理解作B記1婕公式特征。教師引導(dǎo)鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表觀點(diǎn)。第（1）小題學(xué)生獨(dú)立思考，第（2）小題教師引導(dǎo)并板書(shū)。15

例題講解學(xué)生練習(xí)小結(jié)④lim-=1x-0sin-四、公式的應(yīng)用例1：求⑴ lim不 ⑵x—03x「tanxlim xf0X解 ： ⑴「sinx「/1sinx、1「sinx14 1lim =lim( )=一lim =——1=一xf03x xf03x 3xf0x 3 3⑵「tanx「zsinx1、「sinx「 1lim =lim( )=lim lim xf0x xf0 xcosx xf0xxf0cosx=1x1=1回顧反思：1、求此類函數(shù)的極限其關(guān)鍵是把此函數(shù)轉(zhuǎn)化為2與另一個(gè)函數(shù)的乘積，若另一個(gè)函x數(shù)的極限可求，則可求出此函數(shù)的極限。學(xué)生練習(xí)：課堂練習(xí)1.正確、靈活地運(yùn)用公式lim皿=1。xf0x.當(dāng)xf0時(shí)，x、sinx、tanx為等價(jià)無(wú)窮小。.運(yùn)用換元法時(shí)須注意自變量的變化趨勢(shì)的改變和系數(shù)的變化。.利用此公式求極限時(shí)，一定要注意變量的變化趨勢(shì)，不能一概而論，造成思維定勢(shì)，如求limsn^二0。xfgx師生回顧歸納交流解題經(jīng)驗(yàn)綜合運(yùn)用，提高分析、解決問(wèn)題的能力16

授課日期授課班級(jí)授課課時(shí)授課形式新授授課章節(jié)名稱22.2函數(shù)的極限2-兩個(gè)重要極限(2)使用教具多媒體教學(xué)目的知識(shí)與技能：讓學(xué)生了解公式lim比=1的證明過(guò)程，正確理解兀f0x公式，知道公式應(yīng)用的條件，熟練運(yùn)用公式及其變形式解決有關(guān)函數(shù)極限的計(jì)算。過(guò)程與方法：通過(guò)教師引導(dǎo)，學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、分析討論和練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、舉一反三的能力，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)換元法、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)型結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的重要作用。情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)對(duì)這重要極限公式的研究，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維品質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)正確理解公式limsinx=1，并能運(yùn)用公式及其變形式解決有關(guān)函數(shù)極xf0x限的計(jì)算。教學(xué)難點(diǎn)公式limsinx=1的證明、公式及其變形式靈活運(yùn)用。xf0x內(nèi)容更刪課外作業(yè)課本習(xí)題教學(xué)后記17授課主要內(nèi)容或板書(shū)設(shè)計(jì)教材分析：《兩個(gè)重要極限》是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限、函數(shù)的極限以及函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，它是解決極限計(jì)算問(wèn)題的一個(gè)有效工具，也是今后研究初等函數(shù)求導(dǎo)公式的一個(gè)工具，所以兩個(gè)重要極限是后繼學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。學(xué)情分析：一方面，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的極限以及函數(shù)極限的運(yùn)算法則，會(huì)用因式分解約去非零因子、有理化分子或分母這兩種方法計(jì)算“0型”函數(shù)的極0限，具備了接受新知識(shí)的基礎(chǔ)；另一方面，學(xué)生理性思維能力相對(duì)較弱，對(duì)函數(shù)極限概念的理解還比較淺顯，運(yùn)用極限思維解決問(wèn)題的能力有限。教學(xué)方法：本節(jié)課采用實(shí)驗(yàn)法、討論法以及講練結(jié)合的教學(xué)方法。通過(guò)復(fù)習(xí)函數(shù)極限的定義以及函數(shù)極限的運(yùn)算法則，配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)極限概念的理解和運(yùn)算能力。在公式的引入上通過(guò)設(shè)疑引導(dǎo)學(xué)生嘗試、討論、猜想，并借助多媒體動(dòng)畫幫助學(xué)生理解結(jié)論，鍛煉學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。對(duì)于公式的證明，所涉及的內(nèi)容比較多，邏輯性較強(qiáng)，在老師的引導(dǎo)下了解論證過(guò)程。在公式的運(yùn)用上按照循序漸進(jìn)的原則，設(shè)計(jì)梯度、降低難度，留出學(xué)生的思考空間，讓學(xué)生去嘗試、聯(lián)想、探索，以獨(dú)立思考和相互交流相結(jié)合的形式，在教師的指導(dǎo)下分析和解決問(wèn)題，幫助學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)。18

