第23計(jì) 探索開門 智勇雙鋒

22222222222222222222222222222222222222數(shù)學(xué)破題36計(jì)●名義

第23計(jì)

探索開門

智勇雙鋒所謂創(chuàng)新題，就是這之前沒有做過，沒有見過沒有現(xiàn)成“套路”可以套用的陌生題目，它的答案（是否存在的解（暫時(shí)不知我們在“摸著石頭過河”中得以發(fā)現(xiàn)和解決這就是所謂的“探索解題.“石頭我已有的知識(shí)和方法，這當(dāng)然是很重要的若要“過河有些還不夠過河人還需要兩大素質(zhì)：大智大勇！面對著數(shù)學(xué)上的探索問題，智、勇體現(xiàn)在哪里？勇——大膽地猜；智——小心地證典示【例】如所示在正四棱柱—ABD中FGH別是棱CCCD，1111D，D的中點(diǎn)，N是點(diǎn)，點(diǎn)M在邊形EFGH及內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M要滿足1條件時(shí)，就有MN∥平面（填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考1慮全部可能情況【思】顯HN，即得HN∥平面BDD，使點(diǎn)M在面EFGH內(nèi)動(dòng)時(shí)總11有BBDD∥，只需過HN作平面，使之平行于平面BDD，線面平行的問題轉(zhuǎn)化為面111面平行的問【解】連FH，當(dāng)點(diǎn)M在HF上動(dòng)時(shí)，恒有∥面BDD11例1題

例1題解圖證明如下：連，HF，BDB，平面NHF交BC于P.則NHBDHFBB，1故平面∥平面.MN面，∴∥面BBDD111【例】知f()二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的二次函數(shù)，且對于任何∈Rf(2-x)=f(2+)總成立，問x

)與f(1+2)足什么條件時(shí)，才能-2<x<0成.【思】根已知條件很容易得到f(x是開口向下且對稱軸為x的次函數(shù)，然后可通過函數(shù)單調(diào)區(qū)間進(jìn)行分類討【解】由設(shè)知：函數(shù)fx)的圖象是開口向下且對軸為直線=2的拋物線故函數(shù)()(-,2上是增函數(shù)；在2,+上是減函數(shù)∵x≤1<2，1+2=-（x-1）+2∴1-2x∈∞,21+2x-x∈(-］當(dāng)

)<fx-x

)時(shí)，x

<1+2x-x

即x+2x，得或x不能-2<<0立當(dāng))>f)1-2,即x+2x，得2<，符合題意，當(dāng))=f)，可x=-2或0不能-x成

222mm1或?346211n-1n-1nn-1nmmm6-m2222mm1或?346211n-1n-1nn-1nmmm6-m22n-122∴當(dāng)【例】

)時(shí)，才能使<0成)>f能否構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列{}使同時(shí)滿足三個(gè)條:+=11②an6

329

;③至少存在一個(gè)自然數(shù)，使

2a，a依次成等差數(shù)若能，請寫出這個(gè)數(shù)39列的通項(xiàng)公【解】先慮前兩個(gè)條設(shè)等比數(shù)列{a}公為.n5)11a3∵aa,∴3a219即滿足條件①，②的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為n

12或=231（）如a=2，設(shè)存在題設(shè)要求的m∈N，則33

13

m

=

21m.33化簡得：2

2m

2

m

-8=0

=8，m（

）

如

n

322

2

n-1

，

設(shè)

存

在

m

∈

N

使32324232化簡得4(2

)

－112

6-m

-8=0這Δ=11

+1638=249不完全平方數(shù)∴合條件的m不存在綜上所述，能構(gòu)造出滿足條件①，②，③的等比數(shù)列，該自然數(shù)m，列的通項(xiàng)公式為：n

13

2.【例】將二次函數(shù)f()=ax對應(yīng)于一次函數(shù))=2求f()=+2x對的一次函數(shù)(x（）觀察后請寫出這個(gè)對應(yīng)法.（3可以用(x的某些性質(zhì)來研究f(x)的性質(zhì)：當(dāng)g(時(shí)，對應(yīng)的f(x的性質(zhì)有哪些？（4你還能研究另外的某些性質(zhì)嗎？（5設(shè)g(xx，寫出與(x)對應(yīng)的fx)的三個(gè)不同的解析.【思】本是結(jié)論開放試題，解題時(shí)要求根據(jù)已知條件將結(jié)論（必要條件）補(bǔ)充完整f()g(x是什么關(guān)系？我容易由f′x，f′x)=()，可見，只有當(dāng)(x)=f(x)時(shí)，才有可能用()的性質(zhì)來研究f()的某些性質(zhì).【解】=1，b=2∴()=2x+2.（2①(x)一次項(xiàng)系數(shù)是fx)的二次項(xiàng)系數(shù)與其次數(shù)的積；②gx)常數(shù)項(xiàng)等于f()的一次項(xiàng)系數(shù)

