河南省鄭州市新鄭市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

河南省鄭州市新鄭市2021-2022學(xué)年

高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.考生作答時，請將正確的K答案》填寫在答題卡上，在木試卷上答題無效.回答選擇

題時，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他K答案』標(biāo)號.

一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.成語“名師出高徒”可以解釋為“知名老師指導(dǎo)出高水平學(xué)生的概率較大”,即教師的名聲與

學(xué)生的水平之間有關(guān)聯(lián).下列能描述出生活中兩種屬性或現(xiàn)象之間關(guān)聯(lián)的成語是（）

A.登高望遠(yuǎn)B.亡羊補(bǔ)牢

C.目瞪口呆D.袖手旁觀

R答案1A

K解析1成語“名師出高徒”的意思說有名的教師一定能教出高明的徒弟，

通常情況下，高水平的教師有很大的趨勢教出高水平的學(xué)生，

所以教師的水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系，四個選項(xiàng)中只有“登高望遠(yuǎn)”滿足題意，

即登高有很大的趨勢可以看更遠(yuǎn)，登高和望遠(yuǎn)之間成正相關(guān)關(guān)系.

故選：A.

2.用反證法證明“已知直線a,b,平面a,若則?！ㄐ。瑫r，應(yīng)假設(shè)（）

A.a,6相交B.a,6異面

C.a,b不垂直D.a,6不平行

K答案》D

K解析X直線a,b的位置關(guān)系有平行，異面與相交三種.

所以應(yīng)用反證法證明a〃〃時，應(yīng)先假設(shè)a,b不平行.

故選：D.

「17

—ax

3.人』的值為（）

A.一2B.-IC.1D.不存在

K答案UB

\^e—dx=-\\—dx=-\x1^=-(lne-lnl)=-l

K解析Ux*.故選：B.

4.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為M,i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為N,i是虛數(shù)單位，則“點(diǎn)

M在第一象限”是“點(diǎn)N在第四象限”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

K答案』C

K解析』設(shè)復(fù)數(shù)z=a+為，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為加（“'"）在第一象限，則

a>0,b>0,*"i-i2-T_ai,i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為N（“‘一"）在

第四象限，則">°，”>°.反之，也成立，“點(diǎn)M在第一象限”是“點(diǎn)N在第四象限”的充要條

件.故選：C..

5.已知隨機(jī)事件/,B的概率分別為P（A），P（B）,且尸（A）P（3）HO,則下列說法中正確

的是（）

AP(A\B)<P(AB)BP(B\A)=P(A\B)

P⑻小尸⑷…

C,「⑷DP(B|B)=O

K答案》c

K解析口山條件概率知：”二篇

因?yàn)镻（B）w（O』，所以「⑻，故人不正確;

P(B|A)=,P(A|B)=P(,B)

P(A)P(B),「(A)與P⑻不一定相等,

所以「（8|4）=「（加8）不一定成立，故8不正確；

P(AB}P(AB}P(AB}P(A|B)P(B)

°⑶A)=可，尸⑷5)=w,所以P⑻A)=可

P(A),故C

"BQ扁P(B)

正確；,故D不正確.故選：C.

6.("、功+1)的展開式中3的系數(shù)為()

A.90B.180C.270D.360

K答案』c

K解析》(〃+3"1)展開通項(xiàng)為：加=G(〃+1)(3")=3匕(/+1)J

T

當(dāng)「=34=3,C；(a?+1J川=33C3卜為3+2a2/fh3)

所以尸的系數(shù)為：33c：=270.故選：c.

tanx

F(x)

7.函數(shù)》的大致圖象是()

參考公式：對于函數(shù)f(x)，g(x),若f(x)與g(x)在x=a處可導(dǎo)，且/(a)=g(a)=O,則

/(x)fix')

［回心/=hm/

s"g(X)x—g(%)

K答案》B

K解析》由/(此近311%與8(無)=%在*=0處可導(dǎo)，且/(°)=g(°)=O,

..右/、../(x)tanx(tanx)'1.

limr(%)=lim-----=lrim-----=lim-------=lim=1

則3。Xg(x)1。Xe°x'AOcos-x,由此排除A,D,

F(x)=tanX{x\x^—+kn.keZ}

又天的定義域?yàn)?，故排除C,故選：B.

