中考數(shù)學(xué)小壓軸匯編初講：第3講相似三角形

第3講 相似三角形（2）一、本講概述上講我們強(qiáng)化了利用A型圖、X型圖、K型圖、麻花圖等基本圖形進(jìn)行相似尋找，大家應(yīng)該對(duì)圖形結(jié)構(gòu)有了深入的認(rèn)識(shí)。這一講我們將在以往基礎(chǔ)上先對(duì)復(fù)雜圖形中相似尋找進(jìn)行更深入探索，然后再進(jìn)行相似構(gòu)造。相似構(gòu)造，說(shuō)穿了就是為更好解決問(wèn)題，作輔助線，構(gòu)造相似三角形。那如何才能簡(jiǎn)單、自然、快捷、準(zhǔn)確地構(gòu)造呢？那就要仔細(xì)分析題目特征，由特征引領(lǐng)我們前行。通常情況下，我們有兩種思路：1、平行生相似；2、比例造相似。平行生相似，指的是通過(guò)作平行線，產(chǎn)生A型圖、X型圖，達(dá)到構(gòu)造相似解決問(wèn)題的目的。比例造相似，指的是根據(jù)題目中線段比例特征，進(jìn)行相似構(gòu)造。具體的構(gòu)造，往往根據(jù)角度、線段轉(zhuǎn)化，作垂線、截取等，形式上常與K型圖、麻花圖聯(lián)系緊密。二、典例分析例1、（2016四川綿陽(yáng)9題）如圖，AABC中，AB=AC=4,/C=72。,D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，DE±AB，則cos/A的值是（）【關(guān)鍵詞】相似尋找、麻花圖【分析】特征1：AB=AC,/C=72。。有角度，圖形中每個(gè)角度都能迅速求出來(lái)。AD特征2：欲求cos/A的值。RtAADE中，cos/A=——。AE特征3：AB=AC=4,DE為AB中垂線。不妨設(shè)AE=x(x>0)，則BE=BC=x,CE=4-x。麻花圖，易證AABCsABCE。ABBC4x—=—n——= BCCEx4-x解之得x=2v5-2所以，cosZA=當(dāng)|=-3——=、5+1，選C。AE2V5-2 4

例2、（2014哈爾濱20題）如圖，在AABC中，4AB=5AC,AD為AABC的角平分線，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，EF±AD于點(diǎn)F，點(diǎn)G在AF上，F(xiàn)G=FD,連接EG交AC于點(diǎn)H，若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，則AG的值為。FD【關(guān)鍵詞】相似尋找【分析】此題條件繁多。特征1：欲求AG的值。FD比例特征，有無(wú)所在三角形相似呢？沒(méi)有。AGAGAG轉(zhuǎn)化后呢？—>—^^都是等價(jià)的。分析這些線段所在三角形，看是否有可能FDGDAD相似？AG所在的三角形只有AAGH。AD所在三角形有AADB與^ADC。特征2：EF±AD，F(xiàn)G=FD。說(shuō)明AEDG為等腰A，兩底角/EDG=/EGD而/EDG+/ADB=180°,/EGD+ZAGH=180°故/ADB=/AGH所以，AAGHsAADBAG_AHAD~AB特征3：4AB=5AC,H是AC中點(diǎn)。易求AH易求AHABAG_4FD~3【點(diǎn)評(píng)】本題的相似尋找有難度，對(duì)大家提出了更高的綜合要求。

