-新教材高中數(shù)學(xué)午間半小時(shí)二十練習(xí)含解析蘇教版必修第二冊(cè)

PAGEPAGE3午間半小時(shí)(二十)(30分鐘50分)一、單選題1．在△ABC中，已知2B＝A＋C，且b＝eq\r(3)，則eq\f(sinA＋sinB＋sinC,a＋b＋c)＝()A．2B．eq\f(1,2)C．eq\r(3)D．eq\f(\r(3),3)【解析】選B.因?yàn)?B＝A＋C，由A＋B＋C＝π得B＝eq\f(π,3)，因?yàn)閎＝eq\r(3)，所以由正弦定理得，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，所以eq\f(sinA＋sinB＋sinC,a＋b＋c)＝eq\f(sinB,b)＝eq\f(1,2).2．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其面積為S，若滿足關(guān)系式a2＋b2－c2＝4S，則角C＝()A．eq\f(π,4)B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,3)D．eq\f(3π,4)【解析】選A.因?yàn)閍2＋b2－c2＝4S，所以2abcosC＝2absinC，故sinC＝cosC即tanC＝1，因?yàn)镃為三角形的內(nèi)角，所以C＝eq\f(π,4).3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若csinC＝asinA＋(b－a)sinB，角C的角平分線交AB于點(diǎn)D，且CD＝eq\r(3)，a＝3b，則c的值為()A．eq\f(7,2)B．eq\f(4\r(7),3)C．3D．2eq\r(3)【解析】選B.因?yàn)閏sinC＝asinA＋(b－a)sinB，由正弦定理可得c2＝a2＋(b－a)b，可得a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理可得：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，因?yàn)?<C<π，所以C＝eq\f(π,3)，由S△ABC＝S△ACD＋S△BCD，有eq\f(1,2)absineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)a·CDsineq\f(π,6)＋eq\f(1,2)b·CDsineq\f(π,6)，得ab＝a＋b，所以3b2＝4b，因?yàn)閎>0，所以b＝eq\f(4,3)，a＝3b＝4，由余弦定理可得c＝eq\r(a2＋b2－2abcosC)＝eq\r(16＋\f(16,9)－\f(16,3))＝eq\f(4\r(7),3).4．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝eq\r(3)，則c＝()A．1或2B．2C．eq\r(2)D．1【解析】選B.因?yàn)锽＝2A，a＝1，b＝eq\r(3)，所以由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得：eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(3),sinB)＝eq\f(\r(3),sin2A)＝eq\f(\r(3),2sinAcosA)，所以cosA＝eq\f(\r(3),2)，A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(π,3)，則C＝eq\f(π,2)，c＝eq\r(a2＋b2)＝2.5．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，則△ABC的面積為()A．eq\f(1,2)B．1C．eq\r(3)D．2【解析】選C.因?yàn)閍2＝b2＋c2－bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)，由A∈(0，π)可得A＝eq\f(π,3)，所以sinA＝eq\f(\r(3),2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3).6．在△ABC中，已知∠A＝45°，AB＝6eq\r(2)，且AB邊上的高為2eq\r(2)，則sinC＝()A．eq\f(\r(10),10)B．eq\f(3\r(10),10)C．eq\f(\r(10),5)D．eq\f(2\r(10),5)【解析】選B.因?yàn)樵凇鰽BC中，已知∠A＝45°，AB＝6eq\r(2)，且AB邊上的高為2eq\r(2)，所以AD＝2eq\r(2)，AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝4，所以由余弦定理可得BC＝eq\r(AC2＋AB2－2AC·AB·cosA)＝eq\r(16＋72－2×4×6\r(2)×\f(\r(2),2))＝eq\r(40)，所以由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)可得sinC＝eq\f(AB·sinA,BC)＝eq\f(6\r(2)×\f(\r(2),2),\r(40))＝eq\f(3\r(10),10).二、多選題7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A＝eq\f(π,6)，a＝2，c＝2eq\r(3)，則角C可以是()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(5π,6)D．eq\f(2π,3)【解析】選BD.由正弦定理可得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，所以sinC＝eq\f(c,a)sinA＝eq\f(\r(3),2)，而a<c，所以A<C，所以eq\f(π,6)<C<eq\f(5,6)π，故C＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).8．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若C＝eq\f(π,6)，c＝3且該三角形有兩解，則a的值可以為()A．4B．5C．6D．7【解析】選AB.因?yàn)橛袃山猓詀sinC<c<a，eq\f(1,2)a<3<a，3<a<6.三、填空題9．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c若a＝2，B＝eq\f(π,3)，C＝eq\f(π,2)，則b＝________【解析】由于B＝eq\f(π,3)，C＝eq\f(π,2)，所以A＝eq\f(π,6)，又a＝2，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)?eq\f(2,sin\f(π,6))＝eq\f(b,sin\f(π,3))?b＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)10．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，(eq\r(3)b－c)cosA＝acosC，則cosA＝________.【解析】因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)b－c))cosA＝acosC，由正弦定理可得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)sinB－sinC))cosA＝eq\r(3