2s

r——

8.設(shè)平面凸多邊形的周長為c,面積為s,內(nèi)切圓半徑為廠，則。.類比該結(jié)論，若多

面體的各條棱長之和為C,表面積為S,體積為匕內(nèi)切球半徑為R,則寵=()

2S2V3S3V

A.°B.0C.0D.S

k答案』D

［解析1設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為°,則球心到四個面的距離都為A,

所以四面體的體積等于以。為頂點(diǎn)，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和,

設(shè)四面體的體積為V,其表面積為S,則3,即5

故選：D.

9.圍棋起源于中國，據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之“，至今已有四千多

年歷史圍棋不僅能抒發(fā)意境、陶冶情操、修身養(yǎng)性、生慧增智，而且還與天象易理、兵法策

路、治國安邦等相關(guān)聯(lián)，蘊(yùn)含著中華文化的豐富內(nèi)涵.在某次國際圍棋比賽最后，中國隊(duì)有

兩名選手a,b,日本隊(duì)有一名選手c,韓國隊(duì)有一名選手比規(guī)定。與c對陣，b與d對陣，

兩場比賽的勝者爭奪冠軍，根據(jù)以往戰(zhàn)績，四位選手之間相互獲勝的概率如下：

abcd

a獲勝概率/0.50.60.8

b獲勝概率0.5/0.50.6

C獲勝概率0.40.5/0.4

"獲勝概率0.20.40.6/

則最終中國隊(duì)獲得冠軍的概率為（）

A.0.24B.0.328C.0.672D.0.76

K答案』C

K解析》中國隊(duì)獲得冠軍共分為三種情況：

。與c對陣”贏，〃與d對陣力贏，。與匕對陣無論誰贏中國隊(duì)都是冠軍，設(shè)這種情況為事

件A,則根據(jù)獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式可得P（4）=0.6M61=0.36；

“與c對陣”贏，匕與d對陣d贏，“與d對陣”贏，設(shè)這種情況為事件4,則根據(jù)獨(dú)立事

件的概率計(jì)算公式可得尸仍2）=06倉必0.8=0.192；

。與c對陣c贏，力與d對陣人贏，c與匕對陣b贏，設(shè)這種情況為事件4,則根據(jù)獨(dú)立事

件的概率計(jì)算公式可得尸⑷=。4倉必60.5=0.12；

設(shè)中國隊(duì)獲得冠軍為事件A,則由互斥事件的概率計(jì)算公式可得：

P（A）=P（4D4DA3）=P（A）+尸（4）+尸（4）=0.36+0.192+0.12=0.672

故選：C

10.數(shù)432的不同正因數(shù)個數(shù)為（）

A.12B.16C.20D.24

K答案》C

K解析》因?yàn)?32=2x2x2x2x3x3x3=24x3',

所求數(shù)432的不同正因數(shù)的個數(shù)可以看做從/、3兩盒子中取數(shù)，

其中N盒子裝有4個2,8盒子裝有3個3,將取出的數(shù)相乘即可得到432的一個因數(shù)（如

一個數(shù)也不取則看做1）；

則從/盒子中取數(shù)一共有5種取法，B盒子中取數(shù)一共有4種取法，

所以一共有5x4=2°取法，故432有2°個的不同正因數(shù)；

故選：c.

