（精校版）2023年北京理數(shù)高考試題文檔版（含答案）

第頁絕密★啟用前2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)〔理〕〔北京卷〕本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一局部〔選擇題共40分〕一、選擇題共8小題，每題5分，共40分。在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項?！?〕集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，那么AB=〔A〕{0，1} 〔B〕{–1，0，1}〔C〕{–2，0，1，2} 〔D〕{–1，0，1，2}〔2〕在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于〔A〕第一象限 〔B〕第二象限〔C〕第三象限 〔D〕第四象限〔3〕執(zhí)行如下圖的程序框圖，輸出的s值為〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕〔4〕“十二平均律〞是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例，為這個理論的開展做出了重要奉獻．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．假設(shè)第一個單音的頻率為f，那么第八個單音的頻率為學(xué)&科網(wǎng)〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕〔5〕某四棱錐的三視圖如下圖，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為〔A〕1 〔B〕2〔C〕3 〔D〕4〔6〕設(shè)a，b均為單位向量，那么“〞是“a⊥b〞的〔A〕充分而不必要條件 〔B〕必要而不充分條件〔C〕充分必要條件 〔D〕既不充分也不必要條件〔7〕在平面直角坐標系中，記d為點P〔cosθ，sinθ〕到直線的距離，當(dāng)θ，m變化時，d的最大值為〔A〕1 〔B〕2〔C〕3 〔D〕4〔8〕設(shè)集合那么〔A〕對任意實數(shù)a， 〔B〕對任意實數(shù)a，〔2，1〕〔C〕當(dāng)且僅當(dāng)a<0時，〔2，1〕 〔D〕當(dāng)且僅當(dāng)時，〔2，1〕第二局部〔非選擇題共110分〕二、填空題共6小題，每題5分，共30分?！?〕設(shè)是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，那么的通項公式為__________．〔10〕在極坐標系中，直線與圓相切，那么a=__________．〔11〕設(shè)函數(shù)f〔x〕=，假設(shè)對任意的實數(shù)x都成立，那么ω的最小值為__________．〔12〕假設(shè)x，y滿足x+1≤y≤2x，那么2y?x的最小值是__________．〔13〕能說明“假設(shè)f〔x〕>f〔0〕對任意的x∈〔0，2］都成立，那么f〔x〕在［0，2］上是增函數(shù)〞為假命題的一個函數(shù)是__________．〔14〕橢圓，雙曲線．假設(shè)雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，那么橢圓M的離心率為__________；雙曲線N的離心率為__________．三、解答題共6小題，共80分。解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程?！?5〕〔本小題13分〕在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–．

〔Ⅰ〕求∠A；〔Ⅱ〕求AC邊上的高．

〔16〕〔本小題14分〕如圖，在三棱柱ABC?中，平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為，AC，，的中點，AB=BC=，AC==2．學(xué)科*網(wǎng)〔Ⅰ〕求證：AC⊥平面BEF；〔Ⅱ〕求二面角B?CD?C1的余弦值；〔Ⅲ〕證明：直線FG與平面BCD相交．〔17〕〔本小題12分〕電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨立．〔Ⅰ〕從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；

〔Ⅱ〕從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；

〔Ⅲ〕假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“〞表示第k類電影得到人們喜歡，“〞表示第k類電影沒有得到人們喜歡〔k=1，2，3，4，5，6〕．寫出方差，，，，，的大小關(guān)系．〔18〕〔本小題13分〕設(shè)函數(shù)=[]．〔Ⅰ〕假設(shè)曲線y=f〔x〕在點〔1，〕處的切線與軸平行，求a；〔Ⅱ〕假設(shè)在x=2處取得極小值，求a的取值范圍．〔19〕〔本小題14分〕拋物線C：=2px經(jīng)過點〔1，2〕．過點Q〔0，1〕的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．〔Ⅰ〕求直線l的斜率的取值范圍；〔Ⅱ〕設(shè)O為原點，，，求證：為定值．〔20〕〔本小題14分〕設(shè)n為正整數(shù)，集合A=．對于集合A中的任意元素和，記M〔〕=．〔Ⅰ〕當(dāng)n=3時，假設(shè)，，求M〔〕和M〔〕的值；〔Ⅱ〕當(dāng)n=4時，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素，當(dāng)相同時，M〔〕是奇數(shù)；當(dāng)不同時，M〔〕是偶數(shù)．求集合B中元素個數(shù)的最大值；學(xué).科網(wǎng)〔Ⅲ〕給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素，M〔〕=0．寫出一個集合B，使其元素個數(shù)最多，并說明理由．

