材料力學課件 應力狀態(tài)與強度理論

應力狀態(tài)與強度理論及其工程應用前面幾章中，分別討論了拉伸、壓縮、彎曲與扭轉(zhuǎn)時桿件的強度問題，這些強度問題的共同特點是，一是危險截面上的危險點只承受正應力或剪應力；二是都是通過實驗直接確定失效時的極限應力，并以此為依據(jù)建立強度設計準則。

工程上還有一些構件或結構，其橫截面上的一些點同時承受正應力與剪應力。這種情形下，怎樣建立強度條件？強度條件中的危險應力如何確定？為了解決這些問題，一方面需要引入應力狀態(tài)的概念，另一方面還要研究不同的應力狀態(tài)下構件的破壞規(guī)律，尋找破壞的共同原因。在復雜載荷作用下，危險點的應力狀態(tài)大都比較復雜。復雜應力狀態(tài)種類繁多，不可能一一通過實驗確定失效時的極限應力。因而，必須研究在各種不同的復雜應力狀態(tài)下，強度失效的共同規(guī)律，假定失效的共同原因，從而有可能利用單向拉伸的實驗結果，建立復雜受力時的失效判據(jù)與設計準則。所謂應力狀態(tài)（stress-state），是指過一點不同方向面上應力的總稱。應力狀態(tài)應力狀態(tài)的基本概念平面應力狀態(tài)任意方向面上的應力應力圓及其應用結論與討論(1)應力狀態(tài)中的主應力與最大剪應力廣義胡克定律應變能與應變能密度承受內(nèi)壓薄壁容器的應力狀態(tài)研究內(nèi)容應力狀態(tài)的基本概念應力狀態(tài)概述描述一點應力狀態(tài)的基本方法應力狀態(tài)分析方法應力狀態(tài)概述實驗現(xiàn)象：低碳鋼和鑄鐵的拉伸實驗

低碳鋼和鑄鐵的扭轉(zhuǎn)實驗低碳鋼拉伸實驗韌性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？鑄鐵拉伸實驗實驗現(xiàn)象：實驗現(xiàn)象：為什么脆性材料扭轉(zhuǎn)時沿45o螺旋面斷開？低碳鋼扭轉(zhuǎn)實驗鑄鐵扭轉(zhuǎn)實驗FPFP受力之前,表面的正方形受拉后，正方形變成了矩形，直角沒有改變。實驗現(xiàn)象：受力之前,表面斜置的正方形受力之前,，受拉后，正方形變成了菱形，直角有了改變。這表明：拉桿的斜截面上存在剪應力FPFP實驗現(xiàn)象：受扭之前圓軸表面的圓這表明，軸扭轉(zhuǎn)時，其斜截面上存在著正應力MxMx受扭后，變?yōu)橐恍敝脵E圓，長軸方向伸長，短軸方向縮短。這是為什么？實驗現(xiàn)象：拉中有剪根據(jù)微元的局部平衡平衡微元剪中有拉根據(jù)微元的局部平衡平衡微元根據(jù)實驗和分析：不僅橫截面上存在應力，斜截面上也存在應力；不僅要研究橫截面上的應力，而且也要研究斜截面上的應力。應力狀態(tài)概述橫截面上的正應力分布FNxFQ

橫截面上正應力分析和剪應力分析的結果表明：同一面上不同點的應力各不相同，此即應力的點的概念。橫截面上的剪應力分布

微元平衡分析結果表明：即使同一點不同方向面上的應力也是各不相同的，此即應力的面的概念。應力狀態(tài)概述應力指明哪一個面上？

哪一點？

哪一點？

哪個方向面？

過一點不同方向面上應力的集合，稱之為這一點的應力狀態(tài)（StateoftheStressesofaGivenPoint）。應力狀態(tài)概述應力狀態(tài)概述應力狀態(tài)分析方法應力狀態(tài)分析（analysisofstress-state）是用平衡的方法，分析過一點不同方向面上的應力以及這些應力之間的相互關系，并確定這些應力中的極大值和極小值以及它們的作用面。平衡對象既不是整體桿或某一段桿，也不是微段桿或其一部分，而是三個方向尺度均為小量的微元局部。描述一點應力狀態(tài)的基本方法應力狀態(tài)概述微元及其各面上的應力描述一點應力狀態(tài).