2222222222(，即，當(dāng)時(shí)x>

bb，而x=2a2a

是f(x的對稱軸，故這時(shí)f()是單調(diào)增函數(shù)；時(shí)<

b2a

，(仍為單調(diào)增函數(shù)(前者單調(diào)區(qū)間為

b2

?調(diào)區(qū)間為

b2

).當(dāng)(時(shí)f(x)單調(diào)減函(請仿照（）證明之.()=x，ax+b=x，知=

1，b只須在f()=中命=，，c取213意值即可，如f(x)=x，()=+，f(x)=+5.222【小】指導(dǎo)開題解法的理論依據(jù)是充分必要條件，即若A條件，B為的要條件●對應(yīng)訓(xùn)

B，則稱為B的分已知圓O′過定點(diǎn)（，(>0)，圓心′拋物線xpy上動(dòng)，MN圓O在軸上截得的弦，AM，AN|=d，MAN=12當(dāng)′運(yùn)動(dòng)時(shí)，是有變化，并證明你的結(jié)論；（2求

dd1dd2

21

的最大值,并求取得最大值的的如圖所，已知在矩形ABCD，，(a，⊥面AC且PA問邊是否存在Q便得⊥QD，并說明理由；（2若BC邊有且只有一點(diǎn)Q，使得⊥QD，求這時(shí)二面角QPD—A的小

第2題圖已知橢

2ab

6(a>b的離心率e=，過點(diǎn)A（0,-）B（,0）的直線原點(diǎn)3距離為

32

(Ⅰ求橢圓方;(Ⅱ已知定點(diǎn)（-1,0）若直線y與橢圓交于、兩，試判斷：是否存在k的值，使以CD為徑的圓過點(diǎn)E？若存在，求出這個(gè).若存在，說明理由.是否存一條雙曲線同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①原點(diǎn)O與線x=1是它的焦點(diǎn)和準(zhǔn)；②被直線x+y=0垂平分的弦的長等于22，若存在，求出它的方程；若不存在，明理

222212021122222212021122由●考案如所示，設(shè)拋物線上一點(diǎn)O(x，0

x20p

)，連結(jié)O，OM作′C⊥于，則MC，∵O′O′|=

x0

x0p

)

x0p

2

p

2∴

||

2O

x0p

2

2

x0p

2

p

第1題圖∴p為值.即當(dāng)O運(yùn)動(dòng)時(shí)，不會(huì)有變化，總有如圖所示，有（x-pN(，00∴d=1

x)

=2

p

x)

∴dd=4p+2，dd=12

(2

)

(2)

4

ddd2∴=dd112

p2p

x204x40

2

(2

24

)00

2=

1

040

20p2

20

2.

當(dāng)且僅當(dāng)x=2p0

，即x=±0

2

py=時(shí)等式成立，此時(shí)′M|=|′N0

2

∴∠MO′N°，∴eq\o\ac(△,)N為腰直角三角形∴=45.【思】這一道探性問題，解決這類問題常從要探求的線面關(guān)系必須滿足的條件出發(fā)此題要使PQQDPA⊥需滿足AQ⊥QD即轉(zhuǎn)化到在平面上尋求⊥QD的件，從而使問題得到解【解】（）結(jié)AQ，∵PA面ABCD∴要使⊥，只要⊥QD即以為徑的圓與有共這就是說，當(dāng)ADAB，即a，在上存在點(diǎn)，⊥QD.∵當(dāng)a>2時(shí)以AD為直徑的圓與BC有個(gè)交.當(dāng)時(shí)只有的點(diǎn)滿足條件∴AD=2Q為中點(diǎn)，取AD的點(diǎn)M連結(jié)∵面⊥ABCD，QM，⊥.過M作MNPDN，連結(jié)NQ根據(jù)三垂線定理有，QN⊥PD.∴是二面角—PD的面.在eq\o\ac(△,Rt)QMN中=12∠=13

55

∴∠MNQ=

2222222222211222222222121201122222222222112222222221212011∴二面角Q—PDA為arctan5.【思】第一問從離心率的定義入手，很容易求得b的，從而得到橢圓方第二問判斷k值否存在以假設(shè)其存在把問題變成一個(gè)結(jié)論確定的傳統(tǒng)問題求符條件的k值存在，反之，則不存.【解】（）=

ca

a26a2，∴a3a2

，∴a，a

.過A0,-B(a的直線為

xab

把=

入，即x-

y-

b=0,又由已知

b|3)

，解得=1，∴=3.(Ⅱ設(shè)C，D（，）122y由3去y，kx

得(1+3

)xkx必須

1+3

≠Δ=（12）

k

或>1

①要存在k滿①且使

y1x1

即x++1+yy=0.1

②∵y=kx，kx12∴②式即為(1+kx+1)(+12129∵x+,x，代入③得9k+9-24-12122

③∴k=

76

7滿足①式∴存在的使以為徑的圓過E點(diǎn)這個(gè)值是.6設(shè)存在樣的雙曲線，其離心率為，則根據(jù)雙曲線定義得：

x2yx

化簡為：e-1)

-y

e

xe

=0將弦所在直線y=x+b代得e-2)be

)+e

-b