2020-2021人教版數(shù)學(xué)第二冊(cè)教師用書：第10章 10.110.1.3古典概型含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年新教材人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)教師用書：第10章10.110.1.3古典概型含解析10。學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1。結(jié)合具體實(shí)例,理解古典概型．(重點(diǎn))2．能計(jì)算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率．（重點(diǎn)、難點(diǎn)）1。通過對(duì)古典概型概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過計(jì)算古典概型的概率，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).據(jù)《西墅記》所載，唐明皇與楊貴妃擲骰子戲娛，唐明皇的戰(zhàn)況不佳,只有讓六顆骰子中的兩顆骰子同時(shí)出現(xiàn)“四”才能轉(zhuǎn)敗為勝．于是唐明皇一面舉骰投擲，一面連呼“重四”．骰子停定，正好重四．唐明皇大悅，命令高力士將骰子的四點(diǎn)涂為紅色，紅色通常是不能亂用的．因此直到今天，骰子的幺、四兩面為紅色，其余四面都是黑色．問題:您能算出唐明皇轉(zhuǎn)敗為勝的概率是多少嗎？若同時(shí)擲兩顆骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)有多少種不同的結(jié)果，你能寫出對(duì)應(yīng)的樣本空間嗎?點(diǎn)數(shù)之和不大于7這一事件包含哪幾個(gè)樣本點(diǎn)?你能求出對(duì)應(yīng)事件的概率嗎？這個(gè)事件對(duì)應(yīng)的概率是什么類型的概率？求解此類概型的概率的方法是什么？1．古典概型的定義試驗(yàn)具有如下共同特征：(1）有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè);（2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．我們將具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn),其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．2．古典概型的概率計(jì)算公式一般地,設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P（A）＝eq\f（k，n）＝eq\f（nA，nΩ）,其中n(A）和n（Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．思考1:“在區(qū)間[0，10]上任取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)恰為5的概率是多少？”這個(gè)概率模型屬于古典概型嗎？[提示］不屬于古典概型．因?yàn)樵趨^(qū)間[0，10］上任取一個(gè)數(shù)，其試驗(yàn)結(jié)果有無限個(gè)，故其基本事件有無限個(gè)，所以不是古典概型．思考2:若一次試驗(yàn)的結(jié)果所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為有限個(gè)，則該試驗(yàn)是古典概型嗎？[提示］不一定是古典概型．還必須滿足每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等才是古典概型．1．思考辨析（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1)任何一個(gè)事件都是一個(gè)樣本點(diǎn)． ()(2)古典概型中每一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等． ()（3）古典概型中的任何兩個(gè)樣本點(diǎn)都是互斥的． (）[提示］(1)錯(cuò)誤．一個(gè)事件可能是一個(gè)樣本點(diǎn)，也可能包含若干個(gè)樣本點(diǎn)．（2）正確．（3）正確．古典概型中任何兩個(gè)樣本點(diǎn)都不能同時(shí)發(fā)生，所以是互斥的．[答案］（1）×（2）√(3)√2．（多選題）下列關(guān)于古典概型的說法中，正確的是（）A．試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)B．每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等C．每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等D．樣本點(diǎn)的總數(shù)為n,隨機(jī)事件A若包含k個(gè)基本事件，則P（A）＝eq\f(k,n)ACD［根據(jù)古典概型的特征與公式進(jìn)行判斷，ACD正確，B不正確，故選ACD．］3．從甲、乙、丙三人中任選兩人擔(dān)任課代表，甲被選中的概率為(）A．eq\f（1，2)B．eq\f(1,3）C．eq\f（2，3）D．1C［從甲、乙、丙三人中任選兩人有：（甲,乙），(甲，丙)，(乙，丙）共3種情況,其中，甲被選中的情況有2種，故甲被選中的概率為P＝eq\f(2，3).］4．從3男3女共6名學(xué)生中任選2名(每名同學(xué)被選中的概率均相等）,則2名都是女同學(xué)的概率等于________．eq\f（1,5）[用A，B，C表示3名男同學(xué),用a，b，c表示3名女同學(xué)，則從6名同學(xué)中選出2人的樣本空間Ω＝{AB，AC，Aa，Ab,Ac，BC,Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab,ac,bc｝，其中事件“2名都是女同學(xué)”包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3,故所求的概率為eq\f(3，15)＝eq\f（1,5）.］古典概型的判斷【例1】下列是古典概型的是（)A．任意拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為樣本點(diǎn)時(shí)B．求任意的一個(gè)正整數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為樣本點(diǎn)時(shí)C．從甲地到乙地共n條路線，求某人正好選中最短路線的概率D．