課堂教學(xué)安排教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng)四、公式的應(yīng)用 設(shè)疑激趣復(fù)習(xí)導(dǎo)入例2：求⑴1加初史 分組討論x-0 x …- 一- tan3x 教師視情況引⑵limtan3-x-0sin2x 導(dǎo)學(xué)生使用計(jì)笈刀八、n.sin3xn.Jsin3x、sin3x.解:⑴11mx=Im?3x )=311m3x=3算器代入進(jìn)行新課講授x—0 x x—0 3x 3x—0 3x小「tan3x-3tan3x 2x） 近似計(jì)算，并猜⑵lim =lim x—0sin2x x—012 3x sin2xJ 想。3「 tan3x_ 2x=?lim lim 23x—03x 2x—0sin2x 一3 利用幾何畫板二一2 事先制作課件，回顧反思：1、此例用到了變量替換（換元），變班一%一片占拖動(dòng)動(dòng)點(diǎn)，讓學(xué)例題講解量替換后一定要注意變量的變化趨勢(shì)可能會(huì)發(fā)生生觀察比值的變化。 變化，驗(yàn)證猜2、函數(shù)變形后要注意系數(shù)的變化，防止計(jì)算錯(cuò)誤。相秣么將中任想。體會(huì)數(shù)形結(jié)c ?sinaxa -tanaxa3、一般地lim = ，lim7 1，合思想的作用x—0bx b x—0bx b[.tanaxahmsinbx一廠 教師講授證明例3：求lim匕仝 過(guò)程，學(xué)生理解x—0 x2識(shí)記，記住公式c.x (.x丫 1.c0sx 2sm2211sin211特征。解：lim =lim 2=一liml-1=一x—0 x2 x—0 x2 2x—0I x1 2212J學(xué)生練習(xí)回顧反思：利用公式limsn^=1求函數(shù)極限，x—0 x有時(shí)不僅要進(jìn)行變量替換，還要利用三角函數(shù)公式進(jìn)行變形。學(xué)生練習(xí)：課堂練習(xí) 教師引導(dǎo)鼓勵(lì)19

小結(jié).正確、靈活地運(yùn)用公式1加嗎二1。小結(jié)兀f0x.當(dāng)xf0時(shí)，x、sinx、tanx為等價(jià)無(wú)窮小。.運(yùn)用換元法時(shí)須注意自變量的變化趨勢(shì)的改變和系數(shù)的變化。.利用此公式求極限時(shí)，一定要注意變量的變化趨勢(shì)，不能一概而論，造成思維定勢(shì)，如求limsnx=0。學(xué)生發(fā)表觀點(diǎn)。第(1)小題學(xué)生獨(dú)立思考，第(2)小題教師引導(dǎo)并板書(shū)。學(xué)生發(fā)表觀點(diǎn)。第(1)小題學(xué)生獨(dú)立思考，第(2)小題教師引導(dǎo)并板書(shū)。學(xué)生嘗試，教師引導(dǎo)。體會(huì)換元法、轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的重要作用。師生回顧歸納交流解題經(jīng)驗(yàn)20綜合運(yùn)用，提高分析、解決問(wèn)題的能力授課日期授課班級(jí)授課課時(shí)授課形式新授授課章節(jié)名稱22.2函數(shù)的極限2-兩個(gè)重要極限(3)使用教具多媒體教學(xué)目的1、了解無(wú)論窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系，掌握無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的比較方法；2、正確理解函數(shù)的兩個(gè)重要極限，并會(huì)用兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限。3、會(huì)利用無(wú)窮小(大)量、重要極限求未定式極限教學(xué)重點(diǎn)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的比較方法，函數(shù)的兩個(gè)重要極限，常見(jiàn)未定式極限。教學(xué)難點(diǎn)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的比較方法，運(yùn)用函數(shù)的兩個(gè)重要極限，常見(jiàn)未定式極限；內(nèi)容更刪課外作業(yè)課本習(xí)題教學(xué)后記21授課主要內(nèi)容或板書(shū)設(shè)計(jì)教材分析：《兩個(gè)重要極限》是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限、函數(shù)的極限以及函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，它是解決極限計(jì)算問(wèn)題的一個(gè)有效工具，也是今后研究初等函數(shù)求導(dǎo)公式的一個(gè)工具，所以兩個(gè)重要極限是后繼學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。