2023年新高考數(shù)學一輪復習8-8 立體幾何綜合問題(知識點講解)含詳解

專題8.8立體幾何綜合問題（知識點講解）

【知識框架】

【核心素養(yǎng)】

以幾何體為載體，考查空間幾何體中的最值問題、折疊問題以及探索性問題，凸顯直觀想象、數(shù)學運算、

邏輯推理的核心素養(yǎng)．

【知識點展示】

（一）空間向量的概念及有關定理

1．空間向量的有關概念

名稱定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量方向相反且模相等的向量

共線向量

表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量

(或平行向量)

共面向量平行于同一個平面的向量

2.空間向量的有關定理

(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使得a＝λb.

(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序

實數(shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.

(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，

使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個基底．

（二）空間向量的坐標表示及運算

數(shù)量積的坐標運算設＝，，，＝，，，

(1)a(a1a2a3)b(b1b2b3)

則①＝，，；

a±b(a1±b1a2±b2a3±b3)

②＝，，；

λa(λa1λa2λa3)

③＝＋＋

a·ba1b1a2b2a3b3.

(2)共線與垂直的坐標表示

設＝，，，＝，，，

a(a1a2a3)b(b1b2b3)

則∥?＝?＝，＝，＝∈，

abaλba1λb1a2λb2a3λb3(λR)

⊥?＝?＋＋＝，均為非零向量．

aba·b0a1b1a2b2a3b30(ab)

(3)模、夾角和距離公式

設＝，，，＝，，，

a(a1a2a3)b(b1b2b3)

則＝＝2＋2＋2，

|a|a·aa1a2a3

a·bab＋ab＋ab

cos〈a，b〉＝＝112233.

|a||b|2＋2＋22＋2＋2

a1a2a3·b1b2b3

設，，，，，，

A(a1b1c1)B(a2b2c2)

則d|AB|(aa)2(bb)2(cc)2.

AB212121

（三）異面直線所成的角

①定義：設a，b是兩條異面直線，過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，則a′與b′所夾的銳角或直

角叫做a與b所成的角．

②范圍：兩異面直線所成角θ的取值范圍是(0,]．

2

ab

③向量求法：設直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為φ，則有cos|cos|||.

|a||b|

（四）直線與平面所成角

直線和平面所成角的求法：如圖所示，設直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所

|e·n|

成的角為，兩向量e與n的夾角為，則有sin＝|cos|＝.

φθφθ|e||n|

（五）二面角

(1)如圖1，AB、CD是二面角α－l－β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．

(2)如圖2、3，n,n分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β

12

的法向量，則二面角的大小n,n(或n,n)．

1212

（六）利用向量求空間距離

→

|AB·n|

點面距的求法：如圖，設AB為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則B到平面的距離d＝.

ααα|n|

【?？碱}型剖析】

題型一：向量與立體幾何中最值問題

例1.（2022·浙江·效實中學模擬預測）已知圓錐SO的高SO1,AB是底面上圓O的直徑，AB2，M是

圓O上的動點，N是SM的中點，則直線AN與平面SBM所成角的正弦值的最大值為（）

1222

A．B．C．D．1

333

例2.（山東·高考真題（理））如圖所示，已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠

ABC=60°,E,F分別是BC,PC的中點.

(1)證明:AE⊥PD;

(2)若H為PD上的動點,EH與平面PAD所成最大角的正切值為,求二面角E—AF—C的余弦值.

例3.（2021·全國·高考真題（理））已知直三棱柱ABCABC中，側面AABB為正方形，ABBC2，E，

11111

F分別為AC和CC的中點，D為棱AB上的點．BFAB

11111

（1）證明：BFDE；

（2）當BD為何值時，面BBCC與面DFE所成的二面角的正弦值最小?