例3、（2015江蘇鹽城18題）設(shè)AABC的面積為1,如圖①將邊BCAC分別2等份，BEi、也相交于點(diǎn)5AA°B的面積為梟如圖②將邊BC、AC分別3等份，吟AD1，以此類(lèi)推，則s可表示為（用相交于點(diǎn)O,AAOB的面積記為S2；?含n的代數(shù)式表示，其中，以此類(lèi)推，則s可表示為（用圖①【關(guān)鍵詞】相似構(gòu)造、圖①【關(guān)鍵詞】相似構(gòu)造、X型圖AO【分析】本題的關(guān)鍵，其實(shí)就是分析清楚do的值，自然想到構(gòu)造相似解決。構(gòu)造的1相似三角形既要能涵蓋條件，又要解決問(wèn)題。所以我們想作平行線，平行生相似。那過(guò)哪個(gè)點(diǎn)作誰(shuí)的平行線呢？具體沒(méi)有定論，能有效整合資源就行。如圖④，D、E1分別是BC、AC的（n+1）等分點(diǎn)。過(guò)A作AP//BC交BE延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，產(chǎn)生X型圖。AAOPsAAAOPsAD1OBnDO-Bd圖④11圖④AEAPAAEPsACEBn生=竺iiCEBC1BD1AE1而 1二一, 1二一CD]nCE]naAPn+1APn+1故= , = BCnBD2n+1S1SAOn+1由_AAD1B- ,—AAOB= = S.n+1SMDB AD 2n+1得s-n+1-—-s，而S-S-1AAOB 2n+1n+1 AABC n AABC【點(diǎn)評(píng)】本題利用“平行生相似”，簡(jiǎn)捷、自然。例4、（2016山東淄博11題）如圖1,直線/J/2//13，一等腰直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C分別在卜、「4上,/ACB=90。，AC交12于點(diǎn)D。已知11與12之間的頂點(diǎn)A、B、C分別在卜、「4上,/ACB=90。，AC交12于點(diǎn)D。已知11與12之間的距離為1，/2與之之間的距離為3。ABBDn20v2D23圖1【關(guān)鍵詞】相似構(gòu)造、K型圖、A型圖【分析】特征1：欲求AB的值。線段比例特征，自然讓人想到尋找或構(gòu)造相似三角形。BD帶著美好的愿望,經(jīng)過(guò)縝密偵查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)尋找或構(gòu)造難度都較大。繼續(xù)分析題目特征。特征2：直線上面有直角，如果作垂線，可以產(chǎn)生K型圖。如圖2,過(guò)B作BM±l于點(diǎn)M，過(guò)A作AH±/于點(diǎn)H，交l于點(diǎn)G。產(chǎn)生K型3圖，可以據(jù)此算出相關(guān)線段。由題意，BM=3,AG=1,AH=4。易證ABCM/ACAH，則MC=AH=4,CH=BM=3AC=、；AH2+CH2=5現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣簡(jiǎn)單地求出AB?BD當(dāng)然可以再用勾股定理把所有線段硬算出來(lái),但代數(shù)運(yùn)算始終沒(méi)能體現(xiàn)幾何魅力，不免遺憾。我們看ABBD"2BC 」. 一，雖然AABD難以產(chǎn)BD生相似關(guān)系，但ABCD是很容易找到相似朋友的。易知ABCDsAAGDsAAHC。那太好了BCACBDAH所以,AB2BBC4v2BDBD【點(diǎn)評(píng)】比例造相似，舒服。就像下彈子跳棋，看似遙不可及，哪想一步就到位?例5、（2016成都23題）如圖1,AABC內(nèi)接于。O,AH±BC于點(diǎn)H，若AC=24,AH=18,0O的半徑OC=13，則AB=【關(guān)鍵詞】相似構(gòu)造、比例造相似、垂徑定理【分析】宏觀分析，AB所在的是一個(gè)RtA，除直角特征外，還有一直角邊AH=18。欲求AB，要么把BH求出來(lái)，要么把AB作為比例特征，比例造相似進(jìn)行構(gòu)造。AH微觀探索，BH是難以迅速求出來(lái)的。那就重點(diǎn)相似。誰(shuí)來(lái)與RtAABH相似呢？空曠的原野靜悄悄，沒(méi)人回答，只要自力更生了。RtAABH中，/B是圓周角，能轉(zhuǎn)化到哪里去呢？一種思路是：同弧所對(duì)圓周角相等。但這樣不能產(chǎn)生直角，放棄。另一思路如圖2,過(guò)點(diǎn)O作但這樣不能產(chǎn)生直角，放棄。另一思路如圖2,過(guò)點(diǎn)O作OG1AC于G，連接由垂徑定理，/COG=1AAOC由垂徑定理，/COG=1AAOC^2而/B=1/AOC則/B=/COG故AABHsACOG,構(gòu)造成功。ABCOAHCG'1339AB=18x=二12 2【點(diǎn)評(píng)】本題的相似構(gòu)造，以比例特征為指引角度分析為突破口。屬典型的比例造相似。三、課后小結(jié)相似構(gòu)造是以相似尋找為基礎(chǔ)，相似尋找又以A型圖、X型圖、K型圖、麻花圖等作為基本圖形。也就是說(shuō)我們構(gòu)造出的常規(guī)圖形往往會(huì)與基本圖形沾邊。其實(shí)，不管常規(guī)還是非常規(guī)構(gòu)造，去深入思考它們最基本的聯(lián)系，思路、方法自然就出來(lái)了。相似構(gòu)造里大家把握兩個(gè)重點(diǎn)：：1、平行生相似；2、比例造相似。

四、真題演練1、（2016四川綿陽(yáng)11題）如圖，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在菱形ABCD的邊AB.AD上，AF HF,且AE=DF,BF交DE于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BF交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，若 =2，貝|的DF BG值為（）C、5127C、512122、（2016天津17題）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、N、P、G分別在邊AB、BC、CD、DA上，點(diǎn)M、F、Q都在對(duì)角線BD上，且四邊形MNPQ和AEFG均為正方形，則S正方形MNpQ的值等于S正方形AEFG

