-新教材高中數(shù)學(xué)第一章預(yù)備知識(shí)4.1一元二次函數(shù)學(xué)案北師大版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE7一元二次函數(shù)新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.掌握一元二次函數(shù)的圖象及圖象變換直觀想象2.會(huì)求一元二次函數(shù)的最值及相關(guān)問(wèn)題數(shù)學(xué)運(yùn)算某校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，某運(yùn)動(dòng)員擲鉛球時(shí)，他所擲的鉛球的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,12)x2＋eq\f(2,3)x＋eq\f(5,3).[問(wèn)題](1)此函數(shù)是一元二次函數(shù)嗎？(2)當(dāng)x滿(mǎn)足什么條件時(shí)，圖象在x軸的上方？知識(shí)點(diǎn)一一元二次函數(shù)的圖象變換1．拋物線通常把一元二次函數(shù)的圖象叫作拋物線．2．一元二次函數(shù)的圖象變換一元二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象可以由y＝ax2的圖象經(jīng)過(guò)向左(或向右)平移|h|個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上(或向下)平移|k|個(gè)單位長(zhǎng)度而得到．eq\a\vs4\al()一元二次函數(shù)圖象變換一元二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，a決定了函數(shù)圖象的開(kāi)口大小及方向；h決定了函數(shù)圖象的左、右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了函數(shù)圖象的上、下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”．知識(shí)點(diǎn)二一元二次函數(shù)的性質(zhì)一元二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)有如下性質(zhì)：(1)函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象是一條拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，k)，對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝h；(2)當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開(kāi)口向eq\a\vs4\al(上)；在區(qū)間(－∞，h]上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小；在區(qū)間[h，＋∞)上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；函數(shù)在x＝h處有最小值，記作ymin＝eq\a\vs4\al(k)．當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開(kāi)口向eq\a\vs4\al(下)；在區(qū)間(－∞，h]上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；在區(qū)間[h，＋∞)上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減??；函數(shù)在x＝h處有最大值，記作ymax＝eq\a\vs4\al(k)．1．已知某一元二次函數(shù)的圖象與函數(shù)y＝2x2的圖象的形狀一樣，開(kāi)口方向相反，且其頂點(diǎn)為(－1，3)，則此函數(shù)的解析式為()A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3解析：選D設(shè)所求函數(shù)的解析式為y＝－2(x＋h)2＋k，根據(jù)頂點(diǎn)為(－1，3)，可得h＝1，且k＝3，故所求的函數(shù)解析式為y＝－2(x＋1)2＋3，故選D.2．如果將一元二次函數(shù)y＝a(x＋m)2＋n的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝3，最大值為1，則m，n的值為()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－5,n＝3)) B．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1,n＝－1))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1,n＝3)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1,n＝3))解析：選D由題意知，變換后所得函數(shù)的解析式為y＝a(x－3)2＋1，且a＜0，然后將函數(shù)y＝a(x－3)2＋1的圖象先向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝a(x－3)2＋3，再將所得函數(shù)圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)y＝a(x－1)2＋3的圖象，因此eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝3，))故選D.一元二次函數(shù)解析式的求法[例1]已知一元二次函數(shù)的最大值是8，且當(dāng)x＝2時(shí)，y＝－1；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝－1.求此一元二次函數(shù)的解析式．[解]法一(利用一般式)：設(shè)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))∴所求一元二次函數(shù)的解析式為y＝－4x2＋4x＋7.法二(利用頂點(diǎn)式)：設(shè)y＝a(x－m)2＋n.∵當(dāng)x＝2時(shí)，y＝－1，且x＝－1時(shí)，y＝－1.∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x＝eq\f(2＋（－1）,2)＝eq\f(1,2).