111

【方法技巧】

解決空間圖形有關的線段、角、距離、面積、體積等最值問題，一般可以從三方面著手：

一是從問題的幾何特征入手，充分利用其幾何性質(zhì)去解決；

二是利用空間幾何體的側面展開圖；

三是找出問題中的代數(shù)關系，建立目標函數(shù)，利用代數(shù)方法求目標函數(shù)的最值．解題途徑很多，在函數(shù)建

成后，可用一次函數(shù)的端點法，二次函數(shù)的配方法、公式法，函數(shù)有界法(如三角函數(shù)等)及高階函數(shù)的拐

點導數(shù)法等．空間向量法求最值也是要求出目標函數(shù)，但是需要先依據(jù)題意建立空間直角坐標系，注意建

系時使坐標易于求解或表達，然后求目標函數(shù)的表達式．

題型二：立體幾何“翻折”“折疊”問題

例4.（2018·全國·高考真題（理））如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC的中點，以DF為折

痕把△DFC折起，使點C到達點P的位置，且PFBF.

（1）證明：平面PEF平面ABFD；（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

例5.（2019年高考全國Ⅲ卷理）圖1是由矩形ADEB，

Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE

與BF重合，連結DG，如圖2.

（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.

例6.（2022·遼寧實驗中學模擬預測）如圖所示正四

棱錐PABCD,AB2,PA7

(1)求證：PABD

(2)若沿側棱將此四棱錐剪開，四個側面向外旋轉，PAD旋轉至PAD,PCD旋轉至PCD如圖所示，其中二面

12

角PADB與二面角PCDB相同，當DPDP時，求平面PAD與PCD所成的銳二面角的余弦值

121212

【總結提升】

解答“翻折”“折疊”問題的兩個策略：1.確定翻折前后變與不變的關系：畫好翻折前后的平面圖形與立體

圖形，分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關系的變與不變．一般地，位于“折痕”同側的點、線、面之間的

位置和數(shù)量關系不變，而位于“折痕”兩側的點、線、面之間的位置關系會發(fā)生變化；對于不變的關系應

在平面圖形中處理，而對于變化的關系則要在立體圖形中解決

2.確定翻折后關鍵點的位置：所謂的關鍵點，是指翻折過程中運動變化的點．因為這些點的位置移動，會帶

動與其相關的其他的點、線、面的關系變化，以及其他點、線、面之間位置關系與數(shù)量關系的變化．只有

分析清楚關鍵點的準確位置，才能以此為參照點，確定其他點、線、面的位置，進而進行有關的證明與計

算

題型三：探索性問題----空間角的存在性問題

中，，，分別為線段，

例7.（2022·湖南·長沙一中高三開學考試）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1OMNBC

AA，BB的中點，P為線段AC上的動點，AO=1BC，AB=3，AC=4，AA=8.

11121

求點到平面的距離；

(1)CC1MN

試確定動點的位置，使線段與平面所成角的正弦值最大

(2)PMPBB1C1C.

例8.（2022·內(nèi)蒙古·赤峰紅旗中學松山分校模擬預測（理））如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為

正方形，PD底面ABCD，M為線段PC的中點，PDAD，N為線段BC上的動

點．

(1)證明：平面MND平面PBC

(2)當點N在線段BC的何位置時，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°？指出點N的位置，并

說明理由．

例9.（湖北·高考真題（理））如圖1，，，過動點A作，垂足D在線段BC上

且異于點B，連接AB，沿將△折起，使（如圖2所示）．

（Ⅰ）當?shù)拈L為多少時，三棱錐的體積最大；

（Ⅱ）當三棱錐的體積最大時，設點，分別為棱，的中點，試在棱上確定一點，

使得，并求與平面所成角的大?。?/p>

【總結提升】

與空間角有關的探索性問題主要為與兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角有關的存在性問

題，常利用空間向量法求解．求解時，一般把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定

范圍內(nèi)的解”等問題，并注意準確理解和熟練應用夾角公式．

其步驟是：(1)假設存在(或結論成立)；(2)建立空間直角坐標系，設(求)出相關空間點的坐標；(3)構建有關向

量；(4)結合空間向量，利用線面角或二面角的公式求解；(5)作出判斷．

題型四：探索性問題----線面關系中的存在性問題例10.（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐

EABCD中，AB//CD，CD4AB，點F為棱CD的中點，與E，F(xiàn)相異的動點P在棱EF上.

(1)當P為EF的中點時，證明：PB//平面ADE；

EP

(2)設平面EAD與平面EBC的交線為l，是否存在點P使得l//平面PBD？若存在，求的值；若不存在，

PF

請說明理由.