dxdydz微元（Element）（單元體）(Three-Dimensional

State

of

Stresses)三向（空間）應力狀態(tài)yxz微元的三向狀態(tài)

(

Plane

State

of

Stresses)平面（二向）應力狀態(tài)微元的平面應力狀態(tài)單向應力狀態(tài)(OneDimensionalStateofStresses)純剪應力狀態(tài)

(ShearingStateofStresses)三向應力狀態(tài)平面應力狀態(tài)單向應力狀態(tài)純剪應力狀態(tài)特例特例應力狀態(tài)的類型FPl/2l/2S平面例題1123S平面例題5544332211例題FPlaSxzy4321S平面例題yxzMz

FQyMx4321143平面應力狀態(tài)任意方向面上的應力方向角與應力分量的正負號約定拉為正壓為負正應力使微元或其局部順時針方向轉(zhuǎn)動為正；反之為負。剪應力平面應力狀態(tài)任意方向面上的應力方向角與應力分量的正負號約定yxq方向角q

由x正向反時針轉(zhuǎn)到x'正向者為正；反之為負。平面應力狀態(tài)任意方向面上的應力方向角與應力分量的正負號約定sxtxysyxyzxysxtxysyO平面應力狀態(tài)任意方向面上的應力研究對象

平衡對象建立平衡方程tyx參加平衡的量dAqx′y′——用

斜截面截取的微元局部——應力乘以其作用的面積xs平面應力狀態(tài)任意方向面上的應力研究對象tyx

x′dAqxs平面應力狀態(tài)任意方向面上的正應力剪應力平衡方程tyxｙdAqxs平面應力狀態(tài)任意方向面上的正應力剪應力平衡方程利用三角倍角公式，根據(jù)上述平衡方程式，可以得到計算平面應力狀態(tài)中任意方向面上正應力與剪應力的表達式：

平面應力狀態(tài)任意方向面上的正應力剪應力分析軸向拉伸桿件的最大剪應力的作用面，說明低碳鋼拉伸時發(fā)生屈服的主要原因。

桿件承受軸向拉伸時，其上任意一點均為單向應力狀態(tài)。根據(jù)平面應力狀態(tài)任意斜截面上的正應力和剪應力公式平面應力狀態(tài)任意方向面上的正應力剪應力例題根據(jù)平面應力狀態(tài)任意斜截面上的正應力和剪應力公式在本例的情形下，y＝0，yx＝0。

平面應力狀態(tài)任意方向面上的正應力剪應力例題根據(jù)這一結果，當θ＝45o時，斜截面上既有正應力又有剪應力，其值分別為

不難看出，在所有的方向面中，45o斜截面上的正應力不是最大值，而剪應力卻是最大值。這表明，軸向拉伸時最大剪應力發(fā)生在與軸線夾45o角的斜面上，這正是低碳鋼試樣拉伸至屈服時表面出現(xiàn)滑移線的方向。因此，可以認為屈服是由最大剪應力引起的。

平面應力狀態(tài)任意方向面上的正應力剪應力例題分析圓軸扭轉(zhuǎn)時最大剪應力的作用面，說明鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)破壞的主要原因。圓軸扭轉(zhuǎn)時，其上任意一點的應力狀態(tài)為純剪應力狀態(tài)。根據(jù)平面應力狀態(tài)任意斜截面上的正應力和剪應力公式平面應力狀態(tài)任意方向面上的正應力剪應力例題根據(jù)平面應力狀態(tài)任意斜截面上的正應力和剪應力公式在本例的情形下，x＝y(tǒng)＝0。

