四川省成都市都一中數(shù)學1-1同步練習第二章圓錐曲線及方程第9課時直線與拋物線的位置關系含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第9課時直線與拋物線的位置關系基礎達標(水平一)1。直線l經(jīng)過拋物線y2=8x的焦點,與拋物線交于A、B兩點,O為原點，則OA·OB的值為（)。A。12 B.20 C.-12 D?！?0【解析】焦點為（2,0)，設直線l方程為x=my+2,A(x1,y1），B(x2，y2），由x=my+2,y2=8x,得∴y1y2=-16，x1x2=y128·y228=164(y1∴OA·OB=x1x2+y1y2=-12.【答案】C2。拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l,經(jīng)過點F且斜率為3的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A,AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是().A。2 B。4 C。43 D.8【解析】由拋物線的定義知AF=AK，又∠KAF=60°，所以△AFK是正三角形。聯(lián)立方程組y消去y得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=13.由題意得A(3，23所以△AKF的邊長為4，面積為12×4×23=43【答案】C3。已知AB是過拋物線2x2=y的焦點的弦，若|AB｜=4，則AB的中點的縱坐標是（)。A.1 B.2 C。58 D?！窘馕觥咳鐖D所示，設AB的中點為P（x0，y0),分別過A，P,B三點作準線l的垂線,垂足分別為A’，Q，B'，由題意得｜AA'|+｜BB’｜=|AB|=4，｜PQ｜=|AA'|+|BB'|2=2,又｜PQ|=y0+18,∴y0+1【答案】D4。設拋物線y2=8x的準線與x軸交于點Q,若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是().A。-12,12 B.［C.[—1，1］ D。［-4,4］【解析】由題意知，拋物線準線方程為x=-2，點Q(—2,0），設直線l:y=k（x+2）,由y得k2x2+4（k2—2)x+4k2=0。當k=0時,x=0,即直線l與拋物線的交點為（0，0），當k≠0時,Δ≥0,-1≤k〈0或0〈k≤1。綜上,k的取值范圍是[—1,1].【答案】C5。線段AB是拋物線y2=x的一條焦點弦，且|AB|=4，則線段AB的中點C到直線x+12=0的距離為【解析】設點A（x1，y1),B(x2，y2)，因為|AB|=x1+x2+p=4,所以x1+x2=4-12=7所以中點C（x0，y0）到直線x+12=0的距離為x0+12=x1+x22+1【答案】96.已知拋物線y2=2px(p>0)的準線為l，過點M（1,0)且斜率為3的直線與l相交于點A,與拋物線的一個交點為B，若AM=MB,則p=。

【解析】由題知準線l為x=—p2（p〉0過點M且斜率為3的直線為y=3（x-1），則點A-p設B（x,y),由AM=MB可知M為AB的中點,又M(1，0)，所以-p2代入y2=2px，得p2+4p-12=0，即p=2或p=—6（舍去）?！敬鸢浮?7.已知拋物線y2=-x與直線y=k（x+1)相交于A,B兩點。（1)求證:OA⊥OB.(2）當△OAB的面積為10時,求k的值.【解析】（1）如圖所示，由y2=-x,y=k設點A(x1,y1）,B（x2,y2)，由根與系數(shù)的關系得y1·y2=-1，y1+y2=—1k∵A，B兩點均在拋物線y2=-x上,∴y12=—x1,y2∴y12·y22=x又∵kOA·kOB=y1x1·y2x2=y1y(2)設直線與x軸交于點N,顯然k≠0.令y=0,得x=-1,即N（—1，0）.∵S△OAB=S△OAN+S△OBN=12｜ON||y1｜+12｜ON｜｜y=12｜ON｜·|y1-y2=12·1·=12=10,∴10=121k2+4拓展提升(水平二)8。已知F為拋物線y2=x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),OA·OB=2（其中O為坐標原點）,則△ABO與△AFO面積之和的最小值是（）.A。2 B.3 C。1728【解析】設直線AB的方程為x=ty+m，點A(x1，y1),B（x2,y2）。又點F14,0，直線AB與x軸的交點M(m，0）,不妨設y1由x=ty+m,y2=x?y2—ty-m=又OA·OB=2,所以x1x2+y1y2=2?(y1y2）2+y1y2-2=0,因為點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),所以y1y2=—2,故m=2,所以S△ABO+S△AFO=12×2×（y1—y2)+12×14×y1=98y1+2y1當且僅當98y1=2y1?y1=43時取所以△ABO與△AFO面積之和的最小值是3.【答案】B9。已知拋物線y2=8x，點Q是圓C：x2+y2+2x-8y+13=0上任意一點，記拋物線上任意一點P到直線x=-2的距離為d，則|PQ｜+d的最小值為（）.A。5 B.4 C。3 D。2【解析】由題意知，拋物線y2=8x的焦點為F(2,0）,連接PF（如圖），則d=|PF|.將圓C化為(x+1)2+（y—4)2=4，圓心為C（—1，4），半徑為r=2，則｜PQ|+d=｜PQ｜+|PF｜,于是有｜PQ|+｜PF｜≥|FQ|（當且僅當F，P,Q三點共線時取得等號）.而|FQ|為圓C上的動點Q到定點F的距離,顯然當F,Q,C三點共線時,｜FQ｜取得最小值,且為|CF｜—r=(-1-2)2+(4【答案】C10.已知拋物線y2=4x的弦AB的中點的橫坐標為2，則|AB|的最大值為.

【解析】當直線AB的斜率不存在時,｜AB｜=42；當直線AB的斜率k存在時,設點A（x1,y1）,B（x2，y2),中點坐標為(2，t)，則k=y1-y2y∴直線AB的方程為y-t=2t（x-2將y-t=2t(x-2）與y2=4x聯(lián)立,得y2-2ty+2t2—8=0∴y1+y2=2t，y1y2=2t2-8，∴｜AB|2=1+t24(y1—y2)2=—（t2—2)2+36∴｜AB|≤6,當且僅當t=±2時,等號成立.綜上所述,|AB｜max=6.【答案】611。設拋物線C:y2=2px(p〉0）的焦點為F,經(jīng)過點F的直線與拋物線交于A，B兩點。(1）若p=2，求線段AF的中點N的軌跡方程；（2）若直線AB的斜率為2,當焦點為F12,0時，求△(3）若M是拋物線C準線上的點,求證：直線MA，MF，MB的斜率成等差數(shù)列?！窘馕觥?1)焦點F(1,0),設點A（x0，y0),N(x,y）,則由題意x=x故所求的軌跡方程為4y2=4（2x-1),即y2=2x-1.(2)y2=2x，F(xiàn)12,0，直線AB:y=2x-1由y2=2x,y=2x-｜AB|=1+1k2|y1—y2設d為原點O到直線AB的距離，d=15=5S△OAB=12d｜AB｜=5(3）顯然直線MA，MB，MF的斜率都存在,分別設為k1,k2,k3.點A，B,M的坐標為A（x1，y1)，B（x2,y2），M-p設直線AB：y=kx-p2,代入拋物線方程，得y2—2pky-p2=0,所以y1又y12=2px1，y22=所以x1+p2=y122p+p2=12