例談構(gòu)造函數(shù)巧證不等式 構(gòu)造函數(shù)解不等式

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構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造性的解題方法，是函數(shù)思想的重要表達(dá)。對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，當(dāng)用直接法難以解決時(shí)，若用構(gòu)造法在條件和結(jié)論之間構(gòu)造出一座解決問(wèn)題的“橋梁”，那么問(wèn)題便迎刃而解，解題過(guò)程簡(jiǎn)捷領(lǐng)略。本文擷取幾例探討如何構(gòu)造函數(shù)巧證不等式。

例1：證明x∈（0，+∞）時(shí)，x＞ln（1+x）。

分析：查看x＞ln（1+x）的布局，構(gòu)造函數(shù)f（x）=x-ln（1+x），然后利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式。

證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x-ln（1+x）

∵x∈（0，+∞）時(shí)，f"（x）=1-=＞0

∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)

又f（x）在x=0處連續(xù)且f（0）=0

∴x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=x-ln（1+x）＞f（0）=0

∴x∈（0，+∞）時(shí)，x＞ln（1+x）

點(diǎn)評(píng)：此題利用“作差對(duì)比法”構(gòu)造函數(shù)，化歸為研究函數(shù)的單調(diào)性，簡(jiǎn)捷解題。

例2：設(shè)f（x）是R上的連續(xù)函數(shù)，且x∈時(shí)得志2f（x）+xf"（x）>x2。

求證：x∈R時(shí)（x）>0。

分析：查看條件：“2f（x）+xf"（x）>x2?圯x>0時(shí)，2xy（x）+x2f（x）>x3”的布局可類比聯(lián)想到的導(dǎo)函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)F（x）=x2f（x）的性質(zhì)，使原不等式得證。

證明：構(gòu)造函數(shù)F（x）=x2f（x），那么F"（x）=2xf（x）+x2f"（x）

∵x∈R時(shí)，2xf（x）+xf"（x）>x2

∴x=0時(shí)f（0）>0且x>0時(shí)F"（x）=2xf（x）+x2f"（x）>x3>0

x＜0時(shí)F"（x）=2xf（x）+x2f（x）

∴F（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)

∴x≠0時(shí)x2f（x）>f（0）=0

從而x≠0時(shí)F（x）>0，又f（0）>0

∴x∈R時(shí)f（x）>0

點(diǎn)評(píng)：此題從“布局”入手，類比聯(lián)想，以構(gòu)造函數(shù)為突破口，高明解題。

例3：已知a1a2……an∈R+，且a1+a2+……+an=1。

求證：a12+a22+……+an2≥（n∈N且n≥2）。

分析：結(jié)論“a12+a22+……+an2≥”，可轉(zhuǎn)化為“4-4n（a12+a22+……+an2）≤0”，從而可聯(lián)想構(gòu)造一個(gè)關(guān)于x的二次函數(shù)。

證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+……+（x-an）2，那么由已知得：f（x）=nx2-2（a1+a2+……+an）x+a12+a22+……+an2=nx2-2x（a12+a22+……+an2）

∵x∈R時(shí)恒有f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+……+（x-an）2≥0成立

∴△4-4n（a12+a22+……+an2）≤0

從而有a12+a22+……+an2≥。

點(diǎn)評(píng)：此題從命題的結(jié)論入手，高明構(gòu)造二次函數(shù)，使不等式的證明柳暗花明，這一構(gòu)造思想具有豐