-新教材高中數(shù)學(xué)課時練習(xí)17函數(shù)的極值含解析新人教A版選擇性必修

PAGEPAGE9函數(shù)的極值(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共30分)1．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＋1)ex＋1，則()A．x＝2為f(x)的極大值點(diǎn)B．x＝2為f(x)的極小值點(diǎn)C．x＝－2為f(x)的極大值點(diǎn)D．x＝－2為f(x)的極小值點(diǎn)【解析】選D.函數(shù)f(x)＝(x＋1)ex＋1，所以f′(x)＝(x＋2)ex，令(x＋2)ex＝0，可得x＝－2，當(dāng)x<－2時，f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>－2時，f′(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增，所以x＝－2是函數(shù)的極小值點(diǎn)．2.已知函數(shù)f(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)，c分別是極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)B．b，c分別是極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)C．f(x)在區(qū)間(a，c)上單調(diào)遞增D．f(x)在區(qū)間(b，c)上單調(diào)遞減【解析】選C.由極值點(diǎn)的定義可知，a是極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)；由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，＋∞)上單調(diào)遞增．3．函數(shù)y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有()A．極大值5，極小值－27B．極大值5，極小值－11C．極大值5，無極小值D．極小值－27，無極大值【解析】選C.由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.當(dāng)x<－1或x>3時，y′>0；當(dāng)－1<x<3時，y′<0.所以當(dāng)x＝－1時，函數(shù)有極大值5；3?(－2，2)，故無極小值．4．函數(shù)f(x)＝mlnx－cosx在x＝1處取得極值，則m的值為()A．sin1B．－sin1C．cos1D．－cos1【解析】選B.因?yàn)閒′(x)＝eq\f(m,x)＋sinx，由題意得：f′(1)＝m＋sin1＝0，所以m＝－sin1.5．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(4ex,x2)，則()A．f(x)的極小值為f(2)＝e2B．f(x)的極大值為f(2)＝e2C．f(x)的極小值為f(－2)＝e2D．f(x)的極大值為f(－2)＝e2【解析】選A.由函數(shù)f(x)＝eq\f(4ex,x2)求導(dǎo)，得f′(x)＝eq\f(4ex（x－2）,x3)，所以當(dāng)x>2或x<0時，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)0<x<2時，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)，所以f(x)的極小值為f(2)＝e2，沒有極大值．6．若a＞0，b＞0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx在x＝1處有極值，則eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A．eq\f(4,9)B．eq\f(4,3)C．eq\f(3,2)D．eq\f(2,3)【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx在x＝1處有極值，所以f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，則eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,6)(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(a,b)＋\f(4b,a)))≥eq\f(5＋4,6)＝eq\f(3,2)(當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(a,b)＝eq\f(4b,a)且a＋b＝6，即a＝2b＝4時取“＝”).二、填空題(每小題5分，共10分)7．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,4)x4在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上的極值點(diǎn)為__________．【解析】因?yàn)閒(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,4)x4，所以f′(x)＝x2－x3＝－x2(x－1)，令f′(x)＝0，則x＝0或x＝1，因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，所以x＝1，并且在x＝1左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,4)x4在區(qū)間[eq\f(1,2)，3]上的極值點(diǎn)為1.答案：1【警示誤區(qū)】函數(shù)的極值點(diǎn)都是其導(dǎo)數(shù)等于0的根，但須注意導(dǎo)數(shù)等于0的根不一定都是極值點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)導(dǎo)數(shù)圖象分析再下結(jié)論是不是其極值點(diǎn)．8．若函數(shù)y＝－x3＋6x2＋m的極大值為13，則實(shí)數(shù)m等于__________.【解析】y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4).由y′＝0，得x＝0或4.且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)時，y′<0；x∈(0，4)時，y′>0.所以x＝4時函數(shù)取到極大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.答案：－19三、解答題(每小題10分，共20分)9．