例11.（2019·北京·高考真題（理））如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，

PF1

PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點，點F在PC上，且．

PC3

（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；

（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；

PG2

（Ⅲ）設點G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．

PB3

例12.（2016·北京·高考真題（理））如圖,在四棱錐PABCD中,平面

PAD平面ABCD,PAPD,PAPD,ABAD,AB1,AD2,ACCD5.

（1）求證:PD平面PAB；

（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；

AM

（3）在棱PA上是否存在點M,使得BM∥平面PCD？若存在,求的值；若不存在,說明理由.

AP

【總結提升】

解決線面關系中存在性問題的策略

對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用向量法進行線面關系的邏輯推

理，尋找假設滿足的數(shù)據(jù)或事實，若滿足，則肯定假設，若得出矛盾的結論，則否定假設．

專題8.8立體幾何綜合問題（知識點講解）

【知識框架】

【核心素養(yǎng)】

以幾何體為載體，考查空間幾何體中的最值問題、折疊問題以及探索性問題，凸顯直觀想象、數(shù)學運算、

邏輯推理的核心素養(yǎng)．

【知識點展示】

（一）空間向量的概念及有關定理

1．空間向量的有關概念

名稱定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量方向相反且模相等的向量

共線向量

表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量

(或平行向量)

共面向量平行于同一個平面的向量

2.空間向量的有關定理

(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使得a＝λb.

(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序

實數(shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.

(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，

使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個基底．

（二）空間向量的坐標表示及運算

數(shù)量積的坐標運算設＝，，，＝，，，

(1)a(a1a2a3)b(b1b2b3)

則①＝，，；

a±b(a1±b1a2±b2a3±b3)

②＝，，；

λa(λa1λa2λa3)

③＝＋＋

a·ba1b1a2b2a3b3.

(2)共線與垂直的坐標表示

設＝，，，＝，，，

a(a1a2a3)b(b1b2b3)

則∥?＝?＝，＝，＝∈，

abaλba1λb1a2λb2a3λb3(λR)

⊥?＝?＋＋＝，均為非零向量．

aba·b0a1b1a2b2a3b30(ab)

(3)模、夾角和距離公式

設＝，，，＝，，，

a(a1a2a3)b(b1b2b3)

則＝＝2＋2＋2，

|a|a·aa1a2a3

a·bab＋ab＋ab

cos〈a，b〉＝＝112233.

|a||b|2＋2＋22＋2＋2

a1a2a3·b1b2b3

設，，，，，，

A(a1b1c1)B(a2b2c2)

則d|AB|(aa)2(bb)2(cc)2.

AB212121

（三）異面直線所成的角

①定義：設a，b是兩條異面直線，過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，則a′與b′所夾的銳角或直

角叫做a與b所成的角．

②范圍：兩異面直線所成角θ的取值范圍是(0,]．

2

ab

③向量求法：設直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為φ，則有cos|cos|||.

|a||b|

（四）直線與平面所成角

直線和平面所成角的求法：如圖所示，設直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所

|e·n|

成的角為，兩向量e與n的夾角為，則有sin＝|cos|＝.

φθφθ|e||n|

（五）二面角

(1)如圖1，AB、CD是二面角α－l－β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．

(2)如圖2、3，n,n分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β

12

的法向量，則二面角的大小n,n(或n,n)．

1212

（六）利用向量求空間距離

→

|AB·n|

點面距的求法：如圖，設AB為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則B到平面的距離d＝.

ααα|n|

【?？碱}型剖析】

題型一：向量與立體幾何中最值問題

例1.（2022·浙江·效實中學模擬預測）已知圓錐SO的高SO1,AB是底面上圓O的直徑，AB2，M是

圓O上的動點，N是SM的中點，則直線AN與平面SBM所成角的正弦值的最大值為（）

1222

A．B．C．D．1

333

【答案】C

【解析】

【分析】做OEAB交圓上一點E，以O為原點，OE、OB、OA所在的直線為x、y、y軸的正方向建立空間

ab1

直角坐標系，設Ma,b,0，則N,,，且a2b21，求出AN、平面AMB的一個法向量坐標，設直

222

ANn2

sincosAN,n

線AN與平面SBM所成的角為，可得ANn2b37b39，令

21b2

2x37x29

fxx1,1，利用導數(shù)可得fx的最值，從而得到答案.