11.拋擲一顆均勻骰子兩次，E表示事件“第一次是奇數(shù)點(diǎn)”，尸表示事件“第二次是3點(diǎn)”，G

表示事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和是9”，，表示事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和是10”,則（）

A.E與G相互獨(dú)立B.E與“相互獨(dú)立

C.尸與G相互獨(dú)立D.G與，相互獨(dú)立

K答案』A

K解析U由題意得：

1Q1

P(E)=h%P(F)卷V,的)$力,P⑻

3o2,

36=18,P(F)P(G)=2X9=18,P(EG)=P(E)P(G),所以

E和G互相獨(dú)立，故A正確;

P(EH)=—尸(E)P(H)=-x—=—D/C口、

對于選項(xiàng)B：36,21224,P(E")HP(E)P(H),所以后

和"不互相獨(dú)立，故B錯誤；

P(FG)=—P(F)P(G)=-xl=—

對于選項(xiàng)C：36,6954,P(FG)HP(F)P(G),所以廠和

G不互相獨(dú)立，故C錯誤；

對于選項(xiàng)D：P(GH)=O,口點(diǎn)，P(G/7)#P(G)P("),所以G

和〃不互相獨(dú)立，故D錯誤；

故選：A.

12.若e'+x—lN以+ln(ox+l)恒成立，則實(shí)數(shù)。=()

A.1B.2C.3D.4

K答案XA

rzQ4.rTiu.ev4-x-l>or+ln(o￥+l)

K解析11由v7,

ZBev4-x>(ar+l)4-ln(or4-l)=eln(<a+l)+ln(6ix+l)

令f=ln(or+l),則上式變?yōu)椋篹+x>e1+t,因?yàn)镻(x)=e'+x是增函數(shù)，

所以原式等價于xNf,即x?ln(ox+l),+l恒成立；

設(shè)機(jī)(x)=e*eT，加(x)=e'-a,若〃<()，則碼力>0,"*"'一/

機(jī)⑺是增函數(shù)，加(0)=°，當(dāng)％<0時，"?(x)V°,不符合題意，

(1)

xe\——,+00

故心0,I。,

令機(jī)(司=0,得/=lna,當(dāng)4%時，〃?(x)>0,

當(dāng)一力'"°時，"(x)V°,故〃。(力=加(?))="。皿。-1?0,

設(shè)〃(〃)=a-〃lnQ-L〃(a)=-lna

當(dāng)a>］時，"(")<0,當(dāng)0V〃V］時，"(QX,

〃S)在a=l時取得最大值，丁，、(。)="1)=0,

即a-alna—1W(),當(dāng)°=i時，等號成立；故斫1；

故選：A.

二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分.)

13.已知復(fù)數(shù)z滿足(l+i”=l-i,i是虛數(shù)單位，貝ij|ze+3z|=.

K答案』M

1-i(1-i)2l+i2-2i.

K解析》由題意得1+1(1+1)(1一1)2,

所以z-z+3z=(-i)xi+3(_i)=l_3i,所以|z-N+3z|=+(_3『=加

故K答案》為：回.

14.為貫徹教育部關(guān)于全面推進(jìn)素質(zhì)教育的精神，某學(xué)校推行體育選修課.甲、乙、丙、丁四

個人分別從太極拳、足球、擊劍、游泳四門課程中選擇一門課程作為選修課，他們分別有以

下要求：

甲：我不選太極拳和足球；乙：我不選太極拳和游泳；

丙：我的要求和乙一樣；?。喝绻也贿x足球，我就不選太極拳.

已知每門課程都有人選擇，且都滿足四個人的要求，那么選擊劍的是.

K答案1丙

K解析】在如下圖中，用4表示該門課程被選擇，用x表示該門課程未選，且每行每列只有

一個勾，

太極拳足球擊劍游泳

甲XXq

乙X?②X

丙X4X

T〈①

從上述四個人的要求中知，太極拳甲、乙、丙都不選擇，則丁選擇太極拳，

丁所說的命題正確，其逆否命題為“我選太極拳，那么乙選足球”為真，則選足球的是乙，

由于乙、丙、丁都為選擇游泳，那么甲選擇游泳，最后只有丙選擇擊劍.故K答案』為丙.