學(xué)情分析：一方面，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的極限以及函數(shù)極限的運(yùn)算法則，會(huì)用因式分解約去非零因子、有理化分子或分母這兩種方法計(jì)算“0型”函數(shù)的極0限，具備了接受新知識(shí)的基礎(chǔ)；另一方面，學(xué)生理性思維能力相對(duì)較弱，對(duì)函數(shù)極限概念的理解還比較淺顯，運(yùn)用極限思維解決問(wèn)題的能力有限。教學(xué)方法：本節(jié)課采用實(shí)驗(yàn)法、討論法以及講練結(jié)合的教學(xué)方法。通過(guò)復(fù)習(xí)函數(shù)極限的定義以及函數(shù)極限的運(yùn)算法則，配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)極限概念的理解和運(yùn)算能力。在公式的引入上通過(guò)設(shè)疑引導(dǎo)學(xué)生嘗試、討論、猜想，并借助多媒體動(dòng)畫幫助學(xué)生理解結(jié)論，鍛煉學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。對(duì)于公式的證明，所涉及的內(nèi)容比較多，邏輯性較強(qiáng)，在老師的引導(dǎo)下了解論證過(guò)程。在公式的運(yùn)用上按照循序漸進(jìn)的原則，設(shè)計(jì)梯度、降低難度，留出學(xué)生的思考空間，讓學(xué)生去嘗試、聯(lián)想、探索，以獨(dú)立思考和相互交流相結(jié)合的形式，在教師的指導(dǎo)下分析和解決問(wèn)題，幫助學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)。22

課堂教學(xué)安排教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟復(fù)習(xí)導(dǎo)入新課講授教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)、復(fù)習(xí)基本知識(shí)一一無(wú)窮小與無(wú)窮大(課件展示)1、無(wú)窮小量的概念；2、無(wú)窮小量的性質(zhì)；3、無(wú)窮大量的概念。二、講授新課1、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系(作圖說(shuō)明)結(jié)論：在自變量的同一變化過(guò)程中(注意：在極限符號(hào)中省略了自變量的變化趨勢(shì))，設(shè)f(X)豐0，若limf(x)_s，則lim 一0，反之，若limf(x)一0，貝Uf(x)r1lim =g。f(X)老師利用板書(shū)通過(guò)例題對(duì)上述結(jié)論做進(jìn)一步的講解，使學(xué)生對(duì)無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系有進(jìn)一步的理解。2、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的比較結(jié)論：(1)高階無(wú)窮小；(2)低階無(wú)窮小；(3)同階無(wú)窮小；通過(guò)給出的例題對(duì)無(wú)窮小與無(wú)窮大的比較仔細(xì)講解，使學(xué)生正確理解并會(huì)利用。定理：如果當(dāng)xTX0時(shí)，a(x)~a(x),p(x)~5(x),且lim—(X)存在，則lim5(X)也存在，且XTX0a(X) XTX0a(X)lim5=lim5。XTX0a(X) XTX0a(X)說(shuō)明：求兩個(gè)無(wú)窮小之比時(shí)，分子、分母均可用等價(jià)無(wú)窮小替代。注意：常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小，當(dāng)XT0時(shí)，有? / ? 12 v?sinx~x，tanx~x，1一cosx~—x2，eX-1-x，2ln(1+x)~x等。強(qiáng)調(diào):等價(jià)無(wú)窮小中的X，可用含有X的表達(dá)式代替。教師引導(dǎo)，學(xué)生回憶口述，為了解公式的證明、正確計(jì)算有關(guān)函數(shù)極限作鋪墊，達(dá)到溫故知新的目的。學(xué)生分組鞏固練習(xí)設(shè)疑激趣分組討論教師視情況引導(dǎo)學(xué)生使用計(jì)算器代入進(jìn)行近似計(jì)算，并猜想。利用幾何畫板事先制作課件，拖動(dòng)動(dòng)點(diǎn)，讓學(xué)生觀察比值的變化，驗(yàn)證猜想。體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的作用23