拋擲一枚均勻硬幣首次出現(xiàn)正面為止C［A項(xiàng)中由于點(diǎn)數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是；B項(xiàng)中的樣本點(diǎn)是無限的，故B不是；C項(xiàng)滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D項(xiàng)中樣本點(diǎn)既不是有限個(gè)也不具有等可能性，故D不是．］判斷一個(gè)試驗(yàn)是古典概型的依據(jù)判斷隨機(jī)試驗(yàn)是否為古典概型，關(guān)鍵是抓住古典概型的兩個(gè)特征-—有限性和等可能性,二者缺一不可。eq\o（［跟進(jìn)訓(xùn)練］)1．下列試驗(yàn)是古典概型的為________．(填序號(hào))①從6名同學(xué)中選出4人參加數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性大??；②同時(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為6的概率；③近三天中有一天降雨的概率;④10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率．①②④［①②④是古典概型,因?yàn)榉瞎诺涓判偷亩x和特點(diǎn)．③不是古典概型，因?yàn)椴环系瓤赡苄裕涤晔芏喾矫嬉蛩赜绊懀甝較簡單的古典概型問題【例2】某種飲料每箱裝6聽，如果其中有2聽不合格，質(zhì)檢人員依次不放回地從某箱中隨機(jī)抽出2聽，求檢測(cè)出不合格產(chǎn)品的概率．[解］只要檢測(cè)的2聽中有1聽不合格,就表示查出了不合格產(chǎn)品．分為兩種情況：1聽不合格和2聽都不合格．設(shè)合格飲料為1,2，3,4，不合格飲料為5,6，則6聽中選2聽試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝{(1，2)，(1,3）,（1,4），（1,5)，（1,6)，(2,3),（2,4)，(2,5)，（2，6）,（3,4），(3，5)，(3,6)，（4,5)，(4,6)，（5,6）｝，共15個(gè)樣本點(diǎn)．有1聽不合格的樣本點(diǎn)有（1，5）,(1,6），(2，5)，（2,6），(3，5),(3，6），(4，5）,（4,6），共8個(gè)；有2聽不合格的樣本點(diǎn)有（5,6)，共1個(gè)，所以檢測(cè)出不合格產(chǎn)品的概率為eq\f（8＋1，15)＝eq\f(3，5)。求解古典概率“四步”法eq\o(［跟進(jìn)訓(xùn)練］）2．現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答．試求:(1)所取的2道題都是甲類題的概率；(2）所取的2道題不是同一類題的概率．[解]（1）將4道甲類題依次編號(hào)為1,2，3,4;2道乙類題依次編號(hào)為5,6。任取2道題，這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝｛（1,2），(1，3），（1，4),（1，5）,(1,6)，（2,3），(2，4),(2,5)，（2，6），(3,4），(3,5），（3,6）,(4，5),（4，6）,(5，6）}，共15個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是等可能的，可用古典概型來計(jì)算概率．用A表示“所取的2道題都是甲類題”這一事件，則A＝｛（1,2)，（1，3）,（1，4)，(2，3），(2,4），(3,4）｝,共含有6個(gè)樣本點(diǎn)，所以P（A）＝eq\f(6,15）＝eq\f(2，5)。(2）由（1)知試驗(yàn)的樣本空間共有15個(gè)樣本點(diǎn),用B表示“所取的2道題不是同一類題"這一事件,則B＝{（1,5)，(1,6），(2,5)，（2，6）,（3,5），（3，6)，（4,5），(4，6)}，共包含8個(gè)樣本點(diǎn)，所以P(B)＝eq\f（8，15）。較復(fù)雜的古典概型問題［探究問題]1．古典概型的概率計(jì)算公式是什么？［提示］事件A的概率P（A）＝eq\f(k,n）＝eq\f（nA，nΩ），其中n(A）和n（Ω）分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．2．計(jì)算較復(fù)雜的古典概型的概率的關(guān)鍵是什么？[提示］關(guān)鍵有兩個(gè):一是正確理解試驗(yàn)的意義，寫出樣本空間所包含的樣本點(diǎn)及其總數(shù)；二是正確理解樣本點(diǎn)與事件A的關(guān)系，正確計(jì)算事件A所包含的樣本點(diǎn)數(shù)．【例3】某兒童樂園在“六一"兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng)．參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)動(dòng)后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)．設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：①若xy≤3，則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)；②若xy≥8，則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè)；③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶．假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個(gè)區(qū)域劃分均勻．小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng)．（1)求小亮獲得玩具的概率；（2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．［思路探究］eq\x(\s\up(寫出試驗(yàn)的，樣本空間))→eq\x（\s\up（計(jì)算所求概率事，件的樣本點(diǎn)數(shù)）)→eq\x（應(yīng)用古典概型概率公式計(jì)算概率）[解］用數(shù)對(duì)(x,y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù)，則樣本空間Ω與點(diǎn)集S＝｛(x,y)｜x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4｝一一對(duì)應(yīng)．因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4×4＝16，所以樣本點(diǎn)總數(shù)n＝16。