可以看出，當θ＝45o或θ＝－45o時，斜截面上只有正應力沒有剪應力。θ＝45o時(自x軸逆時針方向轉(zhuǎn)過45o)，拉應力最大；θ＝－45o時(自x軸順時針方向轉(zhuǎn)過45o)，壓應力最大：鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)實驗時，正是沿著最大拉應力作用面（即－45o螺旋面）斷開的。因此，可以認為這種脆性破壞是由最大拉應力引起的。平面應力狀態(tài)任意方向面上的正應力剪應力例題應力狀態(tài)中的主應力與最大剪應力主平面、主應力與主方向剪應力xy＝0的方向面，稱為主平面（principalplane），其方向角用p表示。

將上式對求一次導數(shù)，并令其等于零，有

主平面上的正應力稱為主應力（principalstress）。主平面法線方向即主應力作用線方向，稱為主方向（principaldirections）.主方向用方向角p表示。不難證明：對于確定的主應力，例如p,其方向角p由下式確定主應力具有極值的性質(zhì)，即當坐標系繞z軸(垂直于xy坐標面)旋轉(zhuǎn)時，主應力為所有坐標系中正應力的極值。

應力狀態(tài)中的主應力與最大剪應力主平面、主應力與主方向根據(jù)剪應力成對定理，當一對方向面為主平面時，另一對與之垂直的方向面(＝P＋π/2)，其上之剪應力也等于零，因而也是主平面，其上之正應力也是主應力。需要指出的是，對于平面應力狀態(tài)，平行于xy坐標面的平面，其上既沒有正應力、也沒有剪應力作用，這種平面也是主平面。這一主平面上的主應力等于零。應力狀態(tài)中的主應力與最大剪應力主平面、主應力與主方向平面應力狀態(tài)的三個主應力以后將按三個主應力代數(shù)值由大到小順序排列，并分別用表示根據(jù)主應力的大小與方向可以確定材料何時發(fā)生失效或破壞，確定失效或破壞的形式。因此，可以說主應力是反映應力狀態(tài)本質(zhì)內(nèi)涵的特征量。平面應力狀態(tài)的三個主應力x-y坐標系x′-y′坐標系xp-yp坐標系因此，同一點的應力狀態(tài)可以有無窮多種表達形式。在無窮多種表達形式中有沒有一種簡單的、但又能反映一點應力狀態(tài)本質(zhì)內(nèi)涵的表達形式？

一點的應力狀態(tài)多種表達根據(jù)上述方向結果，原來用x、y、xy和yx表示的應力狀態(tài)，現(xiàn)在可以用主應力表示。顯然，用主應力表示的應力狀態(tài)要比用一般應力分量表示的應力狀態(tài)簡單。用主應力表示一點處的應力狀態(tài)可以說明某些應力狀態(tài)表面上是不同的，但實質(zhì)是相同的，即其主應力和主方向都相同。一點的應力狀態(tài)多種表達由此得出另一特征角，用s表示對求一次導數(shù)，并令其等于零，得到

與正應力相類似，不同方向面上的剪應力亦隨著坐標的旋轉(zhuǎn)而變化，因而剪應力亦可能存在極值．為求此極值，將面內(nèi)最大剪應力得到xy

的極值

需要特別指出的是，上述剪應力極值僅對垂直于xy坐標面的方向面而言，因而稱為面內(nèi)最大剪應力（maximumshearingstressesinplane）與面內(nèi)最小剪應力。二者不一定是過一點的所有方向面中剪應力的最大和最小值。

面內(nèi)最大剪應力為確定過一點的所有方向面上的最大剪應力，可以將平面應力狀態(tài)視為有三個主應力（σ1、σ2、σ3）作用的應力狀態(tài)的特殊情形，即三個主應力中有一個等于零。

