2023高考數(shù)學異構異模復習第六章數(shù)列6.4.1數(shù)列求和撬題文

PAGEPAGE32022高考數(shù)學異構異模復習考案第六章數(shù)列6.4.1數(shù)列求和撬題文1.數(shù)列{an}的通項公式是an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，假設Sn＝10，那么n的值是()A．11 B．99C．120 D．121答案C解析∵an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，∴Sn＝(eq\r(2)－1)＋(eq\r(3)－eq\r(2))＋(eq\r(4)－eq\r(3))＋…＋(eq\r(n)－eq\r(n－1))＋(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＝eq\r(n＋1)－1.令Sn＝10，解得n＝120.應選C.2．在正項等比數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項和為Sn，且－a3，a2，a4成等差數(shù)列，那么S7的值為()A．125B．126C．127D．128答案C解析設數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，∵－a3，a2，a4成等差數(shù)列，∴2a2＝a4－a3，∴2a1q＝a1q3－a1q2，解得q＝2或q＝－1(舍去)，∴S7＝eq\f(a11－q7,1－q)＝eq\f(1－27,1－2)＝27－1＝127.應選C.3.設等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為q.b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)當d>1時，記cn＝eq\f(an,bn)，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.解(1)由題意有，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10a1＋45d＝100，,a1d＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋9d＝20，,a1d＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,d＝\f(2,9).))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝2n－1，,bn＝2n－1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝\f(1,9)2n＋79，,bn＝9·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)))n－1.))(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝eq\f(2n－1,2n－1)，于是Tn＝1＋eq\f(3,2)＋eq\f(5,22)＋eq\f(7,23)＋eq\f(9,24)＋…＋eq\f(2n－1,2n－1)，①eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,22)＋eq\f(5,23)＋eq\f(7,24)＋eq\f(9,25)＋…＋eq\f(2n－1,2n).②①－②可得eq\f(1,2)Tn＝2＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n－2)－eq\f(2n－1,2n)＝3－eq\f(2n＋3,2n)，故Tn＝6－eq\f(2n＋3,2n－1).4．等差數(shù)列{an}滿足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800？假設存在，求n的最小值；假設不存在，說明理由．解(1)設數(shù)列{an}的公差為d，依題意，2,2＋d,2＋4d成等比數(shù)列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化簡得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.當d＝0時，an＝2；當d＝4時，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，從而得數(shù)列{an}的通項公式為an＝2或an＝4n－2.(2)當an＝2時，Sn＝2n.顯然2n<60n＋800，此時不存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800成立．當an＝4n－2時，Sn＝eq\f(n[2＋4n－2],2)＝2n2，令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，解得n>40或n<－10(舍去)，此時存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值為41.綜上，當an＝2時，不存在滿足題意的n；當an＝4n－2時，存在滿足題意的n，其最小值為41.5．等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)令bn＝(－1)n－1eq\f(4n,anan＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解(1)因為S1＝a1，S2＝2a1＋eq\f(2×1,2)×2＝2a1＋2，S4＝4a1＋eq\f(4×3,2)×2＝4a1＋12，由題意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.(2)bn＝(－1)n－1eq\f(4n,anan＋1)＝(－1)n－1eq\f(4n,2n－12n＋1)＝(－1)n－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)＋\f(1,2n＋1))).當n為偶數(shù)時，Tn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,5)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－3)＋\f(1,2n－1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)＋\f(1,2n＋1)))＝1－eq\f(1,2n＋1)＝eq\f(2n,2n＋1).當n為奇數(shù)時，Tn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,5)))＋…－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－3)＋\f(1,2n－1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c