數(shù)學(xué)歸納法ppt課件市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

§13.5數(shù)學(xué)歸納法關(guān)鍵點(diǎn)梳理1.歸納法由一系列有限特殊事例得出推理方法叫歸納法.依據(jù)推理過程中考察對象是涉及事物全體或部分可分為歸納法和歸納法.普通結(jié)論完全不完全基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)第1頁第1頁2.數(shù)學(xué)歸納法(1)數(shù)學(xué)歸納法：設(shè){Pn}是一個與正整數(shù)相關(guān)命題集合，假如①證實起始命題P1（或P0)成立；②在假設(shè)Pk成立前提下，推出Pk+1也成立，那么能夠斷定{Pn}對一切正整數(shù)成立.(2)數(shù)學(xué)歸納法證題環(huán)節(jié)①(歸納奠基)證實當(dāng)n取第一個值

時,命題成立.②(歸納遞推）假設(shè)

(k≥n0,k∈N+)時命題成立，證實當(dāng)

時命題也成立.只要完畢這兩個環(huán)節(jié)就能夠斷定命題對從n0開始所有正整數(shù)n都成立.n=n0n=kn=k+1第2頁第2頁基礎(chǔ)自測1.用數(shù)學(xué)歸納法證實：“1+a+a2+…+an+1(a≠1)”在驗證n=1時，左端計算所得項為()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3C第3頁第3頁2.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證實凸n邊形對角線為條時，第一步檢查第一個值n0等于()A.1B.2C.3D.0解析邊數(shù)至少凸n邊形是三角形.C第4頁第4頁3.假如命題p(n)對n=k成立，則它對n=k+2也成立.若p(n)對n=2成立，則下列結(jié)論正確是()A.p(n)對所有正整數(shù)n都成立B.p(n)對所有正偶數(shù)n都成立C.p(n)對所有正奇數(shù)n都成立D.p(n)對所有自然數(shù)n都成立解析歸納奠基是：n=2成立.歸納遞推是：n=k成立，則對n=k+2成立.∴p（n）對所有正偶數(shù)n都成立.B第5頁第5頁4.某個命題與自然數(shù)n相關(guān)，若n=k(k∈N+)時命題成立，那么可推得當(dāng)n=k+1時該命題也成立，現(xiàn)已知n=5時,該命題不成立,那么能夠推得()A.n=6時該命題不成立B.n=6時該命題成立C.n=4時該命題不成立D.n=4時該命題成立

解析辦法一由n=k(k∈N+)成立,可推得當(dāng)

n=k+1時該命題也成立.因而若n=4成立，必有

n=5成立.現(xiàn)知n=5不成立，因此n=4一定不成立.

辦法二其逆否命題“若當(dāng)n=k+1時該命題不成立，則當(dāng)n=k時也不成立”為真，故“n=5時不成立”“n=4時不成立”.C第6頁第6頁5.用數(shù)學(xué)歸納法證實1+2+3+…+n2=,則當(dāng)

n=k+1時左端應(yīng)在n=k基礎(chǔ)上加上()A.k2+1B.（k+1）2C.D.（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2解析∵當(dāng)n=k時，左邊=1+2+3+…+k2，當(dāng)n=k+1時，左邊=1+2+3+…+k2+（k2+1）+…+（k+1）2，∴當(dāng)n=k+1時，左端應(yīng)在n=k基礎(chǔ)上加上（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2.C第7頁第7頁題型一用數(shù)學(xué)歸納法證實等式用數(shù)學(xué)歸納法證實:對任意n∈N+,

用數(shù)學(xué)歸納法證實環(huán)節(jié)為：①歸納奠基：驗證當(dāng)n=1時結(jié)論成立；②歸納遞推：假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N+）時成立，推出當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立.題型分類深度剖析第8頁第8頁證實

因此等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時等式成立,即有第9頁第9頁因此當(dāng)n=k+1時,等式也成立.由（1）（2）可知,對一切n∈N+等式都成立.