∴m＝eq\f(1,2).又根據(jù)題意知函數(shù)有最大值8，∴n＝8.∴y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8.又拋物線過(guò)點(diǎn)(2，－1)，∴aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－1，解得a＝－4，∴y＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－4x2＋4x＋7.eq\a\vs4\al()求一元二次函數(shù)解析式時(shí)，應(yīng)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，選用解析式的形式，利用待定系數(shù)法求解．(1)若已知條件是圖象上的三個(gè)點(diǎn)，則設(shè)所求一元二次函數(shù)為一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c，a，b，c為常數(shù)，a≠0的形式；(2)若已知一元二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ(chēng)軸方程與最大(小)值，則設(shè)所求一元二次函數(shù)為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k(其中頂點(diǎn)(h，k)，a為常數(shù)，a≠0)；(3)若已知一元二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，0)，(x2，0)，則設(shè)所求一元二次函數(shù)為兩根式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)(a為常數(shù)，且a≠0)．[跟蹤訓(xùn)練]根據(jù)下列條件，求一元二次函數(shù)的解析式：(1)過(guò)點(diǎn)(1，1)，(0，2)，(3，5)；(2)圖象頂點(diǎn)為(1，2)并且過(guò)點(diǎn)(0，4)；(3)圖象過(guò)點(diǎn)(2，0)，(4，0)，(0，3)．解：(1)設(shè)函數(shù)解析式為y＝ax2＋bx＋c，由題設(shè)知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,c＝2，,9a＋3b＋c＝5))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，,c＝2.))∴函數(shù)解析式為y＝x2－2x＋2.(2)設(shè)所求函數(shù)解析式為y＝a(x－1)2＋2.整理得y＝ax2－2ax＋a＋2，∴a＋2＝4，∴a＝2.∴解析式為y＝2x2－4x＋4.(3)設(shè)所求函數(shù)解析式為y＝a(x－2)(x－4)，整理得y＝ax2－6ax＋8a，∴8a＝3，∴a＝eq\f(3,8).∴解析式為y＝eq\f(3,8)(x－2)(x－4).一元二次函數(shù)圖象間的變換[例2](鏈接教科書(shū)第33頁(yè)例1)拋物線y＝2(x－1)2＋3可以看作是由拋物線y＝2x2經(jīng)過(guò)以下哪種變換得到的()A．向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度[解析]∵拋物線y＝2(x－1)2＋3頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)，拋物線y＝2x2頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，∴拋物線y＝2(x－1)2＋3可以看作由拋物線y＝2x2向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到的．[答案]Beq\a\vs4\al()一元二次函數(shù)圖象平移問(wèn)題的解題策略(1)要注意平移的方向，即由哪個(gè)函數(shù)變換到另一個(gè)函數(shù)；(2)將函數(shù)化為y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的形式；(3)判定h與k的正負(fù)，利用“左加右減，上加下減”的規(guī)則判定平移的方向和大?。甗跟蹤訓(xùn)練]將拋物線y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線的解析式為()A．y＝eq\f(1,2)(x－8)2＋5 B．y＝eq\f(1,2)(x－4)2＋5C．y＝eq\f(1,2)(x－8)2＋3 D．y＝eq\f(1,2)(x－4)2＋3解析：選B拋物線y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21＝eq\f(1,2)(x－6)2＋3，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(6，3)．將其向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(4，5)，所以新拋物線的解析式是y＝eq\f(1,2)(x－4)2＋5.一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題[例3](鏈接教科書(shū)第33頁(yè)練習(xí)1題)(1)求函數(shù)y＝x2－3x－7(x∈R)的最小值；(2)在區(qū)間[2，3]上，求函數(shù)y＝x2－3x－7的最大值與最小值．[解](1)由y＝x2－3x－7＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(37,4)，∵x∈R，∴當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(3,2)時(shí)，ymin＝－eq\f(37,4).(2)由(1)知，該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝eq\f(3,2)?[2，3]，圖象開(kāi)口向上，在區(qū)間[2，3]上，函數(shù)值y隨x的增大而增大，∴函數(shù)在區(qū)間[2，3]上，函數(shù)在x＝3處取最大值，即ymax＝－7，在x＝2時(shí)取最小值，即ymin＝－9.[母題探究](變條件)若本例(2)條件變?yōu)閤∈[－1，3]，求函數(shù)的最大值與最小值．