21x2

【詳解】

做OEAB交圓上一點E，

以O為原點，OE、OB、OA所在的直線為x、y、y軸的正方向建立空間直角坐標系，

則O0,0,0，A0,1,0，B0,1,0，S0,0,1，

ab1

設Ma,b,0，則N,,，且a2b21，

222

當a0,b1時，M0,1,0與B0,1,0重合，此時SMA構不成平面，

當a0,b1時，M0,1,0與A0,1,0重合，此時SMB構不成平面，

即b1，a0，

ab1

所以SMa,b,1，SB0,1,1，AN,1,，

222

設平面AMB的一個法向量為nx,y,z，

SMn0axbyz01b

所以，即，令y1，則x,z1，

SBn0yz0a

1b

所以n,1,1，設直線AN與平面SBM所成的角為，

a

1bb122

ANn1

222

sincosAN,nb22b32b32b37b39，

ANn1b2a2b221

21b2221b2

a2444

2x37x29xx2

令fxx1,1，fxx1,1

21x21x2

當0x1時，fx0，fx單調(diào)遞增，

9

當1x0時，fx0，fx單調(diào)遞減，所以fxf0，

min2

2222

2b37b39323，

21b22

22

直線AN與平面SBM所成角的正弦值的最大值為.

3

故選：C.

例2.（山東·高考真題（理））如圖所示，已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠

ABC=60°,E,F分別是BC,PC的中點.

(1)證明:AE⊥PD;

(2)若H為PD上的動點,EH與平面PAD所成最大角的正切值為,求二面角E—AF—C的余弦值.

【答案】（1）證明略（2）所求二面角的余弦值為

【解析】

【詳解】

(1)由四邊形ABCD為菱形,∠ABC=60°,

可得△ABC為正三角形.

因為E為BC的中點,所以AE⊥BC.

又BC∥AD,因此AE⊥AD.

因為PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE.

而PA平面PAD,AD平面PAD且PA∩AD=A,

所以AE⊥平面PAD.又PD平面PAD,

所以AE⊥PD.

(2)如圖所示，設AB=2,H為PD上任意一點,連結AH、EH,

由(1)知,AE⊥平面PAD,

則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中,AE=,

所以,當AH最短時,∠EHA最大,

即當AH⊥PD時,∠EHA最大.

此時,tan∠EHA===,

因此AH=.又AD=2,

所以∠ADH=45°,所以PA=2.

方法一因為PA⊥平面ABCD,PA平面PAC,

所以,平面PAC⊥平面ABCD.

過E作EO⊥AC于O,則EO⊥平面PAC,

過O作OS⊥AF于S,連接ES,

則∠ESO為二面角E—AF—C的平面角.

在Rt△AOE中,EO=AE·sin30°=,

AO=AE·cos30°=,又F是PC的中點,

在Rt△ASO中,SO=AO·sin45°=,又SE===,

在Rt△ESO中,cos∠ESO===,

即所求二面角的余弦值為.

方法二由(1)知AE,AD,AP兩兩垂直,以A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,

又E、F分別為BC、PC的中點，所以

A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F(xiàn)(，，1），

所以=(，0，0），

=(，，1）.

設平面AEF的一法向量為

（，，），

m=x1y1z1

因此

取-，則（，，-），

z1=1m=021

因為BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以BD⊥平面AFC，

故為平面AFC的一法向量.

又=（-，3，0），

所以cos〈m,〉===.

因此,二面角E—AF—C為銳角,

所以所求二面角的余弦值為

例3.（2021·全國·高考真題（理））已知直三棱柱ABCABC中，側面AABB為正方形，ABBC2，E，

11111

F分別為AC和CC的中點，D為棱AB上的點．BFAB

11111

（1）證明：BFDE；

（2）當BD為何值時，面BBCC與面DFE所成的二面角的正弦值最小?