已知函數(shù)y＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2處有極值，且其圖象在x＝1處的切線與直線6x＋2y＋5＝0平行．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)的極大值與極小值的差．【解析】y′＝3x2＋6ax＋3b，因?yàn)閤＝2是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以12＋12a＋3b＝0，即4＋4a＋b＝0.①又圖象在x＝1處的切線與直線6x＋2y＋5＝0平行，所以y′|x＝1＝3＋6a＋3b＝－3，即2a＋b＋2＝0.②由①②解得a＝－1，b＝0.此時，y′＝3x2－6x＝3x(x－2).(1)令y′＞0，得x(x－2)＞0，所以x＜0或x＞2；令y′＜0，得x(x－2)＜0，所以0＜x＜2.所以函數(shù)在(0，2)上是減函數(shù)，在(－∞，0)，(2，＋∞)上是增函數(shù)．(2)由(1)可以斷定，x＝0是極大值點(diǎn)，x＝2是極小值點(diǎn)，又y＝f(x)＝x3－3x2＋c，所以y極大值－y極小值＝f(0)－f(2)＝c－(8－12＋c)＝4.10．設(shè)f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R.(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間．(2)已知f(x)在x＝1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)g(x)＝f′(x)＝lnx－2ax＋2a，所以g′(x)＝eq\f(1,x)－2a＝eq\f(1－2ax,x).當(dāng)a≤0，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))時，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增．當(dāng)a>0，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2a)))時，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)，＋∞))時，g′(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減．綜上：當(dāng)a≤0時，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞).當(dāng)a>0時，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2a)))，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)，＋∞)).(2)由(1)知f′(1)＝0.①當(dāng)a≤0，f′(x)單調(diào)遞增，所以x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)在x＝1處取得極小值，不合題意．②當(dāng)0<a<eq\f(1,2)，eq\f(1,2a)>1時，由(1)知f′(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2a)))內(nèi)單調(diào)遞增，所以x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2a)))時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)在x＝1處取得極小值，不合題意．③當(dāng)a＝eq\f(1,2)，eq\f(1,2a)＝1時，f′(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，所以x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))時，f′(x)≤0，f(x)單調(diào)遞減，不合題意．④當(dāng)a>eq\f(1,2)，0<eq\f(1,2a)<1時，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)，1))上，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)在x＝1處取得極大值，符合題意．綜上可知a>eq\f(1,2).(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．設(shè)函數(shù)f(x)＝ex(sinx－cosx)(0≤x≤2015π)，則函數(shù)f(x)的各極大值之和為()A．eq\f(e2π（1－e2015π）,1－e2π) B．eq\f(e2π（1－e2015π）,1－eπ)C．eq\f(1－e2015π,1－e2π) D．eq\f(eπ（1－e2016π）,1－e2π)【解析】選D.由題意，得f′(x)＝(ex)′(sinx－cosx)＋ex(sinx－cosx)′＝2exsinx，所以x∈(2kπ，2kπ＋π)時，f(x)遞增，x∈(2kπ＋π，2kπ＋2π)時，f(x)遞減，故當(dāng)x＝2kπ＋π時，f(x)取極大值，其極大值為f(2kπ＋π)＝e2kπ＋π[sin(2kπ＋π)－cos(2kπ＋π)]＝e2kπ＋π，又0≤x≤2015π，所以函數(shù)f(x)的各極大值之和為S＝eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2015π＝eq\f(eπ[1－（e2π）1008],1－e2π)＝eq\f(eπ（1－e2016π）,1－e2π).2．已知x＝2是函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋2的極小值點(diǎn)，那么函數(shù)f(x)的極大值為()A．15B．16C．17D．18【解析】選D.因?yàn)閤＝2是函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋2的極小值點(diǎn)，所以f′(2)＝12－3a＝0，解得a＝4，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x3－12x＋2，f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0，得x＝±2，故函數(shù)f(x)在(－2，2)上是減少的，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增加的，由此可知當(dāng)x＝－2時，函數(shù)f(x)取得極大值f(－2)＝18.3．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則f(2)等于()A．11或18 B．11C．18 D．