用數(shù)學(xué)歸納法證實與正整數(shù)相關(guān)一些等式時，關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，項多少與n取值是否相關(guān)，由n=k到n=k+1時等式兩邊變化項，然后正確寫出歸納證實環(huán)節(jié)，使問題得以證實.第10頁第10頁知能遷移1用數(shù)學(xué)歸納法證實：

證明（1）當(dāng)n=1時，等式左邊等式右邊因此等式成立.（2）假設(shè)n=k（k∈N+）時等式成立，那么當(dāng)n=k+1時，第11頁第11頁即n=k+1時等式成立.由（1）（2）可知，對任意n∈N+等式均成立.第12頁第12頁題型二用數(shù)學(xué)歸納法證實整除問題用數(shù)學(xué)歸納法證實an+1+(a+1)2n-1(n∈N+）能被a2+a+1整除.

解（1）當(dāng)n=1時，

a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除.（2）假設(shè)n=k(k∈N+)時，

ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，驗證n=1時命題是否成立假設(shè)n=k時命題成立推證n=k+1時命題成立得結(jié)論第13頁第13頁則當(dāng)n=k+1時，ak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=a·ak+1+a·(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1=a［ak+1+(a+1)2k-1］+(a2+a+1)(a+1)2k-1,由假設(shè)可知a［ak+1+(a+1)2k-1］能被a2+a+1整除，(a2+a+1)(a+1)2k-1也能被a2+a+1整除，∴ak+2+（a+1）2k+1也能被a2+a+1整除，即n=k+1時命題也成立，∴對任意n∈N+原命題成立.

證實整除問題關(guān)鍵是“湊項”，而采用增項、減項、拆項和因式分解等手段，湊出n=k時情形，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證.第14頁第14頁知能遷移2求證：（3n+1）×7n-1(n∈N+)能被9整除.證實(1)當(dāng)n=1時,(3n+1)×7n-1=27能被9整除.(2)假設(shè)n=k(k∈N+)時命題成立，即(3k+1)×7k-1能被9整除，那么n=k+1時：［3(k+1)+1］×7k+1-1=［(3k+1)+3］×(1+6)7k-1=(3k+1)7k-1+(3k+1)×6×7k+21×7k=［(3k+1)7k-1］+3k×6×7k+(6+21)×7k.以上三項均能被9整除.則由（1）（2）可知，命題對任意n∈N+都成立.第15頁第15頁題型三用數(shù)學(xué)歸納法證實不等式用數(shù)學(xué)歸納法證實：對一切不小于1自然數(shù)，不等式均成立.應(yīng)注意到題目條件，第一步應(yīng)驗證

n=2時不等式成立.

證實（1）當(dāng)n=2時，左邊∵左邊>右邊，∴不等式成立.（2）假設(shè)n=k(k≥2,且k∈N+)時不等式成立，第16頁第16頁則當(dāng)n=k+1時，∴當(dāng)n=k+1時，不等式也成立.由（1）（2）知，對于一切不小于1自然數(shù)n,不等式都成立.第17頁第17頁在由n=k到n=k+1推證過程中，應(yīng)用放縮技巧，使問題得以簡化.用數(shù)學(xué)歸納法證實不等式問題時，從n=k到n=k+1推證過程中，證實不等式慣用辦法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等.第18頁第18頁知能遷移3已知函數(shù)f(x)=x-sinx,數(shù)列{an}滿足:0<a1<1,an+1=f(an),n=1,2,3,….證實:(1)0<an+1<an<1,(2)證實(1)先用數(shù)學(xué)歸納法證實0<an<1,

n=1,2,3,….(ⅰ)當(dāng)n=1時，由已知結(jié)論成立.(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時結(jié)論成立，即0<ak<1.由于0<x<1時，f′(x)=1-cosx>0,因此f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在［0，1］上連續(xù)，從而f(0)<f(ak)<f(1),即0<ak+1<1-sin1<1.第19頁第19頁故當(dāng)n=k+1時，結(jié)論成立.由(ⅰ)(ⅱ)可知，0<an<1對一切正整數(shù)都成立.又由于0<an<1時，an+1-an=an-sinan-an=-sinan<0,因此an+1<an.總而言之,0<an+1<an<1.（2）設(shè)函數(shù)g(x)=sinx-x+由（1）知，當(dāng)0<x<1時，sinx<x.從而g′(x)=第20頁第20頁因此g(x)在（0，1）上是增函數(shù).又g(x)在［0，1］上連續(xù)，且g(0)=0，因此當(dāng)0<x<1時，g(x)>0成立.于是g(an)>0,即第21頁第21頁題型四歸納、猜想、證實（12分）已知等差數(shù)列{an}公差d不小于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0兩根，數(shù)列{bn}前