111

1

【答案】（1）證明見解析；（2）BD

12

【解析】

【分析】

（1）方法二：通過已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標系，借助空間向量證明

線線垂直；

（2）方法一：建立空間直角坐標系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進而可以確定出答

案；

【詳解】

（1）[方法一]：幾何法

因為BFAB,AB//AB，所以BFAB．

1111

又因為ABBB，BFBBB，所以AB平面BCCB．又因為ABBC2，構造正方體ABCGABCG，

11111111

如圖所示，

過E作AB的平行線分別與AG，BC交于其中點M,N，連接AM,BN，

11

因為E，F(xiàn)分別為AC和CC的中點，所以N是BC的中點，易證RtBCFRtBBN，則CBFBBN．

111

又因為BBNBNB90，所以CBFBNB90，BFBN．

1111

又因為BFAB,BNABB，所以BF平面AMNB．

11111111

又因為ED平面AMNB，所以BFDE．

11

[方法二]【最優(yōu)解】：向量法

因為三棱柱ABCABC是直三棱柱，BB底面ABC，BBAB

11111

AB//AB，BFAB，BFAB，又BBBFB，AB平面BCCB．所以BA,BC,BB兩兩垂直．

11111111

以B為坐標原點，分別以BA,BC,BB所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖．

1

B0,0,0,A2,0,0,C0,2,0,B0,0,2,A2,0,2,C0,2,2，

111

E1,1,0,F0,2,1．

由題設Da,0,2（0a2）．

因為BF0,2,1,DE1a,1,2，

所以BFDE01a21120，所以BFDE．

[方法三]：因為BFAB，AB//AB，所以BFAB，故BFAB0，BFAB0，所以

111111

BFEDBFEBBBBD=BFBDBFEBBBBFEBBFBB

11111

11111

BFBABCBFBBBFBABFBCBFBBBFBCBFBB

22122121

1121

BFBCcosFBCBFBBcosFBB=52520，所以BFED．

211255

（2）[方法一]【最優(yōu)解】：向量法設平面DFE的法向量為mx,y,z，

因為EF1,1,1,DE1a,1,2，

mEF0xyz0

所以，即．

mDE01axy2z0

令z2a，則m3,1a,2a

因為平面BCCB的法向量為BA2,0,0，

11

設平面BCCB與平面DEF的二面角的平面角為，

11

mBA63

則cos．

mBA22a22a142a22a14

127

當a時，2a22a4取最小值為，

22

36

此時cos取最大值為273．

2

6231

所以sin1，此時BD．

1

min332

[方法二]：幾何法

如圖所示，延長EF交AC的延長線于點S，聯(lián)結DS交BC于點T，則平面DFE平面BBCCFT．

111111

作BHFT，垂足為H，因為DB平面BBCC，聯(lián)結DH，則DHB為平面

11111

BBCC與平面DFE所成二面角的平面角．

11

CS1CG1

設BDt,t[0,2],BTs，過C作CG//AB交DS于點G．由11得CG(2t)．

111111SA3AD13

11

ts

BDBT3t

又11，即12s，所以s．

CGCT(2t)t1

113

BHBTBHss

111BH

又，即，所以1．

CFFT11(2s)21(2s)2

1

s29t2

所以DHBH2BD2t2t2．

111(2s)22t22t5

1

t

BD9

則sinDHB19t21，

1DHt2129

2t22t52t

22

13

所以，當t時，sinDHB．

21min3

[方法三]：投影法

如圖，聯(lián)結FB,FN，

1

DEF在平面BBCC的投影為BNF，記面BBCC與面DFE所成的二面

11111

S

角的平面角為，則cosB1NF．

S

DEF

設BDt(0t2)，在RtDBF中，DFBD2BF2t25．

1111

在RtECF中，22，過D作BN的平行線交EN于點Q．

EFECFC31

DF2EF2DE2

在Rt△DEQ中，DEQD2EQ25(1t)2．在DEF中，由余弦定理得cosDFE

2DFEF

3t215(t1)2t22t14113

，sinDFE，SDFEFsinDFE2t22t14，S,

3t253t25DFE22B1NF2

S39

cosB1NF，sin1，

S2t22t142t2t7

DFE

113

當t，即BD，面BBCC與面DFE所成的二面角的正弦值最小，最小值為．

212113

【整體點評】

第一問，方法一為常規(guī)方法，不過這道題常規(guī)方法較為復雜，方法二建立合適的空間直角坐標系，借助空

間向量求解是最簡單，也是最優(yōu)解；方法三利用空間向量加減法則及數(shù)量積的定義運算進行證明不常用，

不過這道題用這種方法過程也很簡單，可以開拓學生的思維.

