北師大勾股定理

本文格式為Word版，下載可任意編輯——北師大勾股定理北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第一章勾股定理》單元測(cè)試題附答案一、選擇題1、如圖中字母A所代表的正方形的面積為（）．A．4B．8C．16D．642、如圖，邊長(zhǎng)為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為S1、S2，那么S1+S2的值為（）A．16B．17C．18D．193、將以下各組數(shù)據(jù)作為三角形的邊長(zhǎng)，能夠組成直角三角形的是（）A．4，5，6B．1.5，2，2.5C．2，3，4D．1，，34、圖中的△ABC是（）三角形A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.直角三角形5、如圖，分別以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作等邊三角形，面積分別記為S1、S2、S3，那么S1、S2、S3之間的關(guān)系是（）A．S12+S22＝S32B．S1+S2＞S3C．S1+S2＜S3D．S1+S2＝S36、.若一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)為12和5，那么第三邊為（）A.13B.13或C.13或5D.157、小明想知道學(xué)校旗桿的高，他察覺(jué)旗桿上的繩子垂到地面還多1m，當(dāng)它把繩子的下端拉開(kāi)4m后，察覺(jué)下端剛好接觸地面，那么旗桿的高為（）m．A．7B．7.5C．8D．98、以下四組線段中，能組成直角三角形的是()A．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3B．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4C．a(chǎn)＝2，b＝4，c＝5D．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝59、如圖一只螞蟻從長(zhǎng)寬都是3cm，高是8cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是（）A．13cmB．10cmC．14cmD．無(wú)法確定10、若三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，2，那么此三角形的面積為（）A．B．C．D．11、五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個(gè)直角三角形，如圖，其中正確的是（）A．B．C．D．12、如圖：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，那么CE2+CF2等于（）A．75B．100C．120D．125二、填空題13、在△ABC中，AB=AC=5，BC=6．若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，那么BP的最小值是．14、如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)A、B、C都在小正方形的頂點(diǎn)上，那么∠ABC的正切值為．15、如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2＋4，點(diǎn)M，N分別在線段AC，AB上，將△ANM沿直線MN折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在線段BC上，當(dāng)△DCM為直角三角形時(shí)，折痕MN的長(zhǎng)為16、如圖，∠MAN＝90°，點(diǎn)C在邊AM上，AC＝4，點(diǎn)B為邊AN上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交A′B所在直線于點(diǎn)F，連接A′E．當(dāng)△A′EF為直角三角形時(shí)，AB的長(zhǎng)為．17、如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P，Q分別為邊BC，AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，那么AQ＝________．18、一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)的比為3：4：5，且其周長(zhǎng)為60cm，那么其面積為．三、解答題19、如圖，在ΔABC中，AB=AC=10，BC=8．用尺規(guī)作圖作BC邊上的中線AD（留存作圖痕跡，不要求寫作法、證明），并求AD的長(zhǎng)．20、如圖，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9，求AB的長(zhǎng)．21、如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，請(qǐng)以圖中的格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)邊長(zhǎng)為3、、的三角形．所畫的三角形是直角三角形嗎?說(shuō)明理由．22、截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔佐線的添加方法．截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過(guò)在一條短邊上延長(zhǎng)一條線段與另一短邊相等，從而解決問(wèn)題．（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．解題思路：延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E，使CE＝BD，連接AE，根據(jù)∠BAC+∠BDC＝180°，可證∠ABD＝∠ACE易證得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．根據(jù)上述解題思路，請(qǐng)直接寫出DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系是；

（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，∠BDC＝90°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）如圖3，兩塊斜邊長(zhǎng)都為14cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，那么兩塊三角板的直角頂點(diǎn)之間的距離PQ的長(zhǎng)分別為cm．23、如圖1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)頭以1cm/s的速度沿AB邊向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B以2cm/s的速度沿BC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，假設(shè)P、Q同時(shí)啟程，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．(1)當(dāng)t=2時(shí)，求△PBQ的面積．(2)當(dāng)t=時(shí)，試說(shuō)明△DPQ是直角三角形．(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)3s時(shí)，P點(diǎn)中斷運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)以原速立刻向B點(diǎn)返回，在返回的過(guò)程中，DP是否能平分∠ADQ？若能，求出點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案一、選擇題1、D2、B3、B4、D5、D解：設(shè)直角三角形的三邊從小到大是a，b，c．那么S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2．又a2+b2＝c2，那么S1+S2＝S3．應(yīng)選：D．此題主要測(cè)驗(yàn)勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌管勾股定理和等邊三角形的面積公式．6、B7、B；

8、D9、B．10、B11、C勾股定理的逆定理．欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長(zhǎng)，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．解：A、72+242=252，152+202≠242，222+202≠252，故A不正確；

B、72+242=252，152+202≠242，故B不正確；

C、72+242=252，152+202=252，故C正確；

D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正確．應(yīng)選：C．12、B解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，∴△EFC為直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．二、填空題13、4.8．勾股定理；

垂線段最短．根據(jù)點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短，得到當(dāng)BP垂直于AC時(shí)，BP的長(zhǎng)最小，過(guò)A作等腰三角形底邊上的高AD，利用三線合一得到D為BC的中點(diǎn)，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而利用面積法即可求出此時(shí)BP的長(zhǎng)．解：根據(jù)垂線段最短，得到BP⊥AC時(shí)，BP最短，過(guò)A作AD⊥BC，交BC于點(diǎn)D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D為BC的中點(diǎn)，又BC=6，∴BD=CD=3，在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，根據(jù)勾股定理得：AD==4，又∵S△ABC=BC?AD=BP?AC，∴BP===4.8．故答案為：4.8．14、1．解：

如圖：長(zhǎng)方形AEFM，連接AC，∵由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5，∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，即∠ACB＝90°，∴tan∠ABC＝＝1，15、或．16、4或4；

解：當(dāng)△A′EF為直角三角形時(shí)，存在兩種處境：

①當(dāng)∠AEF＝90°時(shí)，如圖1，∵△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，∴AC＝AC＝4，∠ACB＝∠ACB，∵點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，∴D、E是△ABC的中位線，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠AEF，∴AC∥AE，∴∠ACB＝∠AEC，∴∠ACB＝∠AEC，∴AC＝AE＝4，Rt△ACB中，∵E是斜邊BC的中點(diǎn)，∴BC＝2AE＝8，由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，∴AB＝＝4；

②當(dāng)∠AFE＝90°時(shí)，如圖2，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，∴∠ABF＝90°，∵△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，∴∠ABC＝∠CBA＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；

綜上所述，AB的長(zhǎng)為4或4；

故答案為：

此題測(cè)驗(yàn)了三角形的中位線定理、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，并利用分類議論的思想解決問(wèn)題．17、或18、150cm2三、計(jì)算題19、解：（1）作圖略（2）在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中線，∴AD⊥BC，在Rt△ABD中，AB＝10，BD＝4，，.20、勾股定理．在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理求出CD的長(zhǎng)，在Rt△ACD中根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)，故可得出AB的長(zhǎng)．解：∵CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9，∴在Rt△BCD中，CD2=CB2﹣DB2=152﹣92=144；

在Rt△ACD中，AD2=AC2﹣CD2=202﹣144=256，∴AD=16，∴AB=AD+DB=16+9=25．21、，，由于，所以所畫三角形不是直角三角形．四、綜合題22、解：（1）如圖1，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E，使CE＝BD，連接AE，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠BDC＝120°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，又∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∵∠ABC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB，故答案為：DA＝DC+DB；

（2）DA＝DB+DC，如圖2，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E，使CE＝BD，連接AE，∵∠BAC＝90°，