-新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語5全稱量詞與存在量詞第1課時(shí)課件新人教A版必修第一冊(cè)

第一章

集合與常用邏輯用語1．5全稱量詞與存在量詞1．5.1全稱量詞與存在量詞[課程目標(biāo)]1.理解全稱量詞、全稱量詞命題的定義，理解存在量

詞、存在量詞命題的定義；2.會(huì)判斷一個(gè)命題是全稱量詞命題還是存在量詞命

題，并會(huì)判斷它們的真假．

知識(shí)點(diǎn)一全稱量詞1．短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“____”表示，含有全稱量詞的命題，叫做__________________．2．將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M表示．那么，全稱量詞命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立”可用符號(hào)簡記為___________________．全稱量詞命題??x∈M，p(x)【思辨】判斷正誤(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)所有實(shí)數(shù)都有平方根．(

)(2)“有的質(zhì)數(shù)是奇數(shù)”是全稱量詞命題．(

)(3)“三角形內(nèi)角和等于180°”是全稱量詞命題．(

)(4)“對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，2x＋1是奇數(shù)”是全稱量詞命題．(

)【解析】(1)負(fù)數(shù)沒有平方根．(2)“所有質(zhì)數(shù)是奇數(shù)”才是全稱量詞命題．(3)“三角形內(nèi)角和等于180°”即“所有的三角形內(nèi)角和等于180°”．(4)根據(jù)全稱量詞命題的概念知，該說法正確．××√√

知識(shí)點(diǎn)二存在量詞1．短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“____”表示．含有存在量詞的命題，叫做________________．2．存在量詞命題“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符號(hào)簡記為__________________．?存在量詞命題?x∈M，p(x)【思辨】判斷正誤(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2＋2x＋＝0.(

)(2)函數(shù)y＝－2x＋3的圖象上有些點(diǎn)在第三象限．(

)(3)有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)．(

)(4)“至少有一個(gè)偶數(shù)是質(zhì)數(shù)”是存在量詞命題且是真命題．(

)××√√例1將下列命題用量詞符號(hào)“?”或“?”表示．(1)自然數(shù)的平方大于零；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一個(gè)負(fù)根；(3)兩個(gè)無理數(shù)的和是無理數(shù)；(4)存在兩個(gè)相似三角形不全等．解：(1)該命題省略了全稱量詞“任意一個(gè)”，因此可用符號(hào)表示為：?x∈N，x2>0.(2)用符號(hào)表示為：?x<0，ax2＋2x＋1＝0(a<1).(3)用符號(hào)表示為：?a，b∈{無理數(shù)}，a＋b∈{無理數(shù)}．(4)用符號(hào)表示為：?△ABC∽△A′B′C′，△ABC≌△A′B′C′不成立．

例2判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題.(1)梯形的對(duì)角線相等； (2)存在一個(gè)四邊形有外接圓；(3)所有的正方形都是矩形； (4)凸多邊形的外角和等于360°.解：(1)命題完整的表述應(yīng)為“所有梯形的對(duì)角線相等”，故為全稱量詞命題．(2)命題為存在量詞命題．(3)命題為全稱量詞命題．(4)命題可以改寫為“所有的凸多邊形的外角和等于360°”，故為全稱量詞命題．[規(guī)律方法]1．判斷一個(gè)語句是全稱量詞命題還是存在量詞命題的步驟：2．同一個(gè)全稱量詞命題或存在量詞命題，可能有不同的表述

方法，現(xiàn)列表總結(jié)如下，在實(shí)際應(yīng)用中可以靈活選擇：判斷下列語句是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并用符號(hào)“?”或“?”表示出來．(1)任何一個(gè)實(shí)數(shù)除以1，仍等于這個(gè)實(shí)數(shù)；(2)有一個(gè)奇數(shù)不能被3整除；(3)每個(gè)三角形至少有兩個(gè)銳角；(4)存在負(fù)數(shù)x，使得>2.例3判斷下列命題的真假：[規(guī)律方法](1)全稱量詞命題真假的判斷．

①要判定全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對(duì)集

合M中每個(gè)元素x，證明p(x)成立；要判定全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”是假命題，只需找到M中的一個(gè)元素x0，使

得p(x0)不成立即可．

②圖表表示(2)存在量詞命題真假的判斷．

①要判定存在量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，只需在集

合M中找到一個(gè)元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，

使p(x)成立的元素x不存在，那么這個(gè)存在量詞命題是假命

題，即對(duì)于?x∈M，p(x)都不成立．

②圖表表示．判斷下列命題的真假：(1)?x∈R，x2＋2>0； (2)?x∈N，x2≥1；(3)?x∈Z，x3<1； (4)?x∈Q，x2＝3.例4已知y＝3ax2＋6x－1(a∈R).(1)當(dāng)a＝－3時(shí)，求證：對(duì)任意x∈R，都有y≤0；(2)如果對(duì)任意x∈R，函數(shù)y＝3ax2＋6x－1(a∈R)的圖象恒在直線y＝4x的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)證明：當(dāng)a＝－3時(shí)，y＝－9x2＋6x－1.因?yàn)棣ぃ?6－4×(－9)×(－1)＝0，且二次項(xiàng)系數(shù)小于零，所以對(duì)任意x∈R，都有y≤0.[規(guī)律方法](1)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，a≥y恒成立，只需a≥ymax；若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使a≥y成立，只需a≥ymin.(2)解決有關(guān)恒成立問題的方法：一是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合求解；二是利用分離參數(shù)法求解．若命題“?x∈R，x2－2ax＋2≥a－a2”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：因?yàn)閷?duì)任意x∈R，x2－2ax＋2≥a－a2恒成立，所以a－a2小于或等于y＝x2－2ax＋2的最小值．因?yàn)閥＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，

所以當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)的最小值為2－a2，所以2－a2≥a－a2，解得a≤2.1．下列命題是“?x∈R，x2>3”的另一種表述方法的是(

)A．有一個(gè)x∈R，使得x2>3B．對(duì)有些x∈R，使得x2>3C．任意一個(gè)x∈R，使得x2>3D．至少有一個(gè)x∈R，使得x2>3【解析】“?x∈R，x2>3”是全稱量詞命題，改寫時(shí)應(yīng)使用全稱量詞．C2．下列命題中全稱量詞命題的個(gè)數(shù)是(

)①任意一個(gè)奇數(shù)都是整數(shù)；②有的三角形的一個(gè)內(nèi)角為45°；③四邊形的內(nèi)角和是360°.A．0

B．1C．2 D．3【解析】①和③是全稱量詞命題．C3．下列命題中，不屬于全稱量詞命題的是(

)A．任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘0都等于0B．自然數(shù)都是正整數(shù)C．不重合的兩條直線，不平行就相交D．一定存在沒有最大值的二次函數(shù)【解析】“一定存在沒有最大值的二次函數(shù)”不是全稱量詞命題．D4．下列存在量詞命題是假命題的是(

)A．存在x∈Q，使2x－x3＝0B．存在x∈R，使x2＋3x＋3＝0C．至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)D．有的有理數(shù)沒有倒數(shù)【解析】“存在x∈R，使x2＋3x＋3＝0”是假命題，因?yàn)棣ぃ?2－