第二問：方法一建立空間直角坐標系，利用空間向量求出二面角的平面角是最常規(guī)的方法，也是最優(yōu)方法；

方法二：利用空間線面關系找到，面BBCC與面DFE所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容

11

易找到；方法三：利用面DFE在面BBCC上的投影三角形的面積與△DFE面積之比即為面BBCC與面

1111

DFE所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，進而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，開闊

學生的思維．

【方法技巧】

解決空間圖形有關的線段、角、距離、面積、體積等最值問題，一般可以從三方面著手：

一是從問題的幾何特征入手，充分利用其幾何性質(zhì)去解決；

二是利用空間幾何體的側面展開圖；

三是找出問題中的代數(shù)關系，建立目標函數(shù)，利用代數(shù)方法求目標函數(shù)的最值．解題途徑很多，在函數(shù)建

成后，可用一次函數(shù)的端點法，二次函數(shù)的配方法、公式法，函數(shù)有界法(如三角函數(shù)等)及高階函數(shù)的拐

點導數(shù)法等．空間向量法求最值也是要求出目標函數(shù)，但是需要先依據(jù)題意建立空間直角坐標系，注意建

系時使坐標易于求解或表達，然后求目標函數(shù)的表達式．

題型二：立體幾何“翻折”“折疊”問題

例4.（2018·全國·高考真題（理））如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC的中點，以DF為折

痕把△DFC折起，使點C到達點P的位置，且PFBF.

（1）證明：平面PEF平面ABFD；

（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

3

【答案】（1）證明見解析；（2）.

4

【解析】

【分析】

（1）首先從題的條件中確定相應的垂直關系，即BFPF，BFEF，又因為PFEFF，利用線面垂

直的判定定理可以得出BF平面PEF，又BF平面ABFD，利用面面垂直的判定定理證得平面PEF平

面ABFD；

（2）結合題意，建立相應的空間直角坐標系，正確寫出相應的點的坐標，求得平面ABFD的法向量，設DP

3

HPDP3

與平面ABFD所成角為，利用線面角的定義，可以求得sin4，得到結果.

HPDP34

【詳解】

（1）由已知可得，BFPF，BFEF，又PFEFF，所以BF平面PEF.

又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD；

（2）作PHEF，垂足為H.由（1）得，PH平面ABFD.

以H為坐標原點，HF的方向為y軸正方向，BF為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系Hxyz.

由（1）可得，DEPE.又DP2，DE1，

所以PE3.又PF1，EF2，故PEPF.

33

可得PH,EH.

22

33333

H0,0,0,P0,0,,D1,,0,DP1,,,HP0,0,

則為平面ABFD的法向量.

22222

3

HPDP3

設DP與平面ABFD所成角為，則sin4.

HPDP34

3

所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.

4

例5.（2019年高考全國Ⅲ卷理）圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，

BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結DG，如圖2.

（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.

【答案】（1）見解析；（2）30.

【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個平面，從而A，C，G，D四點

共面．

由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．

又因為AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．

（2）作EHBC，垂足為H．因為EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC．

由已知，菱形BCGE的邊長為2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=3．

以H為坐標原點，HC的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系H–xyz，

則A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，3），CG=（1，0，3），AC=（2，–1，0）．

設平面ACGD的法向量為n=（x，y，z），則

CGn0,x3z0,

即

ACn0,2xy0.

所以可取n=（3，6，–3）．

nm3

又平面BCGE的法向量可取為m=（0，1，0），所以cosn,m．

|n||m|2

因此二面角B–CG–A的大小為30°．

例6.（2022·遼寧實驗中學模擬預測）如圖所示正四棱錐PABCD,AB2,PA7

(1)求證：PABD

(2)若沿側棱將此四棱錐剪開，四個側面向外旋轉，PAD旋轉至PAD,PCD旋轉至PCD如圖所示，其中二面

12

角PADB與二面角PCDB相同，當DPDP時，求平面PAD與PCD所成的銳二面角的余弦值

121212

【答案】(1)證明見解析

3

(2)

4

【解析】

【分析】（1）連接BD,AC，交于點O，連接PO，PO面A