3、兩個(gè)重要極限（列表說(shuō)明）（1）lim皿=1x-0x（熟記）教師講授證明過(guò)程，學(xué)生理解識(shí)記，記住公式特征。/、 （C（2）lim1+一x-81x/4、未定式極限（略）x=e例題講解三、課堂演練例1求limx-1x-1o學(xué)生嘗試，教師例2利用等價(jià)無(wú)窮小代換定理求下列」函數(shù)的極限：引導(dǎo)。體會(huì)換元⑴lim2x—0tan2x;(2)limx—0tanx-sinxox2sinx法、轉(zhuǎn)化思想在sin7xx數(shù)學(xué)解題中的例3計(jì)算limx—0例4計(jì)算重要作用?！?-cosxlim 。x—0x2例5計(jì)算limx—8(1/115xJxo例6計(jì)算limx—8(x_1)(x+2)師生回顧歸納[x+2)o交流解題經(jīng)驗(yàn)學(xué)生練習(xí)四、課堂小結(jié)（提問(wèn)回答）1、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系；小結(jié)2、無(wú)窮小與無(wú)窮大的比較；3、兩個(gè)重要極限。綜合運(yùn)用，提高分析、解決問(wèn)題的能力24

授課日期授課班級(jí)授課課時(shí)授課形式新授授課章節(jié)名稱22.2函數(shù)的連續(xù)性1使用教具多媒體教學(xué)目的.理解掌握函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)須滿足的三個(gè)條件的基礎(chǔ)上，會(huì)判斷函數(shù)在一點(diǎn)是否連續(xù)..要會(huì)說(shuō)明函數(shù)在一點(diǎn)不連續(xù)的理由..要了解并掌握函數(shù)在開(kāi)區(qū)間或閉區(qū)間連續(xù)的定義..要了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，即最大值最小值定理教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足三個(gè)條件.教學(xué)難點(diǎn)借助幾何圖象得出最大值最小值定理.內(nèi)容更刪課外作業(yè)課本習(xí)題教學(xué)后記25授課主要內(nèi)容或板書(shū)設(shè)計(jì)內(nèi)容分析：本節(jié)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)滿足的1個(gè)■條件，函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)概念，函數(shù)在開(kāi)區(qū)同和閉區(qū)間連續(xù)的定義，函數(shù)在閉區(qū)間上有最大、最小值的定義，最大最小值定理.函數(shù)的連續(xù)性是建立在極限概念基礎(chǔ)上的，又為以后微積分的學(xué)習(xí)做鋪墊，它是承上啟下的.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足三個(gè)條件，這是要學(xué)生重點(diǎn)掌握的內(nèi)容.函數(shù)在區(qū)間連續(xù)的定義也是建立在一點(diǎn)連續(xù)的基礎(chǔ)上的.借助函數(shù)的幾何圖象得到閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)，即最大值最小值定理.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足三個(gè)條件，缺一不可如何得出這三個(gè)條件，可以借助函數(shù)圖象，讓學(xué)生觀察、總結(jié)出來(lái).同樣借助幾何圖象得出最大值最小值定理.在學(xué)生已掌握極限概念的基礎(chǔ)上，并通過(guò)分析函數(shù)圖象，讓學(xué)生主動(dòng)地總結(jié)出函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的三個(gè)條件及概念.以及通過(guò)區(qū)間是由點(diǎn)組成的，進(jìn)行概念的順應(yīng)，得出函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念.讓學(xué)生主動(dòng)地學(xué)習(xí).26

課堂教學(xué)安排教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)一、復(fù)習(xí)引入：教師引導(dǎo)，學(xué)生復(fù)習(xí)導(dǎo)入1.limf(x)=a=limf(x)=limf(x)=axfx0 x-x0- xfx0+回憶口述，為了其中l(wèi)imf(x)=a表示當(dāng)x從左側(cè)趨近于x0時(shí)的左解公式的證明、一x0-極限，limf(x)=a表示當(dāng)x從右側(cè)趨近于x時(shí)的右正確計(jì)算有關(guān)xTx0+ 0極限*函數(shù)極限作鋪2.我們前面學(xué)習(xí)了數(shù)列極限和函數(shù)極限、數(shù)列可以墊，達(dá)到溫故知看成是一種特殊的函數(shù)，不同的是函數(shù)的定義域往往是連續(xù)的.