奧數(shù)之表面積與體積

僅供個(gè)人參考Forpersonaluseinstudyandresearch;forcommercialuse奧數(shù)之面積與體積一）專題簡(jiǎn)：小學(xué)階段所學(xué)的立體圖形主要有四種長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體和圓錐體。從平面圖形到立體圖形是認(rèn)識(shí)上的一個(gè)飛躍，需要有更高水平的空間想象能力。因此，要牢固掌握這些幾何圖形的特征和有關(guān)的計(jì)算方法，能將公式作適當(dāng)?shù)淖冃?，養(yǎng)成“數(shù)、形”結(jié)合的好習(xí)慣，解題時(shí)要認(rèn)真細(xì)致觀察，合理大膽想象，正確靈活地計(jì)算。在解答立體圖形的表面積問(wèn)題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：（1）充分利用正方體六個(gè)面的面積都相等，每個(gè)面都是正方形的特點(diǎn)。（）把一個(gè)立體圖形切成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。反之，把兩個(gè)立體圖形粘合到一起，減少的表面積等于粘合面積的兩倍。（3）若把幾個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最大的長(zhǎng)方體，應(yīng)把它們最小的面拼合起來(lái)。若把幾個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最小的長(zhǎng)方體，應(yīng)把它們最大的面拼合起來(lái)。例題：從一個(gè)棱長(zhǎng)10厘米的正方體木塊上挖去一個(gè)長(zhǎng)厘米、寬2厘米、高2厘米的小長(zhǎng)方體，剩下部分的表面積是多少？這是一道開(kāi)放題，方法有多種：①按圖27-1所示，沿著一條棱挖，剩下部分的表面積為平方厘米。②按圖27-2所示，在某個(gè)面挖，剩下部分的表面積為平方厘米。③按圖27-3所示，挖通某兩個(gè)對(duì)面，剩下部分的表面積為平方厘米。練習(xí)：1、從一個(gè)厘米、寬6厘米、厘米的長(zhǎng)方體木塊上挖去一個(gè)棱長(zhǎng)厘米的小正方體，剩下部分的表面積是多少？2、把一個(gè)長(zhǎng)分米，寬為6分米，高9分米的長(zhǎng)方體木塊鋸成兩個(gè)想同的小廠房體木塊，這兩個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積之和，比原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積增加了多少平方分米？3、在一個(gè)棱長(zhǎng)是4厘米的立方體上挖一個(gè)棱長(zhǎng)是厘米的小正方體后，表面積會(huì)發(fā)生怎樣的變化？例題：不得用于商業(yè)用途

僅供個(gè)人參考把19棱長(zhǎng)為3米的正方體重疊起來(lái)，如圖27-4示，拼成一個(gè)立體圖形，求這個(gè)立體圖形的表面積。要求這個(gè)復(fù)雜形體的表面積，必須從整體入手，從上、左、前三個(gè)方向觀察，每個(gè)方向上的小正方體各面就組合成了如下圖形（如圖所示而從另外三個(gè)方向上看到的面積與以上三個(gè)方向的面積是相等的整個(gè)立體圖形的表面積可采用（S+S左前）×2計(jì)算。（3×3××3×8+3×3×10）×2=（）×2=243×2=486（平方厘米）答：這個(gè)立體圖形的表面積是平方厘米。練習(xí)：1、用棱長(zhǎng)是1厘米的立方體拼成圖所示的立體圖形。求這個(gè)立體圖形的表面積。2、一堆積木（如圖所示由16棱長(zhǎng)是2厘米的小正方體堆成的。它們的表面積是多少平方厘米？3、一個(gè)正方體的表面積384方厘米，把這個(gè)正方體平均分割成64相等的小正方體。每個(gè)小正方體的表面積是多少平方厘米？例題：把兩個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是9厘米、7厘米4厘米的相同長(zhǎng)方體，拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積最少是多少平方厘米？把兩個(gè)相同的大長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大廠房體，需要把兩個(gè)相同面拼合，所得大廠房體的表面積就減少了兩個(gè)拼合面的面積。要使大長(zhǎng)方體的表面積最小，就必須使兩個(gè)拼合面的面積最大，即減少兩個(gè)9×7的面。（9×××22—9×72=（）×4—126=508—=382（平方厘米）答：這個(gè)大廠房體的表面積最少是平方厘米。練習(xí)：不得用于商業(yè)用途

僅供個(gè)人參考1、把底面積20平方厘米的兩個(gè)相等的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的表面積是多少？2、將一個(gè)表面積30方厘米的正方體等分成兩個(gè)長(zhǎng)方體，再將這兩個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體。求大長(zhǎng)方體的表面積是多少。3、用6塊（如圖27-8所示）長(zhǎng)方體木塊拼成一大長(zhǎng)方體，有許多種做法，其中表面積最小的是多少平方厘米？例題：一個(gè)長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)增加厘米，則體積增加立方厘米；如果寬增加3厘米，則體積增加90方厘米；如果高增加4厘米，則體積增96方里，求原長(zhǎng)方體的表面積。我們知道：體積長(zhǎng)×寬×高；由長(zhǎng)增加2厘米，體積增立方厘米，可知寬×高0÷2=20（平方厘米寬增加3米，體積增加立方厘米，可知長(zhǎng)×高0÷3=30（平方厘米高增加4米，體積增加96方厘米，可知長(zhǎng)×寬6÷4=24（平方厘米方體的表面積長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高×（×（平方厘米即4÷2=20（平方厘米）9÷3=30（平方厘米）9÷4=24（平方厘米）（30+20+24）×2×（平方厘米）答：原長(zhǎng)方體的表面積是平方厘米。練習(xí)：1、一個(gè)長(zhǎng)體，如果長(zhǎng)減少2厘米，則體積減48方厘米；如果寬增厘米，則體積增加65方厘米；如果高增加4厘米，則體積增96方厘米。原來(lái)廠房體的表面積是多少平方厘米？2一個(gè)廠房體木塊從下部和上部分別截去高為厘米和厘米的長(zhǎng)方體后便成為一個(gè)正方體，其表面積減少了平方厘米。原來(lái)廠房體的體積是多少立方厘米？3有一個(gè)廠房體如下圖所示它的正面和上面的面積之和是如果它的長(zhǎng)寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？不得用于商業(yè)用途