絕密★啟用前2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題〔1〕A 〔2〕D 〔3〕B 〔4〕D 〔5〕C 〔6〕C 〔7〕C 〔8〕D二、填空題〔9〕 〔10〕 〔11〕 〔12〕3 〔13〕=sinx〔答案不唯一〕 〔14〕三、解答題〔15〕〔共13分〕解：〔Ⅰ〕在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈〔，π〕，∴sinB=．由正弦定理得=，∴sinA=．∵B∈〔，π〕，∴A∈〔0，〕，∴∠A=．〔Ⅱ〕在△ABC中，∵sinC=sin〔A+B〕=sinAcosB+sinBcosA==．如下圖，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，∴AC邊上的高為．〔16〕〔共14分〕解：〔Ⅰ〕在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴四邊形A1ACC1為矩形．又E，F(xiàn)分別為AC，A1C1的中點，∴AC⊥EF．∵AB=BC．∴AC⊥BE，∴AC⊥平面BEF．〔Ⅱ〕由〔I〕知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．如圖建立空間直角坐標系E-xyz．由題意得B〔0，2，0〕，C〔-1，0，0〕，D〔1，0，1〕，F(xiàn)〔0，0，2〕，G〔0，2，1〕．設(shè)平面BCD的法向量為，令a=2，那么b=-1，c=-4，∴平面BCD的法向量，又∵平面CDC1的法向量為，由圖可得二面角B-CD-C1為鈍角，所以二面角B-CD-C1的余弦值為．〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知平面BCD的法向量為，∵G〔0，2，1〕，F(xiàn)〔0，0，2〕，∴，∴，∴與不垂直，∴GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內(nèi)，∴GF與平面BCD相交．〔17〕〔共12分〕解：〔Ⅰ〕由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2023，第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25=50．故所求概率為．學(xué)科%網(wǎng)〔Ⅱ〕設(shè)事件A為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評〞，事件B為“從第五類電影中隨機選出的電影獲得好評〞．故所求概率為P〔〕=P〔〕+P〔〕=P〔A〕〔1–P〔B〕〕+〔1–P〔A〕〕P〔B〕．由題意知：P〔A〕估計為0.25，P〔B〕估計為0.2．故所求概率估計為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．〔18〕〔共13分〕解：〔Ⅰ〕因為=[]，所以f′〔x〕=［2ax–〔4a+1〕］ex+［ax2–〔4a+1〕x+4a+3］ex=［ax2–〔2a+1〕x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設(shè)知f′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．此時f(1)=3e≠0．所以a的值為1．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得f′〔x〕=［ax2–〔2a+1〕x+2］ex=〔ax–1〕(x–2)ex．假設(shè)a>，那么當(dāng)x∈(，2)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(2，+∞)時，f′(x)>0．所以f(x)在x=2處取得極小值．假設(shè)a≤，那么當(dāng)x∈(0，2)時，x–2<0，ax–1≤x–1<0，所以f′(x)>0．所以2不是f(x)的極小值點．綜上可知，a的取值范圍是〔，+∞〕．〔19〕〔共14分〕解：〔Ⅰ〕因為拋物線y2=2px經(jīng)過點P〔1，2〕，所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x．由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=kx+1〔k≠0〕．由得．依題意，解得k<0或0<k<1．又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點〔1，-2〕．從而k≠-3．所以直線l斜率的取值范圍是〔-∞，-3〕∪〔-3，0〕∪〔0，1〕．〔Ⅱ〕設(shè)A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕．由〔I〕知，．直線PA的方程為．令x=0，得點M的縱坐標為．同理得點N的縱坐標為．由，得，．所以．所以為定值．學(xué)科*網(wǎng)〔20〕〔共14分〕解：〔Ⅰ〕因為α=〔1，1，0〕，β=〔0，1，1〕，所以M(α，α)=[(1+1?|1?1|)+(1+1?|1?1|)+(0+0?|0?0|)]=2，M(α，β〕=[(1+0–|1?0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1．〔Ⅱ〕設(shè)α=〔x1，x2，x3，x4〕∈B，那么M(α，α〕=x1+x2+x3+x4．由題意知x1，x2，x3，x4∈{0，1}，且M(α，α)為奇數(shù)，所以x1，x2，x3，x4中1的個數(shù)為1或3．所以B{(1，0，0，0〕，〔0，1，0，0)，〔0，0，1，0)，〔0，0，0，1)，〔0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}.將上述集合中的元素分成如下四組：〔1，0，0，0)，(1，1，1，0)；〔0，1，0，0)，(1，1，0，1)；〔0，0，1，0)，〔1，0，1，1)；〔0，0，0，1)，〔0，1，1，1).經(jīng)驗證，對于每組中兩個元素α，β，均有M(α，β〕=1.所以每組中的兩個元素不可能同時是集合B的元素．所以集合B中元素的個數(shù)不超過4.又集合{〔1，0，0，0〕，〔0，1，0，0〕，〔0，0，1，0〕，〔0，0，0，1)}滿足條件，所以集合B中元素個數(shù)的最大值為4.〔Ⅲ〕設(shè)Sk={(x1，x2，…，xn〕|(x1，x2，…，xn〕∈A，xk

=1，x1=x2=…=xk–1=0)}〔k=1，2，…，n)，Sn+1={(x1，x2，…，xn〕|x1=x2=…