而數(shù)列的定義域是自然數(shù)集，是一個(gè)一個(gè)離散的點(diǎn).而在我們?nèi)粘Ｉ钪?，也?huì)碰到這種情況.比如溫度計(jì)新的目的。的水銀柱高度會(huì)隨著溫度的改變而連續(xù)地上升或下降，這是一種連續(xù)變化的情況；再比如郵寄信件的郵費(fèi)，隨學(xué)生分組鞏固郵件質(zhì)量的增加而作階梯式的增加(打個(gè)比方：20克以內(nèi)是8毛錢郵票，21克?30克是1元，31克?40克是1.2元)等等.這就要求我們?nèi)パ芯亢瘮?shù)的連續(xù)與不連續(xù)問(wèn)題練習(xí).設(shè)疑激趣新課講授二、講解新課：1.觀察圖像如果我們給出一個(gè)函數(shù)的圖象，從直觀分組討論上看，一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)x=x0處連續(xù)，就是說(shuō)圖象在點(diǎn)x=x0教師視情況引導(dǎo)學(xué)生使用計(jì)處是不中斷的.下面我們一起來(lái)看一卜幾張函數(shù)圖象，開(kāi)觀察一下，它們?cè)趚=x0處的連續(xù)情況，以及極限情況.0算器代入進(jìn)行近似計(jì)算，并猜1 - 1o\ on~稔 號(hào)想。(1)⑵利用幾何畫板事先制作課件，拖動(dòng)動(dòng)點(diǎn)，讓學(xué)生觀察比值的變化，驗(yàn)證猜⑶⑷分析圖，第一，看函數(shù)在x0是否連續(xù).第二，在x°想。體會(huì)數(shù)形結(jié)0 0是否有極限，若有與f(x0)的值關(guān)系如何：合思想的作用27小結(jié)圖(1),函數(shù)在%連續(xù)，在“處有極限，并且極限就等于fx0).圖(2),函數(shù)在x0不連續(xù)，在x0處有極限，但極限不等于f(x0)，因?yàn)楹瘮?shù)在x0處沒(méi)有定義.圖(3),函數(shù)在x0不連續(xù)，在x0處沒(méi)有極限.圖(4)，函數(shù)在x0處不連續(xù)，在x0處有極限，但極限不等于f(x0)的值.函數(shù)在點(diǎn)x=x0處要有定義，是根據(jù)圖(2)得到的，根據(jù)圖(3)，函數(shù)在x=x0處要有極限,根據(jù)圖(4)，函數(shù)在x=x0處的極限要等于函數(shù)在x=x0處的函數(shù)值即f(x0).函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足剛才的三個(gè)條件..函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù)必須滿足下面三個(gè)條件.(1)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處有定義；(2)limf(x)存在；xfx0教師講授證明過(guò)程，學(xué)生理解識(shí)記，記住公式特征。(3)limf(x)=f(x0)，即函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的極限值等xfx0于這一點(diǎn)的函數(shù)值.如果上述三個(gè)條件中有一個(gè)條件不滿足，就說(shuō)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處不連續(xù).那根據(jù)這三個(gè)條件，我們就可以給出函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義.2.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義：如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處有定義，Hmf(x)存在，且limf(x)=f(x0)，那么函數(shù)f(x)xfx0 xfx0在點(diǎn)x=x0處連續(xù).由第三個(gè)條件，limf(x)=f(x0)就可以知道limf(x)xfx0 xfx0是存在的，所以我們下定義時(shí)可以再簡(jiǎn)潔一點(diǎn).函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)的定義.如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處及其附近有定義，并且limf(x)=f(x0)，就說(shuō)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).xfx0那怎么根據(jù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義來(lái)定義在一個(gè)開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)的定義.區(qū)間是由點(diǎn)構(gòu)成的，只要函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)都連續(xù)，那么它在開(kāi)區(qū)間內(nèi)也就連續(xù)了.3.函數(shù)f(x)在(。