15.抽樣表明某地區(qū)新生兒的體重近似服從正態(tài)分布X~N（〃，°）.現(xiàn)隨機(jī)抽取『個新生

兒進(jìn)行體檢，記自表示抽取的/?個新生兒的體重在（〃-3b,〃+3b）以外的個數(shù)，若孑的數(shù)

學(xué)期望E（9W（）.O4,則，.的最大值為.（注：若隨機(jī)變量X~N?b）,則

P（〃—3b<XW〃+3cr）z0.997）

K答案D13

K解析D由題意，3cr以外的概率為l—+=0.003,

JO

E（^）=0.003r<0.04,~3,由于,為整數(shù)，廠的最大值為⑶

故R答案』為：13.

16.己知曲線=依3+必2+以+d在點(diǎn)（0,0）處的切線與曲線y=^（刈在點(diǎn)（1,2）處

的切線重合，則/（*）=.

K答案》—+2f+2x

K解析F因?yàn)?(xh^+^+cx+d,所以/(x)=3o?+2bx+c

所以八°)c,又所以/(X)在點(diǎn)(0,0)處的切線為尸以,

43232

^y=xf(x)=ax+bx+cx+dxf貝J/=4ax+3bx+2cx+d

所以川"44+3"2c+d,又當(dāng)％=1時丁=0+6+0+〃=2,

所以曲線尸^㈤在點(diǎn)（L2）的切線方程為y—2=（4?+3b+2c+d）（x-l）

4a+3b+2c+d=ca=-2

d=0d=0

a+b+c+d=2b=2

c=232

所以,,解得?=2,gpf(x)--2x+2x+2x

故1答案》為：-2X3+2V+2X

三、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）

（一）必考題：共60分

17,已知（彳一團(tuán)）（3%—1）6=4+以小+//+//+…+為/（m6R）

且q=19

（1）求加和&的值；

（2）求（4+“3+4+%）2一（4+“2+g+4）2的值

7

解：（1）因?yàn)椋?一機(jī)）（3%-1）6=40+。/+。2/+。3/+一?+tz7x（weR）

所以含x-次項(xiàng)為［建（一if—仁3（T）［x=（l+18/n）x

又因?yàn)椤耙?9,所以1+18"2=19,解得m=l,

2

所以二項(xiàng)展開式為（"T）（3xTP=%+《I+a2x+%/+-+%，

所以不含x的項(xiàng)為一C：（T）6=T,即％=T；

（2）令x=i,得〃o+q+。2+%—=0

令x=T,得/-4+%—〃3■*----%=-213

兩式相減得：4+%+%+%=2：

兩式相加得：/+%+%+%=-21

所以（4+%+生+%）2一（4+%+。4+4）2=（212）2-（-212）2=0

18.為了研究黏蟲孵化的平均溫度X（單位：℃）與孵化天數(shù)丁之間的關(guān)系，重慶八中高

2022級某課外興趣小組通過試驗(yàn)得到如下6組數(shù)據(jù)：

組號123456

平均溫度15.316.817.41819.521

孵化天數(shù)16.714.813.913.58.46.2

他們分別用兩種模型①y=法+4,②〉=ce"'分別進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行

殘差分析，得到如圖所示的殘差圖：

殘差

—>

組號

模型①---------------模型②

66

_=1283.01=1964.34

經(jīng)計(jì)算得了=18,歹=12.25,7,,=1,

（I）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？（給出判斷即可，不必

說明理由）

（II）殘差絕對值大于1的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除，剔除后應(yīng)用最小二乘法建立

y關(guān)于x的線性回歸方程.（系數(shù)精確到01）

參考公式：回歸方程9=‘X+?中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：

2七,一〃.斗歹

邑=旦-------------

V-'2—'

