第1講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算

1212412第1講平面向量概念及其線性運(yùn)算一、選擇題1.已知兩個非零向量，b滿足|a+|=|a|，則下面結(jié)論正確的是（）A.a∥bB.⊥bC.{0,1,3}D.a+ba答案B2．對于非零向量，b，“＋b”是“a∥b”的)．A．充分不必要條件C．充要條件

B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件解析

若a＋b＝0，則＝－b.∴a∥b；若a∥b，則＝λb，a＋＝0不一定成立．答案

A→→→3知O△ABC所在平面內(nèi)一點DBC的中點且＋＋＝，那么

()．→→AO＝OD→→C.AO＝3

→→B.＝2→→D．2AO＝OD解析→＝OD.答案

→→→→由2＋OBOC可知是底邊BC上的中線AD的中點，OA→→4．設(shè)A，A，，是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點，若＝λA(λ→→1R)＝μAμ∈R)，且＋2，則，A調(diào)和分割A(yù)，A.知平面112λμ312

2μ11→→222μ11→→2233→→→→→→→→上的點C，調(diào)和分割點，B，則下列說法正確的是A．C可能是線段AB的中點B．D能是線段的中點C．C、可能同時在線段上D．CD不可能同時在線段AB的延長線上

()．解析

11若A成立，則λ，而＝0不可能；同理B不可能；若C成立，11則0λ10＜，＋＞，與已知矛盾；D同時在線段的λμ11延長線上時＞1μ＞，＋2與已知矛盾，D不可能同時在λμ線段的延長線上，故D正確．答案

D→5已知AC平面上不共線的三點是△的重心動點P滿足＝OA＋OB＋2OC一定為三角形的()．3A．邊中線的中點B．邊中線的三等分點非重心)C．重心D．AB邊的中點解析

1→1→→→1→→1→設(shè)的中點為MOAOBOMOP(OM2OC＝OM23

→→→→→→OC即＝OM＋2，也就是MP∴，M，C三點共線，且P是上靠近的一個三等分點．答案

B6在四邊形ABCD中＝a＋2＝－4a－b＝－5a3則四邊形的形狀是()．A．矩形C．梯形

B．平行四邊形D．以上都不對解析

由已知AD＝AB＋＋＝－8－2b＝2(－4a－)＝2BC.

→→→→→→→→31→→→→→→→→→→→→∴AD∥，又A與C不平行，∴四邊形ABCD是梯形．答案

C二、填空題→→→7．是兩個不共線向量AB＝2ap＝a＋b＝－，，B，D三點共線，則實數(shù)p的值為________．解析

→→→∵BDBCCD－b又，，D三點共線，→→∴存在實數(shù)，使Bλλ，即λ，

∴p－答案

－1→→→8.如圖，在矩形，|＝1，AD＝2，設(shè)B＝a，→→＝b，BD＝，則|a＋＋|＝________.解析

→→根據(jù)向量的三角形法則有abc|＋→→→→→→→＋BD＝|ABBD|AD＝2|AD＝4.答案

4→→→→→9．若O是△在平面內(nèi)的一點，且滿|OB－OC＝|＋OC－2OA，則△ABC的形狀為________．解析

→→→→→→→→→OB－2OAOB＋－OAAB，→→→→→→→→→OB＝＝－，∴|＋＝|ABAC故A，C為形的三個頂點，△ABC直角三角形．答案

直角三角形10．若M為△ABC一點，且滿足＝＋AC，則△與△ABC的面積之比44為________．解析由題知B、、C三點共線，設(shè)＝λ，則：AM－＝λ(－AB)，∴AM＝(1－λ)＋λAC，

eq\o\ac(△,S)2→→→→→→→→→eq\o\ac(△,S)2→→→→→→→→→→→→→→→→→→1∴λ＝，4S1∴＝.4△ABC1答案4三、解答題11．如圖所示，△ABC中，＝，DE∥交于E，是BC邊上的中線，3交DE.設(shè)＝，AC＝，用a，別表示向量，，，DN，，AN.解

221AE＝b，BC＝b－a，DE＝(b－)，＝(b－a)，33311AM＝(a＋b)，＝(a＋)．23→→→12(1)設(shè)兩個非零向量不共線，如AB＝2e＋e6e＋23eCD12121＝4e－，求證：，B，三點共線．12→→→設(shè)ee是兩個不共線的向量已知AB＝2e＋e＝e＋e＝e112－e，若A，，D三點共線，求的值．2證明

→→因為BC＝6e＋，＝e－e，12→→→所以BD＝＋CD10＋15e.12→→→→→又因為AB＝2e＋e，得BD＝5，即∥，12→→又因為AB，BD有公共點B，所以，B，三點共線．解

→→→D＝e＋3－2e＋e＝－e，1121→＝e＋ke，12→→若A，，D共線，則AB∥DB，＝λ，設(shè)DλAB，所以λ

k＝－8.

33222222222→→→→→→→→→33222222222→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→13如圖所示，在△ABC中，在AC上取一點，使得1＝AC，在上取一點M，使得AM＝AB，在1的延長線上取點，使得＝，在延→→→→長線上取點Q使得MλCM時，＝QA，試確定λ的值．解

→→→→→1→→→→→→1→∵AP＝－NA＝BN－)＝(BN＋＝＝MA－MQ＝BM→＋λ，→→→→→又∵AP＝，∴BM＋λMC＝，→1即λ＝MC，∴＝.14．已知O，，B三點不共，且OP＝＋，(m，∈．(1)若m＋＝1，求證：，，B三點共線；(2)若A，，B三點共線，求證：＋n＝1.證明

(1)m，∈R且＋n＝，∴OP＝mOA＋＝＋(1－m)，即OP－＝m(－OB)．∴BP＝mBA，而BA≠0，且∈故BP與共線，又BP，有公共點