3、（2015江蘇揚(yáng)州18題）如圖，已知AABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c,且a<b<c,若平行于三角形一邊的直線/將AABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，設(shè)圖中的小三角形（1）、（2）、（3）的面積分別為（3）的面積分別為q、S2、S3,則JS2、S3的大小關(guān)系是 號(hào)連接）。4、（2016四川瀘州11題）如圖1,矩形ABCD的邊長(zhǎng)AD=3,AB=2,E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在邊BC上，且BF=2FC,AF分別與DE、DB相交于點(diǎn)M、N,則MN的長(zhǎng)為）。20D、逅205、（2015遼寧盤(pán)錦18題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰AOBC的邊OB在x軸上，OB=CB,OB邊上的高CA與OC邊上的高BE相交于點(diǎn)D，連接OD。AB=<2,/CBO=45。，在直線BE上求點(diǎn)M，使ABMC與AODC相似，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是練習(xí)1、（2016四川綿陽(yáng)11題）【關(guān)鍵詞】相似尋找、X型圖QMABBD2QMABBD2HF【分析】圖中有兩組X型圖，均與折有緊密聯(lián)系。不妨設(shè)AE=DF=a，由菱形BG性質(zhì)，AF=2a，BE=2a。HFDHDFAHFDsABFAn = =BFABAFHGDHAHGDsABGEnHG=DHBGBE進(jìn)而可得DH=3a；所以,HF 1 HF 1 =—n=一BF 2 BH 3HG 3 BH 7 二一n二一BG 4 BG 4HF HF BH 1 7 7= ? =x=，選B。BG BH BG 3 4 12練習(xí)2、（2016天津17題）【關(guān)鍵詞】相似尋找、A型圖【分析】由于小正方形位置特殊，線段間的數(shù)量關(guān)系其實(shí)可以直接觀察出來(lái):2AE_<23QM—~TAE_3-v2QM—~7~S正方形S正方形MNPQ=S正方形AEFG(QM)2I~EE)之所以把這道簡(jiǎn)單的題目放于此處，有兩個(gè)原因：1、三角形內(nèi)接矩形（含正方形）問(wèn)題，常見(jiàn)且重要；2、具有推廣價(jià)值?！就茝V】如圖2,其它條件不變，把單個(gè)正方形MNPQ換成n（n>1）個(gè)大小相等的內(nèi)接正方形，把單個(gè)正方形AEFG換成n（n>1）個(gè)大小相等的內(nèi)接正方形，則兩組對(duì)應(yīng)正方形的面積之比為

答案為S矩形PQQnMnS矩形AEnF答案為S矩形PQQnMnS矩形AEnFnG練習(xí)3、（2015江蘇揚(yáng)州18題）【關(guān)鍵詞】相似尋找、A型圖【分析】圖中明顯的A型圖，肯定需要找出相似比。因?yàn)橹挥姓页鱿嗨票?，才能表示三個(gè)面積，進(jìn)行大小比較。如圖，不妨設(shè)EF―BCkEFEFk,22~—k,33—kiAB2AC3由AAE]FisAABC,ACE2F2sACAB,ABE3FsABCA，得AEi—勺c,A4―勺b；BE3—k3a,BF3—k3c。又因直線/將AABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，則kb+kc—a+G—k%+G—k\；(L—k)a+(L—k%.

2 2 'b+G—k)a+G—kI3 3整理，得,a+b+ck=1 2b+2caa+b+ck= 2 2a+2baa+b+ck- 3 2a+2c再設(shè)AABC的面積為S，則S(EF丫 0_— Cc-2—2~2SIAB)S(EF￥3- 33SIAC)欲比較S1、S2、S3的大小關(guān)系，需先比較k1、k2、k3的大小。因a<b<c,則a+b<a+c<b+c。所以，k<k<k。即S1<S3<S2。練習(xí)4、（2016四川瀘州11題）【關(guān)鍵詞】相似尋找、相似構(gòu)造【分析】欲求MN的長(zhǎng)，需求M、N兩點(diǎn)分AF所成線段的比例。特征1：矩形ABCD中，BF-2FC。RtAABF中，由勾股定理AF-2<2FNFBX型圖，ABFNsADANn-ANAD4<2解之得FN-七特征2：E為AB的中點(diǎn)。由于點(diǎn)M所在三角形沒(méi)有對(duì)應(yīng)相似，所以考慮構(gòu)造。中線倍長(zhǎng)，如圖2,延長(zhǎng)DE交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。

易得AGFM易得AGFMsADAMnFMFGAMAD5、；2解之得FM=4所以，MN=FM—FN=上2，選B。20練習(xí)5、（2015遼寧盤(pán)錦18題）【關(guān)鍵詞】相似構(gòu)造、分類(lèi)討論【分析】特征1：OB邊上的高CA與OC邊上的高BE相交于點(diǎn)D。RtAECD與RtAABD中，/ECD=/ABD。特征2：等腰AOBC中，OB=CB,/CBO=45°。由三線合一，BE是OC邊上的中垂線，也是/OBC的角平分線。則/DCO=/DOC=/OBE=/CBE=22.5°說(shuō)明AODC是兩底角為22