僅供個(gè)人參考例題：如圖27-10示，將高都是1米，底面半徑分別1.5米1和0.5米的三個(gè)圓柱組成一個(gè)物體。求這個(gè)物體的表面積。如果分別求出三個(gè)圓柱的表面積，再減去重疊部分的面積，這樣計(jì)算比較麻煩。實(shí)際上三個(gè)向上的面的面積和恰好是大圓柱的一個(gè)底面積。這樣，這個(gè)物體的表面積就等于一個(gè)大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側(cè)面積。4×1.5×1.5×2+23.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.51=3.14×（4.5+3+2+1）=3.14×10.5=32.97（平方米）答：這個(gè)物體的表面積是32.97平方米。練習(xí)：1、一個(gè)棱長(zhǎng)為40厘米的正方體零件（如圖所示）的上、下兩個(gè)面上，各有一個(gè)直徑為4厘米的圓孔，孔深為10厘米。求這個(gè)零件的表面積。2、用鐵皮做一個(gè)如圖所示的工件（單位：厘米用鐵皮多少平方厘米？3、如圖27-13所示，在一個(gè)立方體的兩對(duì)側(cè)面的中心各打通一個(gè)長(zhǎng)方體的洞，在上、下側(cè)面的中心打通一個(gè)圓柱形的洞。已知立方體棱長(zhǎng)為厘米，側(cè)面上的洞口是邊長(zhǎng)為4厘米的正方形，上、下側(cè)面的洞口是直徑4厘米的圓，求該立方體的表面積和體積（∏取3.14答案：練11、切下一塊后，切口處的表面減少了前、后、上面31×1的正方形，新增加了左右下面三個(gè)1×1的正方形，所以表面積大小不變。2、4×4×6－2×2×2＝92平方厘米3、中心挖去的洞的體積是：1

2

×3×3－1

3

×2＝7立方厘米，挖洞后木的體積：3

3

－7＝20立方厘米，中心挖洞后每面增加的面積1

2

×4－1

2

＝3平方厘米，挖洞后木塊的表面積2+3）×6＝72平方厘米。練21、從三個(gè)不同的方向看，得到圖答27－1：從上往下看不得用于商業(yè)用途

從前往后看

從左往右看

222222222223322僅供個(gè)人參222222222223322（1×1×12+1×1×8+1×1×7）×2＝54平方厘米2、（2×2×9+2×2×9+2×2×7）×2＝200平方厘米3、因?yàn)?4＝4×4×4，所以大正方形的棱長(zhǎng)等于小正方形棱長(zhǎng)的被，那么大正方體的表面積是小正方體的4×4＝16倍，小正方體的表面積是384÷16＝24平方厘米練31、將正方分為兩個(gè)長(zhǎng)方體，表面積就增加了個(gè)30÷6＝15平方厘米，拼成大正方體，表面積將減少兩個(gè)拼合面的面積，正好是個(gè)30615方厘米，所以大長(zhǎng)方體的表面積是35方厘米。2、要是表積最小，就要盡可能地把大的面拼合在一起。表面積最小的拼法有如圖答272種：表面積都是（33+3×4×2）×＝平方厘米。3、設(shè)大長(zhǎng)體的寬和高為x分米，長(zhǎng)為2x分米，左面和右面的面積就是x平方分米。其余的面積為2x平方分米根據(jù)題意大長(zhǎng)方體的表面積是+8×2x＝600x＝5大長(zhǎng)方體的體積是：5×5×2×5＝250立方分米練41、48÷÷5+96÷4）×＝122方厘米2、減少表面積實(shí)質(zhì)是高度分別為厘米和厘米的前、后、左、右四個(gè)面的面積之和。把兩個(gè)合并起來(lái)，用÷（）＝24厘米，求到正方體底面的周長(zhǎng)，正方體的棱長(zhǎng)就是24÷4＝6厘米。圓長(zhǎng)方體的體積是6×6×（6+3+2）＝396方厘米3、長(zhǎng)方體正面及上面的面積之和恰好等于這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)×（209＝×，所以長(zhǎng)＝11寬高＝19，或長(zhǎng)19，+高＝，根據(jù)題意，寬和高只能172，長(zhǎng)方體體積就是×17×2＝374練51、×6+3.14×4×10×2＝平方厘米2、用兩個(gè)同樣的工件可拼成圖答－的圓柱體?！痢粒?6+542＝平方厘米43、立方的表面積和是：×－4×4××（）＝方厘米打洞后增加的面積是：××（10－4）+4×（1044

4×2－3.14×（）

2

×2＝平方厘米表面積是：510.88+274.24＝平方厘米4體積是：10－4××2+4－×（）×（10－4）＝平方厘米不得用于商業(yè)用途

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