，b)內(nèi)連續(xù)的定義：如果函數(shù)f(x)在某一開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)處連續(xù)，就說(shuō)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，或f(x)是開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù).f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)以及在a、b兩點(diǎn)都連續(xù)，現(xiàn)在函數(shù)f(x)的定義域是［a，b］，若在a點(diǎn)連續(xù)，則f(x)在a點(diǎn)的極限存在并且等于f(a)，即在a點(diǎn)的左、右極限都存在，且都等于f(a)，f(x)在5，b)內(nèi)的每一點(diǎn)學(xué)生嘗試，教師引導(dǎo)。體會(huì)換元法、轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的重要作用。師生回顧歸納交流解題經(jīng)驗(yàn)綜合運(yùn)用，提高分析、解決問(wèn)題的能力28處連續(xù)，在a點(diǎn)處右極限存在等于f(a),在b點(diǎn)處左極限存在等于加)..函數(shù)fx)在［a,b］上連續(xù)的定義：如果fx)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，在左端點(diǎn)x=a處有hmf(x)=f(a)，在右端點(diǎn)x=b處有hmf(x)=f(b)，就說(shuō)函數(shù)xfa+ x-b一f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù),或f(x)是閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù).如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上是連續(xù)函數(shù)，那它的圖象肯定是一條連續(xù)曲線.k我們來(lái)看這張圖，它是連續(xù)的，在a、b兩點(diǎn)的值都是取到，所以它一定有一個(gè)最高點(diǎn)和一個(gè)最低點(diǎn)，假設(shè)在x1這點(diǎn)最高；那么它的函數(shù)值最大，就是說(shuō)［a,b］區(qū)間上的各個(gè)點(diǎn)的值都不大于x1處的 ［值，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示就是f(x1)三f(x), /x￡［a,b］，同理，設(shè)x2是最低點(diǎn)， ?會(huì)［生f(x2)<f(x),x￡［a，b］. JZ/.最大值f(x)是閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，如果對(duì)于任意x￡［a,b］,f(x1)三f(x)，那么f(x)在點(diǎn)x1處有最大值f(x1).6.最小值f(x)是閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，如果對(duì)于任意x￡［a,b］,f(x2)<f(x),那么f(x)在點(diǎn)x2處有最小值f(x2).由圖我們可以知道，函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，則一定有最大最小值，這是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì).最大，最小值可以在(a,b)內(nèi)的點(diǎn)取到，也可以在a,b兩個(gè)端點(diǎn)上取到..最大值最小值定理如果f(x)是閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在閉區(qū)間［a,b］上有最大值和最小值?我們現(xiàn)在已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，和需要滿足的三個(gè)條件，下面看兩個(gè)例子，看在給定點(diǎn)處是否連續(xù)，都要說(shuō)明理由的?小結(jié)：最大值最小值定理29

授課日期授課班級(jí)授課課時(shí)授課形式新授授課章節(jié)名稱22.2函數(shù)的連續(xù)性2使用教具多媒體教學(xué)目的.理解掌握函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)須滿足的三個(gè)條件的基礎(chǔ)上，會(huì)判斷函數(shù)在一點(diǎn)是否連續(xù)..要會(huì)說(shuō)明函數(shù)在一點(diǎn)不連續(xù)的理由..要了解并掌握函數(shù)在開(kāi)區(qū)間或閉區(qū)間連續(xù)的定義..要了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，即最大值最小值定理教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足三個(gè)條件.教學(xué)難點(diǎn)借助幾何圖象得出最大值最小值定理.內(nèi)容更刪課外作業(yè)課本習(xí)題教學(xué)后記30授課主要內(nèi)容或板書(shū)