柯西積分公式

關(guān)于柯西積分公式第1頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四一、柯西積分公式定理

.(柯西積分公式)

如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處解析,C為D內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于D,z0為C內(nèi)的任一點(diǎn),則第2頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四[證]DCKzz0R

由于f(z)在z0連續(xù),任給,存在,當(dāng)|z-z0|<時(shí),|f(z)-f(z0)|<.設(shè)以z0為中心,R為半徑的圓周K:|z-z0|=R全部在C的內(nèi)部,且R<.第3頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四例1解第4頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四例題2

解：

第5頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四二、解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù),而且有各高階導(dǎo)數(shù),它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示.這一點(diǎn)和實(shí)變函數(shù)完全不同.第6頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四定理

解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),它的n階導(dǎo)數(shù)為:

其中C為在函數(shù)f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡單曲線,而且它的內(nèi)部全含于D.[證]設(shè)z0為D內(nèi)任意一點(diǎn),先證n=1的情形,即

因此就是要證第7頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四按柯西積分公式有因此第8頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四現(xiàn)要證當(dāng)Dz0時(shí)I0,而f(z)在C上連續(xù),則有界,設(shè)界為M,則在C上有|f(z)|M.d為z0到C上各點(diǎn)的最短距離,則取|Dz|適當(dāng)?shù)匦∈蛊錆M足|Dz|<d/2,因此L是C的長度這就證得了當(dāng)Dz0時(shí),I0.Dz0dC第9頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四這就證得了再利用同樣的方法去求極限:依此類推,用數(shù)學(xué)歸納法可以證明:

高階導(dǎo)數(shù)公式的作用,不在于通過積分來求導(dǎo),而在于通過求導(dǎo)來求積分.第10頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四例4

求下列積分的值,其中C為正向圓周:|z|=r>1.[解]1)函數(shù)在C內(nèi)的z=1處不解析,但cospz在C內(nèi)卻是處處解析的.第11頁，共13頁，2023年，2月20日，星期四例2

若n為自然數(shù)，試證明：證：比