考察微元三對面上分別作用著三個主應力（σ1>σ2>σ3

0）的應力狀態(tài)所示。

過一點所有方向面中的最大剪應力σx=σ3,σy=σ2，τxy＝0這就是Ⅰ組方向面內(nèi)的最大剪應力。在平行于主應力σ1方向的任意方向面Ⅰ上，正應力和剪應力都與σ1無關。因此，當研究平行于σ1的這一組方向面上的應力時，所研究的應力狀態(tài)可視為一平面應力狀態(tài)：過一點所有方向面中的最大剪應力在平行于主應力σ2方向的任意方向面Ⅱ上，正應力和剪應力都與σ2無關。因此，當研究平行于σ2的這一組方向面上的應力時，所研究的應力狀態(tài)可視為一平面應力狀態(tài)：σx=σ1,σy=σ3，τxy＝0。

這就是Ⅱ組方向面內(nèi)的最大剪應力。過一點所有方向面中的最大剪應力σx=σ1,σy=σ2，τxy＝0。

在平行于主應力σ3方向的任意方向面Ⅲ上，正應力和剪應力都與σ3無關。因此，當研究平行于σ3的這一組方向面上的應力時，所研究的應力狀態(tài)可視為一平面應力狀態(tài)：這就是Ⅲ組方向面內(nèi)的最大剪應力。過一點所有方向面中的最大剪應力一點應力狀態(tài)中的最大剪應力，必然是上述三者中的最大的，即過一點所有方向面中的最大剪應力例題

薄壁圓管受扭轉(zhuǎn)和拉伸同時作用，如圖10－6a所示。已知圓管的平均直徑D＝50mm，壁厚δ＝2mm。外加力偶的力偶矩矩Me＝600N·m，軸向載荷FP＝20kN。薄壁管截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)可近似取為

求：1．圓管表面上過D點與圓管母線夾角為30o的斜截面上的應力

2.D點主應力和最大剪應力。

解：1．取微元，確定微元各個面上的應力圍繞D點用橫截面、縱截面和圓柱面截取微元。利用拉伸和圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的正應力和剪應力公式計算微元各面上的應力：

例題解：1．取微元，確定微元各個面上的應力利用拉伸和圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的正應力和剪應力公式計算微元各面上的應力：

例題解：2．

求斜截面上的應力

本例中有：

σx＝63.7MPa，σy＝0，τxy＝一76.4MPa，θ＝120o。

例題解：2．

求斜截面上的應力

例題解：3．確定主應力與最大剪應力

例題解：3．確定主應力與最大剪應力

根據(jù)主應力代數(shù)值大小順序排列，D點的三個主應力為D點的最大剪應力為

例題例題已知:應力狀態(tài)如圖所示。解：1.確定主應力

應用平面應力狀態(tài)主應力公式試：1．寫出主應力1、2、3的表達式；2．若已知x＝63.7MPa，xy=76.4

MPa，當坐標軸x、y反時針方向旋轉(zhuǎn)=120后至x'、y'，求:x、y、

τxy。

解：1.確定主應力

應用平面應力狀態(tài)主應力公式因為y＝0，所以又因為是平面應力狀態(tài)，故有例題于是，根據(jù)1＞2＞3的排列順序，得

例題解：2.計算方向面法線旋轉(zhuǎn)后的應力分量

將已知數(shù)據(jù)x＝63.7MPa，y＝0，xy＝－xˊyˊ=76.4MPa，=120等代入任意方向面上應力分量的表達式

，求得：

例題應力圓及其應用

應力圓方程ROC二倍角對應——半徑轉(zhuǎn)過的角度是方向面法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。轉(zhuǎn)向?qū)霃叫D(zhuǎn)方向與方向面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；點面對應——應力圓上某一點的坐標值對應著微元某一方向面上的正應力和剪應力；應力圓的畫法點面對應CaACaDndxA2轉(zhuǎn)向?qū)督菍狾ca(sx