（1）記“xy≤3”為事件A，則事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)共5個(gè)，即A＝｛（1，1)，(1，2），(1，3）,（2,1),(3，1）}．所以P(A）＝eq\f(5,16),即小亮獲得玩具的概率為eq\f(5,16）.（2)記“xy≥8”為事件B，“3＜xy＜8"為事件C．則事件B包含的樣本點(diǎn)共6個(gè)，即B＝{（2,4)，(3，3），（3，4)，（4,2)，(4，3），（4，4)}．所以P(B)＝eq\f（6,16）＝eq\f（3,8）。事件C包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)共5個(gè)，即C＝{（1,4），（2，2)，（2,3），（3,2），(4,1）}．所以P(C)＝eq\f(5,16）。因?yàn)閑q\f(3,8）＞eq\f（5，16）,所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率．1．在例3中求小亮獲得玩具或水杯的概率．［解］用數(shù)對(duì)（x,y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù)，則樣本空間Ω與點(diǎn)集S＝{（x，y）|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一對(duì)應(yīng)．因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4×4＝16，所以樣本點(diǎn)總數(shù)n＝16.記“小亮獲得玩具或水杯”為事件E，則事件E包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)共11個(gè)，即E＝｛（1,1），（1,2),（1,3)，(2，1)，（3，1），（2，4），（3,3),(3,4),（4，2），(4,3)，(4,4）}．所以P(E）＝eq\f(11,16).2．將例3中獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則改為：①若3≤x＋y≤5，則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)；②其余情況沒有獎(jiǎng)，求小亮獲得玩具的概率．[解］用數(shù)對(duì)(x，y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù)，則樣本空間Ω與點(diǎn)集S＝｛（x，y）|x∈N,y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4｝一一對(duì)應(yīng)．因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4×4＝16,所以樣本點(diǎn)總數(shù)n＝16.記“3≤x＋y≤5"為事件D，則事件D包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)共9個(gè)，即D＝｛（1，2），（2，1)，(2,2)，(1，3),（3，1），（1,4),（4，1),(2,3)，(3，2)｝．所以P(D）＝eq\f（9,16)。解古典概型問題時(shí)，要牢牢抓住它的兩個(gè)特點(diǎn)和其計(jì)算公式。但是這類問題的解法多樣,技巧性強(qiáng)，在解決此類題時(shí)需要注意以下兩個(gè)問題:1試驗(yàn)必須具有古典概型的兩大特征—-有限性和等可能性.2計(jì)算基本事件的數(shù)目時(shí),須做到不重不漏，常借助坐標(biāo)系、表格及樹狀圖等列出所有基本事件.一、知識(shí)必備古典概型是一種最基本的概率模型．判斷試驗(yàn)是否為古典概型要緊緊抓住其兩個(gè)特征：樣本點(diǎn)的有限性和等可能性．二、方法必備1．求隨機(jī)事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)和樣本點(diǎn)的總數(shù)常用的方法是列舉法(畫樹狀圖和列表)，注意做到不重不漏．2．在應(yīng)用公式P（A）＝eq\f（k，n）＝eq\f(nA,nΩ)時(shí)，關(guān)鍵是正確理解樣本點(diǎn)與事件A的關(guān)系，從而正確求出n（A)和n（Ω）．1．下列試驗(yàn)是古典概型的是()A．口袋中有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中任取一球,基本事件為｛取中白球}和{取中黑球}B．在區(qū)間[－1，5]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2－3x＋2＞0C．拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察其出現(xiàn)正面或反面D．某人射擊中靶或不中靶C[根據(jù)古典概型的兩個(gè)特征進(jìn)行判斷．A項(xiàng)中兩個(gè)基本事件不是等可能的，B項(xiàng)中基本事件的個(gè)數(shù)是無限的，D項(xiàng)中“中靶”與“不中靶”不是等可能的，C項(xiàng)符合古典概型的兩個(gè)特征．]2．甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，甲站在中間的概率是()A．eq\f（1，6）B．eq\f（1,2)C．eq\f（1,3)D．eq\f（2，3)C［樣本空間的樣本點(diǎn)為：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6個(gè)，甲站在中間的事件包括乙甲丙、丙甲乙，共2個(gè)，所以甲站在中間的概率:P＝eq\f（2，6）＝eq\f(1,3）。］3．標(biāo)有數(shù)字1，2,3,4,5的卡片各一張，從這5張卡片中隨機(jī)抽取1張，不放回地再隨機(jī)抽取1張,則抽取的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(）A．eq\f(1,2）B．eq\f(1，5)C．eq\f（3,5）D．eq\f（2,5)A[如圖：基本事件的總數(shù)為20,其中第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包括的基本事件個(gè)數(shù)是10個(gè)，故所求概率P＝eq\f（10,20)＝eq\f（1，2）.故選A．]4．《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事．“田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