Z=1a-y-bx

解：（1）根據(jù)殘差圖分析，得出模型①殘差波動小，應(yīng)該選擇模型①;

（II）剔除異常數(shù)據(jù)，即組號為4的數(shù)據(jù)，

亍=1(18x6—18)=18?='(12.25x6—13.5)=12

剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為55；

55

2七?=1283.01-18x13.5=1040.01=1964.34-18i2=1640.34

七】，/=,;

_〃.戲

3=亙-------------

y2”丁21040.01-5x18x12,_

/.xri~nx=------------------------?-1.9Q7

/=i1640.34-5x182,

&=了一氤=12+1.97x18247.5,

所以'關(guān)于x的線性回歸方程為：9=-2.0*+47.5.

19.已知函數(shù)/⑴=e「ex,e=2.71828….

(1)求〃力的極值；

一o1

e"+4xInx22x~—

(2)求證：x.

⑴解：由題，/'a)=e'-e為增函數(shù)，且/''(l)=ei-e=0,

故在S,i)上r(x)<。,A")單調(diào)遞減；在。收)上，㈤>。,/(*)單調(diào)遞增;

故/(“)有極小值"1)=3-e=0,且無極大值

e'-1+4xlnx>2x2——

(2)證明：要證》,

g(x)=e1-1+4xInx-2x2+—>0g/(x)=ex-1+4(lnx+l)-4x--\

即證x,因?yàn)?r,

i42

/z(x)=ex-1+4(lnx+l)-4x——-/zz(x)=eA-1+——4+—

設(shè)X,則XX34,

當(dāng)％?°，1)時，"⑺=4+：4+，>：4>0,

當(dāng)xN1時，由(1)可得e'—exNO,即e'—x,

42I4

h'(x)>x+——4+->2.xx--4=0

故xT'x,

綜上有當(dāng)X>。時"(x)>°,即〃(x)在(&+8)上為增函數(shù).

“g'(x)/一(0,+。)I?+的.g，(l)=eM+4(lnl+l)-4xl-^=0

故5I)在')上為增函數(shù).又1,

故在(。，1)上g'(x)<°,g(x)單調(diào)遞減；在0，同上g'(x)>°,g(“)單調(diào)遞增.

|,

g(x)>g(l)=e-+4xlxlnl-2+j=0(x)>0

故1,即b\，，

e"+4xInx—2無?H—>0

故》,即得證

20.某公同為調(diào)查某產(chǎn)品的市場滿意度，對市場進(jìn)行調(diào)研測評，測評方式知下：從全體消費(fèi)

者中隨機(jī)抽取1000人給該商品評分，得分在60分以下視為“不滿意”，得分在區(qū)間160,80)

視為“基本滿意”，得分在80分及以上視為“非常滿意現(xiàn)將他們給該商品的評分分組：

[20,30),[30,40),[40,50),[50,(0),[(x),7(0),[70,80),[80,90]；得到如下頻率分布直方圖：

(1)對評分為“基本滿意''與"非常滿意''的消費(fèi)者進(jìn)行跟蹤調(diào)查，根據(jù)上述的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)補(bǔ)全

2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為消費(fèi)者對該商品的滿意度與年齡有關(guān).

基本滿意非常滿意總計(jì)

年齡N3O350

年齡<30110

總計(jì)800

“2n(ad-bc)2

K~

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)

P（K/k。）0.0500.0100.005

3.8416.6357.879

（2）從評分為“基本滿意”和“非常滿意”的消費(fèi)者中用分層抽樣的方法抽取8人，進(jìn)行二次

調(diào)查，對產(chǎn)品提出改進(jìn)意見，并進(jìn)行評比.最終有3人獲獎（8人中每人是否獲獎視為等可

能的），求獲獎消費(fèi)者中評分為“基本滿意”的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

解：（D基本滿意的總?cè)藬?shù)為IOMXQOZ+SMXIOMGOO人.