解：由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝eq\f(3,2)∈[－1，3]，圖象開(kāi)口向上，∴當(dāng)x＝eq\f(3,2)時(shí)，函數(shù)取得最小值，ymin＝－eq\f(37,4)，函數(shù)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))上函數(shù)值y隨x的增大而減小，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))上函數(shù)值y隨x的增大而增大．∴當(dāng)x＝3時(shí)，ymax＝－7.eq\a\vs4\al()求一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法一看開(kāi)口方向；二看對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間的相對(duì)位置，簡(jiǎn)稱(chēng)“兩看法”．[跟蹤訓(xùn)練]一元二次函數(shù)y＝－x2＋2x－5，當(dāng)x取全體實(shí)數(shù)時(shí)，有()A．最大值－5 B．最小值－5C．最大值－4 D．最小值－4解析：選C配方，得y＝－(x－1)2－4，所以當(dāng)x＝－1時(shí)，ymax＝－4.一元二次函數(shù)的圖象[例4]已知一元二次函數(shù)y＝2x2－4x－6.(1)求此函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，并畫(huà)出函數(shù)圖象；(2)求此函數(shù)圖象與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，并求出以此三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積；(3)x為何值時(shí)，y>0，y＝0，y<0?[解](1)配方，得y＝2(x－1)2－8.∵a＝2>0，∴函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，－8)．列表：x－10123y0－6－8－60描點(diǎn)并畫(huà)圖，得函數(shù)y＝2x2－4x－6的圖象，如圖所示．(2)由圖象得，函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(－1，0)，B(3，0)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為C(0，－6)．S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·|OC|＝eq\f(1,2)×4×6＝12.(3)由函數(shù)圖象知，當(dāng)x<－1或x>3時(shí)，y>0；當(dāng)x＝－1或x＝3時(shí)，y＝0；當(dāng)－1<x<3時(shí)，y<0.eq\a\vs4\al()觀察圖象主要是把握其本質(zhì)特征：開(kāi)口方向決定a的符號(hào)，在y軸上的交點(diǎn)決定c的符號(hào)(值)，對(duì)稱(chēng)軸的位置決定－eq\f(b,2a)的符號(hào)，另外還要注意與x軸的交點(diǎn)、函數(shù)的單調(diào)性等．[跟蹤訓(xùn)練]如圖是一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過(guò)點(diǎn)A(－3，0)，對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1.給出下面四個(gè)結(jié)論：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正確的是()A．②④ B．①④C．②③ D．①③解析：選B因?yàn)閳D象與x軸交于兩點(diǎn)，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正確；對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1，即－eq\f(b,2a)＝－1，2a－b＝0，②錯(cuò)誤；結(jié)合圖象，當(dāng)x＝－1時(shí)，y＞0，即a－b＋c＞0，③錯(cuò)誤；由對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1知，b＝2a.又函數(shù)圖象開(kāi)口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正確．1．已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝1，并且函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，7)，則a，b的值分別是()A．2，4 B．－2，4C．2，－4 D．－2，－4解析：選C由題意，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)＝1，,a－b＋1＝7))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－4，))故選C.2．將拋物線y＝x2＋1先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新拋物線的表達(dá)式為()A．y＝(x＋2)2＋4 B．y＝(x－2)2－2C．y＝(x－2)2＋4 D．y＝(x＋2)2－2解析：選D∵一元二次函數(shù)解析式為y＝x2＋1，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)(0，1)．將其頂點(diǎn)坐標(biāo)向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到新的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－2)，可設(shè)新函數(shù)的解析式為y＝(x－h(huán))2＋k，代入新的頂點(diǎn)坐標(biāo)得y＝(x＋2)2－2.3．下列一元二次函數(shù)的圖象通過(guò)平移能與一元二次函數(shù)y＝x2－2x－1的圖象重合的是()A．y＝2x2－x＋1 B．y＝x2＋2x＋1C．y＝eq\f(1,2)x2－2x－1 D．y＝eq\f(1,2)x2＋2x＋1解析：選B∵經(jīng)過(guò)平移后能與一元二次函數(shù)y＝x2－2x－1的圖象重合，∴a＝1，觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)B符合題意．4．已知拋物線y＝x2－4x＋3，當(dāng)0≤x≤m時(shí)，y的最小值為－1，最大值為3，則m的取值范圍為()A．[2，＋∞) B．[0，2]C．[2，4]