n項和為Tn，且（1）求數(shù)列{an}、{bn}通項公式；（2）設(shè)數(shù)列{an}前n項和為Sn，試比較與

Sn+1大小，并闡明理由.

(1)由a2、a5是方程根，求出an，再由求出bn.(2)先猜想與Sn+1大小關(guān)系，再用數(shù)學(xué)歸納法證實.第22頁第22頁解又∵{an}公差不小于0，∴a5>a2,∴a2=3,a5=9.5分第23頁第23頁6分第24頁第24頁下面用數(shù)學(xué)歸納法證實：①當(dāng)n=4時，已證.9分第25頁第25頁=(k2+4k+4)+2k2+2k-1>［(k+1)+1］2=S(k+1)+1,11分12分第26頁第26頁（1）歸納——猜想——證實是高考重點(diǎn)考察內(nèi)容之一，這類問題可分為歸納性問題和存在性問題，本例中歸納性問題需要從特殊情況入手，通過觀測、分析、歸納、猜想，摸索出一般規(guī)律.（2）數(shù)列是定義在N+上函數(shù)，這與數(shù)學(xué)歸納法利用范圍是一致，并且數(shù)列遞推公式與歸納原理實質(zhì)上是一致，數(shù)列中有不少問題慣用數(shù)學(xué)歸納法處理.第27頁第27頁知能遷移4如圖所表示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（0<y1<y2<…<yn）是曲線C：

y2=3x（y≥0）上n個點(diǎn)，點(diǎn)Ai（ai，0）（i=1，2，3，…，n）在x軸正半軸上，且ΔAi-1AiPi是正三角形（A0是坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)寫出a1、a2、a3；(2)求出點(diǎn)An（an，0）（n∈N+）橫坐標(biāo)an關(guān)于

n表示式并證實.第28頁第28頁解（1）a1=2,a2=6,a3=12.(2)依題意，得即(an-an-1)2=2(an-1+an).由（1）可猜想：an=n(n+1)(n∈N+).下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證實：①當(dāng)n=1時，命題顯然成立；②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時命題成立,即有an=k(k+1),則當(dāng)n=k+1時，由歸納假設(shè)及(ak+1-ak)2=2(ak+ak+1),第29頁第29頁得［ak+1-k(k+1)］2=2［k(k+1)+ak+1］,即(ak+1)2-2(k2+k+1)ak+1+［k(k-1)］·［（k＋1）（k+2）］=0，解之得，ak+1=(k+1)(k+2)(ak+1=k(k-1)<ak不合題意,舍去)，即當(dāng)n=k+1時，命題成立.由①②知，命題成立.第30頁第30頁思想辦法感悟提升辦法與技巧1.利用數(shù)學(xué)歸納法能夠?qū)Σ煌耆珰w納問題進(jìn)行嚴(yán)格證實.2.利用數(shù)學(xué)歸納法能夠證實與正整數(shù)相關(guān)等式問題.3.利用數(shù)學(xué)歸納法能夠證實與正整數(shù)相關(guān)不等式問題.4.利用數(shù)學(xué)歸納法能夠證實整除問題，在證實時經(jīng)常利用湊數(shù)、湊多項式等恒等變形.5.利用數(shù)學(xué)歸納法能夠證實幾何問題.第31頁第31頁失誤與防備1.數(shù)學(xué)歸納法僅適應(yīng)于與正整數(shù)相關(guān)數(shù)學(xué)命題.2.嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法三個環(huán)節(jié)書寫，尤其是對初始值驗證不可省略，有時要取兩個（或兩個以上）初始值進(jìn)行驗證；初始值驗證是歸納假設(shè)基礎(chǔ).3.注意n=k+1時命題正確性.4.在進(jìn)行n=k+1命題證實時，一定要用n=k(k∈N+)時命題，沒有用到該命題而推理證實辦法不是數(shù)學(xué)歸納法.第32頁第32頁一、選擇題1.用數(shù)學(xué)歸納法證實命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時，xn+yn能被x+y整除”，在第二步時，正確證法是()A.假設(shè)n=k(k∈N+),證實n=k+1命題成立B.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù))，證實n=k+1命題成立C.假設(shè)n=2k+1(k∈N+)，證實n=k+1命題成立D.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù))，證實n=k+2命題成立解析A、B、C中，k+1不一定表示奇數(shù),只有D