非常滿意的總?cè)藬?shù)為lOOOxOOZxlOnZOO人,

2x2列聯(lián)表如下,

基本滿意非常滿意總計(jì)

年齡..3035090440

年齡＜30250110360

總計(jì)600200800

“鬻KM：*—.

??.有99.5%的把握認(rèn)為消費(fèi)者對該商品的滿意度與年齡有關(guān):

8x6。。=6

（2）依題意從“基本滿意”中抽取600+200人,

.200一2

“非常滿意”中抽取600+200人，所以X的可能取值為1,2,3,

所JX?罟＜JX3詈*”加詈吟

所以X的概率分布列為:

X123

31510

p

282828

E(X)=lx—+2x—+3x—=-

2828284

21.已知函數(shù)/（x）=e-T,xe［。，句

g(x)=/(x)_；xsinx

(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性;

“>5時，判斷函數(shù)〃（X）=/（同一依汨”的零點(diǎn)個數(shù).

(2)當(dāng)

g(x)=/(x)-gxsinx=e-gxsinx-x_1xe[0,7r]

解：⑴

g[x)=e*(sinx+xcosx)-lg"(x)=e"-cosx+Lsinx

2.2

1

—xsinx>0.g"(x)?。

7e'-cosx>e-cosx>0,2,??，

.”［0,乃］L曰+MP貼口g，（0）=e。-1=0

..61/在L，J上是增函數(shù)，且5\>

，（上，（O）=e"-1=0一..g（力在［0,句上是增函數(shù).

⑵人/z(x)=/(x)-orsinx=ev-cixsinx-x-\xG[0,TT]

由〃⑼"⑼一°=°,知x=0是方程”x)ssinx=O的一根,

由M萬）=/（句一O/。，知*="不是方程/（X）.以sinx=O的根,

v=e"-?(sinx+xcosx)-l〃"(x)=e*-6Z(2cosx-xsinx)

￡

M(%)=/zz,(x)=eA-a(2cosx-xsinx)”>]

、

”,嗚r/(x)=eA+a(3sinx+xcosx)>0

①當(dāng)7時,

.〃(x)=e'-〃(2cosx-xsinx)

在7上為增函數(shù),

w(0)=l-2a<0

存在唯--個實(shí)數(shù)"(’2人使〃($)=。.

②當(dāng))時，2cosx—xsinxcO,—a(2cosx-xsinx)>0,

w（x）=h"（x）=ex-6f（2cosx-xsinx）>0

由①②知,當(dāng)xe（°，x。）時，"（x）<。，"（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)"€（與㈤時，"（x）單調(diào)遞增，

..//r（0）=0"（"）=?，+々萬一1>0

?，，

存在唯一實(shí)數(shù)“使個）=°,

.?.當(dāng)x?axJ時，M"）單調(diào)遞減，

當(dāng)時，"（X）單調(diào)遞增，

..//（0）=0〃（乃）=?"-乃一1>0

?，，

...存在唯一實(shí)數(shù)&*（不，萬），使力（%2）=°,

即MH在區(qū)間（。㈤有唯一零點(diǎn)々，

所以函數(shù)在［°，％］上有兩個零點(diǎn).

（-）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的

第一題計(jì)分.

R選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程》

x=2-1,

22.在平面直角坐標(biāo)系X0y中，直線/的參數(shù)方程為1、=后（f為參數(shù)），以原點(diǎn)。為極

2

點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為1+sin20

（1）求直線/的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）若點(diǎn)"，N分別在直線/和曲線C上，且直線"N的斜率為遭，求線段MN長度的

取值范圍.

解：（1）消去參數(shù)/得直線/的普通方程為氐+丁一26=0,

x=夕cos。

*

再將1y=psin0代入直線的普通方程，得直線/的極坐標(biāo)方程為

G°cose+0si