17或18【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，所以f(1)＝10，且f′(1)＝0，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋a＋b＋a2＝10，,3＋2a＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11.))而當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3))時，f′(x)＝3(x－1)2，所以函數(shù)在x＝1處無極值，故舍去．所以f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，所以f(2)＝18.4．已知a∈R，且函數(shù)y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的極值點(diǎn)，則()A．a(chǎn)<－1 B．a(chǎn)>－1C．a(chǎn)<－eq\f(1,e) D．a(chǎn)>－eq\f(1,e)【解析】選A.因?yàn)閥＝ex＋ax.所以y′＝ex＋a.令y′＝0，即ex＋a＝0，則ex＝－a，即x＝ln(－a)，又因?yàn)閤>0，所以－a>1，即a<－1.二、填空題(每小題5分，共20分)5．已知函數(shù)f(x)＝x4＋9x＋5，則f(x)的圖象在(－1，3)內(nèi)與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)為________．【解析】因?yàn)閒′(x)＝4x3＋9，當(dāng)x∈(－1，3)時，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，3)上單調(diào)遞增，又f(－1)＝－3＜0，f(0)＝5＞0，所以f(x)在(－1，3)內(nèi)與x軸只有一個交點(diǎn)．答案：16．函數(shù)f(x)＝x3－6x2－15x＋2的極大值是________，極小值是________．【解析】f′(x)＝3x2－12x－15＝3(x－5)(x＋1)，在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f′(x)>0，在(－1，5)上f′(x)<0，所以f(x)極大值＝f(－1)＝10，f(x)極小值＝f(5)＝－98.答案：10－987．已知函數(shù)f(x)＝6lnx－ax2－8x＋b(a，b為常數(shù))，且x＝3為f(x)的一個極值點(diǎn)．則a的值為________；函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為________．【解析】(1)因?yàn)閒′(x)＝eq\f(6,x)－2ax－8，所以f′(3)＝2－6a－8＝0，解得a＝－1.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞).由(1)知f(x)＝6lnx＋x2－8x＋b.所以f′(x)＝eq\f(6,x)＋2x－8＝eq\f(2（x2－4x＋3）,x).由f′(x)＞0可得x＞3或0＜x＜1，由f′(x)＜0可得1＜x＜3(x＜0舍去).所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，(3，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，3).答案：－1(1，3)8．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x－a,x＋1)·ex在定義域內(nèi)有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解析】f′(x)＝eq\f(x＋1－x＋a,（x＋1）2)·ex＋eq\f(x－a,x＋1)·ex＝eq\f(x2＋（1－a）x＋1,（x＋1）2)·ex.因?yàn)閤2＋(1－a)x＋1＝0有兩個不相等且不等于－1的實(shí)數(shù)根，所以(1－a)2－4>0且a≠－1，解得a<－1或a>3.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)三、解答題(每小題10分，共30分)9．已知函數(shù)f(x)＝x3－bx2＋2cx的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱．(1)求b的值；(2)若函數(shù)f(x)無極值，求c的取值范圍．【解析】(1)f′(x)＝3x2－2bx＋2c，因?yàn)楹瘮?shù)f′(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，所以－eq\f(－2b,6)＝2，即b＝6.(2)由(1)知，f(x)＝x3－6x2＋2cx，f′(x)＝3x2－12x＋2c＝3(x－2)2＋2c－12，當(dāng)2c－12≥0，即c≥6時，f′(x)≥0恒成立，此時函數(shù)f(x)無極值．10．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)ax3－bx2＋(2－b)x＋1在x＝x1處取得極大值，在x＝x2處取得極小值，且0<x1<1<x2<2.(1)證明：a>0；(2)求z＝a＋2b的取值范圍．【解析】(1)由函數(shù)f(x)在x＝x1處取得極大值，在x＝x2處取得極小值，知x1，x2是f′(x)＝0的兩個根．由題意，得f′(x)＝ax2－2bx＋2－b，所以f′(x)＝a(x－x1)(x－x2).由題意，知在x＝x1的左側(cè)有f′(x)>0.又因?yàn)閤－x1<0，x－x2<0，得a>0.(2)由題意，得0<x1<1<x2<2等價于：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（0）>0，,f′（1）<0，,f′（2）>0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－b>0，,a－2b＋2－b<0，,4a－4b＋2－b>0，))整理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－b>0，,a－3b＋2<0，,4a－5b＋2>0.))此不等式組表示的區(qū)域?yàn)槠矫鎍Ob上三條直線2－b＝0，a－3b＋2＝0，4a－5b＋2＝0所圍成的△ABC的內(nèi)部，如圖所示．△ABC的三個頂點(diǎn)分別為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)，\f(6,7)))，B(2，2)，C(4，2).z＝a＋2b在這三點(diǎn)的值依次為eq\f(16,7)，6，8，所以z＝a＋2b的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,7)，8)).11．已知