中k為奇數(shù)，k+2為奇數(shù).D定期檢測第33頁第33頁2.用數(shù)學(xué)歸納法證實“(n∈N+,n>1)”時，由n=k(k>1)不等式成立，推證n=k+1時，左邊應(yīng)增長項數(shù)是()A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1解析增長項數(shù)為（2k+1-1）-(2k-1)=2k+1-2k=2k.C第34頁第34頁3.對于不等式(n∈N+)，某同窗用數(shù)學(xué)歸納法證實過程下列：（1）當(dāng)n=1時，不等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時，不等式成立，即則當(dāng)n=k+1時，因此當(dāng)n=k+1時，不等式成立，則上述證法()A.過程所有正確B.n=1驗得不正確C.歸納假設(shè)不正確D.從n=k到n=k+1推理不正確解析在n=k+1時，沒有應(yīng)用n=k時假設(shè),不是數(shù)學(xué)歸納法.D第35頁第35頁4.用數(shù)學(xué)歸納法證實“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證n=k+1時情況,只需展開 ()A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3解析假設(shè)當(dāng)n=k時，原式能被9整除,即k3+(k+1)3

+(k+2)3能被9整除.當(dāng)n=k+1時,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3為了能用上面歸納假設(shè)，只需將(k+3)3展開，讓其出現(xiàn)k3即可.A第36頁第36頁5.證實當(dāng)n=2時，左邊式子等于()A.1B.C.D.解析當(dāng)n=2時，左邊式子為D第37頁第37頁6.用數(shù)學(xué)歸納法證實不等式(n≥2,n∈N+)過程中，由n=k遞推到n=k+1時不等式左邊 ()A.增長了一項B.增長了兩項C.增長了B中兩項但減少了一項D.以上各種情況均不對第38頁第38頁解析答案

C第39頁第39頁二、填空題7.若f(n)=12+22+32+…+(2n)2,則f(k+1)與f(k)遞推關(guān)系式是

.解析∵f(k)=12+22+…+(2k)2，f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2，∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2第40頁第40頁8.用數(shù)學(xué)歸納法證實(n∈N,且

n>1),第一步要證不等式是

.解析

n=2時，左邊第41頁第41頁9.已知整數(shù)對序列如下：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4)，…，則第60個數(shù)對是.解析本題規(guī)律：2=1+1；3=1+2=2+1；4=1+3=2+2=3+1；5=1+4=2+3=3+2=4+1；…；一個整數(shù)n所擁有數(shù)對為(n-1)對.設(shè)1+2+3+…+(n-1)=60,∴n=11時還多5對數(shù)，且這5對數(shù)和都為12，12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7，∴第60個數(shù)對為（5，7）.(5,7)第42頁第42頁三、解答題10.已知數(shù)列{an}中，(n∈N+).證明：0<an<an+1<1.證實(1)n=1時，∴0<a1<a2<1,故結(jié)論成立.(2)假設(shè)n=k（k∈N+）時結(jié)論成立，即0<ak<ak+1<1,第43頁第43頁即0<ak+1<ak+2<1,也就是說n=k+1時，結(jié)論也成立.由(1)(2)可知，對一切n∈N+都有0<an<an+1<1.第44頁第44頁11.用數(shù)學(xué)歸納法證實對于任意正整數(shù)n,(n2-1)+2(n2-22)