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第一章
集合與常用邏輯用語(yǔ)1.5全稱量詞與存在量詞1.5.2全稱量詞命題和存在量詞命題的否定[課程目標(biāo)]1.通過(guò)實(shí)例總結(jié)含有一個(gè)量詞的命題與它們的否定在
形式上的變化規(guī)律;2.正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.
知識(shí)點(diǎn)含有一個(gè)量詞的命題的否定存在量詞命題全稱量詞命題
[研讀]全稱量詞命題的否定與全稱量詞命題的真假性相
反,存在量詞命題的否定與存在量詞命題的真假性相反.【思辨】判斷正誤(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)“所有的矩形都是平行四邊形”的否定是“所有的矩形都不是平行四邊形”.(
)(2)“所有偶數(shù)都能被4整除”的否定是“有些偶數(shù)不能被4整除”.(
)(3)“?x∈R,x2-2x+1≥0”的否定是“?x∈R,x2-2x+1<0”.(
)√×√(4)“存在一個(gè)質(zhì)數(shù)不是奇數(shù)”的否定是“所有質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)”(
)(5)的真假性相反.(
)【解析】(1)“所有的矩形都是平行四邊形”的否定是“有些矩形不是平行四邊形”.根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定結(jié)論可知,(2)(3)(4)正確.(5)存在量詞命題p與其否定p一真一假.
√√例1寫出下列全稱量詞命題的否定,并判斷該否定的真假.(1)p:所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù);(2)p:每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓;(3)p:對(duì)任意x∈Z,x2的個(gè)位數(shù)字不等于1.解:(1)p:存在一個(gè)能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù).是真命題.(2)p:存在一個(gè)四邊形,它的四個(gè)頂點(diǎn)不共圓.是真命題.(3)p:存在x∈Z,x2的個(gè)位數(shù)字等于1.是真命題.[規(guī)律方法](1)全稱量詞命題的否定:將全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~,再否定它的結(jié)論,全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.(2)對(duì)省略全稱量詞的全稱量詞命題要補(bǔ)回全稱量詞再否定.解題中若遇到省略“所有”“任何”“任意”等量詞的簡(jiǎn)化形式,這時(shí)則應(yīng)先將命題寫成完整形式,再依據(jù)法則寫出其否定形式.寫出下列命題的否定.(1)三個(gè)給定產(chǎn)品都是次品;(2)數(shù)列1,2,3,4,5中的每一項(xiàng)都是偶數(shù);(3)任意a,b∈R,方程ax=b都有唯一解;(4)所有可以被2整除的整數(shù),其末位數(shù)字是0.解:(1)三個(gè)給定產(chǎn)品中至少有一個(gè)不是次品.(2)數(shù)列1,2,3,4,5中至少有一項(xiàng)不是偶數(shù).(3)存在a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在.(4)存在能被2整除的整數(shù),其末位數(shù)字不是0.例2寫出下列存在量詞命題的否定,并判斷其真假.(1)p:?x∈R,2x+5≥0;(2)p:?x∈R,x2-3x+<0;(3)p:有些分?jǐn)?shù)不是有理數(shù).[規(guī)律方法](1)存在量詞命題的否定:將存在量詞變?yōu)槿Q量詞,再否定它的結(jié)論,存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.(2)對(duì)省略存在量詞的存在量詞命題要補(bǔ)回存在量詞再否定.解題中若遇到省略“有一些”“有一個(gè)”“存在”等量詞的簡(jiǎn)化形式,這時(shí)則應(yīng)先將命題寫成完整形式,再依據(jù)法則寫出其否定形式.判斷下列命題的真假,并寫出這些命題的否定.(1)p:有一個(gè)奇數(shù)不能被3整除;(2)p:有些三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60°;(3)p:有的一元二次方程有實(shí)數(shù)根.例3已知集合A=
,B={x|m+1≤x≤2m-1},若命題p:“?x∈B,x∈A”是真命題,求m的取值范圍.已知命題p:存在x>a,使得2x+a<3是假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:由題意,p:對(duì)任意x>a,都有2x+a≥3是真命題,等價(jià)于:對(duì)任意x>a,不等式2x+a≥3恒成立,從而有2a+a≥3,即a≥1.例4已知命題p:?x∈{x|1≤x≤2},x2-a≥0,q:?x∈R,x2+2ax+2-a=0,若p和q都是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.1.下列命題中,真命題的個(gè)數(shù)是(
)①存在實(shí)數(shù)x,使x2+2<0;②面積等于1的三角形都全等;③有些三角形是鈍角三角形.A.0
B.1
C.2
D.3【解析】因?yàn)閤2≥0,所以x2+2>0,故①是假命題;面積相等的三角形不一定全等,所以②是假命題;顯然③是真命題.B2.命題“?x∈R,使得x2+2x<0”的否定是(
)A.?x∈R,使得x2+2x≥0B.?x∈R,使得x2+2x>0C.?x∈R,都有x2+2x≥0D.?x∈R,都有x2+2x<0【解析】因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱量詞命題,所以,命題“?x∈R,使得x2+2x<0”的否定是:?x∈R,都有x2+2x≥0.故選C.C3.已知命題p:存在a∈{x|x<0},a2-2a-1>0,那么命題p的否定是(
)A.存在a∈{x|x>0},a2-2a-1≤0B.存在a∈{x|x<0},a2-2a-1≤0C.對(duì)任意a∈{x|x>0},a2-2a-1≤0D.對(duì)任意a∈{x|x<0},a2-2a-1≤0D4.全稱量詞命題“所有能被5整除的整數(shù)都是奇數(shù)”的否定是(
)A.所有能被5整除的整數(shù)都不是奇數(shù)B.所有奇數(shù)都不能被5整除C.存在一個(gè)能被5整除的整數(shù)不是奇數(shù)D.存在一個(gè)奇數(shù),不能被5整除【解析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,而A,B是全稱量詞命題,所以A,B錯(cuò).因?yàn)椤八心鼙?整除的整數(shù)”的否定是“存在一個(gè)能被5整除的整數(shù)”,所以D錯(cuò),C正確,故選
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