,txy)BBb(sy

,tyx)建立坐標系由面找點確定圓心和半徑ABAABB應力圓的應用應用過程中，應當將應力圓作為思考、分析問題的工具，而不是計算工具。sxsxtx'y'sx'o2×45o2×45oBEADadcbeEEBB45o45o應力圓的應用ctx'y'sx'o2×45o2×45oadbesxsxEBEBsxsx應力圓的應用EBsxsx軸向拉伸時45o方向面上既有正應力又有剪應力，但正應力不是最大值，剪應力卻最大。應力圓的應用2×45o2×45osy'＝tsx'＝－tBEDAttd(0,-t)Ca(0,t)eb應力圓的應用sy'＝tsx'＝－tBEDAttsy'＝tsx'＝－tBE應力圓的應用

純剪應力狀態(tài)下，45o方向面上只有正應力沒有剪應力，而且正應力為最大值。DAttsy'＝tsx'＝－tBE應力圓的應用txysxsytyxtx'y'sx'oadAD主平面（PrincipalPlane）：t

=0,與應力圓上和橫軸交點對應的面cbePBPE2qp應力圓的應用sxsytyxADtxyPEPBsstx'y'sx'oadcbe2qpss主應力（PrincipalStresses）：主平面上的正應力應力圓的應用有幾個主應力？tx'y'sx'oadcbess應力圓的應用tx'y'sx'oadcbessadcbessadcbess主應力（PrincipalStresses）：主平面上的正應力應力圓的應用txysx由s2、s3可作出應力圓

Is3s2IIs1s2s3三向應力狀態(tài)的應力圓由s1、s3可作出應力圓IIIIs1

s3IIIs2s3txysxOs2s3s1三向應力狀態(tài)的應力圓IIItxysxOs3由s1、s2可作出應力圓

IIIIIIs2s1IIIs2s1s3三向應力狀態(tài)的應力圓s1IIIs3IIIs2Otxysx微元任意方向面上的應力對應著3個應力圓之間某一點的坐標。三向應力狀態(tài)的應力圓例題obatmax20030050(MPa)求：平面應力狀態(tài)的主應力1、2、3和最大切應力tmaxABO300100(MPa)tmax例題求：平面應力狀態(tài)的主應力1、2、3和最大切應力tmaxbaAB廣義胡克定律11橫向變形與泊松比－泊松比1＋xyx1－x三向應力狀態(tài)的廣義胡克定律－疊加法yzx對于平面應力狀態(tài)，廣義胡克定律為這表明，對于各向同性材料，3個彈性常數(shù)中，只有兩個是獨立的。各相同性材料各彈性常數(shù)之間的關系pppxstsmlpODxABy為承受內(nèi)壓的薄壁容器。試求:容器橫截面和縱截面上的正應力表達式；承受內(nèi)壓薄壁容器的應力狀態(tài)承受內(nèi)壓薄壁容器的應力狀態(tài)lptsmssm=?st

=?mmＤ容器橫截面正應力表達式Ｄ承受內(nèi)壓薄壁容器的應力狀態(tài)容器橫截面正應力表達式Ｄptt

t

(2

l)ppDl容器縱截面正應力表達式例題為測量容器所承受的內(nèi)壓力值，在容器表面用電阻應變片測得環(huán)向應變。若已知容器平均直徑D＝500mm，壁厚＝10mm，容器材料的E＝210GPa，＝0.25。試求：容器所受的內(nèi)壓力。

解：容器表面各點均承受二向拉伸應力狀態(tài)。所測得的環(huán)向應變不僅與環(huán)向應力有關，而且與縱向應力有關。根據(jù)廣義胡克定律，

應變能與應變能密度總應變能密度在材料的應力應變滿足胡克定律時，在小變形條件下，相應的力與位移也存在線性關系，這時力作功為：對于彈性體，外力功全部轉(zhuǎn)化為彈性應變能應變能與應變能密度微元體應變能(StrainEnergy)作用在微元體上的力與位移為：dydxdz力的作用點所產(chǎn)生的位移總應變能密度力～位移功dW

=力在微元體上所