二次函數(shù)壓軸之角度問題

二次函數(shù)壓軸之角度問題1．如圖，拋物線y＝(x﹣h)2+k與x軸交于A、B兩點，且A(﹣1，0)，對稱軸為直線x＝2．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）直線l過點A且在第一象限與拋物線交于點C．當∠CAB＝45°時，求點C的坐標；（3）若拋物線與y軸的交點為D，Q為拋物線上一點，若∠ADQ＝45°，求點Q的坐標．（4）Q為x軸上方拋物線上一點．當∠APB＝45°時，求點P的坐標；2．如圖拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A(1，0)、B(4，0)兩點，與y軸交于點C(0，﹣3)，拋物線頂點為點D．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在點M，使得∠BCM＝∠BCO？若存在，求直線CM的解析式．3.如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和B，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝（1）求拋物線的解析式；（2）點N坐標為（0，2），點M在拋物線上，且∠NBM＝45°，直接寫出點M坐標；如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c交x軸于點A(-3,0),B(4,0)兩點，交y軸于點C，點P是拋物線上一點，連接AC、BC.(1)求拋物線的表達式；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得∠QBA=75°？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.5．如圖1所示，直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+6（a≠0）交x軸于A（﹣4，0），B（2，0），在y軸上有點E(0，﹣3)．（1）求二次函數(shù)的表達式．（2）點D是第二象限內(nèi)的拋物線上一動點，連接AE和DE．①當tan∠AED＝，求出點D坐標；②如圖，若點P是直線CA上的動點，連接OP和PE，當∠OPE最大時，則點P的坐標為．6．如圖①，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（x1，0）、點C（x2，0），且x1，x2滿足x1+x2＝2，x1?x2＝﹣3，與y軸交于點B，E（m，0）是x軸上一動點，過點E作EP⊥x軸于點E，交拋物線于點P．（1）求拋物線解析式．（2）如圖，直線EP交直線AB于點D，連接PB．點E在x軸的正半軸上運動，若∠PBD+∠CBO＝45°，請求出m的值．7．如圖，已知直線y＝2x+n與拋物線y＝ax2+bx+c相交于A，B兩點，拋物線的頂點是A（1，﹣4），點B在x軸上．（1）求拋物線的解析式：（2）在拋物線上是否存在點Q，使∠BAQ＝45°，若存在，請直接寫出點Q的橫坐標；若不存在，說明理由．8.如圖，平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+nx+4過點A（﹣4，0），與y軸交于點N，與x軸正半軸交于點B．直線l過定點A．（1）求拋物線解析式；（2）連接AN，BN，直線l交拋物線于另一點M，當∠MAN＝∠BNO時，求點M的坐標；9．如圖，直線y＝x﹣3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過B、C，且與x軸另一交點為A，連接AC．（1）求拋物線的解析式；（2）點E在拋物線上，連接EC，當∠ECB+∠ACO＝45°時，求點E的橫坐標；10.平面直角坐標系中，已知拋物線y=-x2+(1+m)x-m(m為常數(shù))與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C.(1)若m=4,求點A、B、C的坐標;(2)在(1)的條件下，D為拋物線x軸上方一點，連接BD，若∠DBA+∠ACB=90°，求點D的坐標;參考答案1.解：(1)由拋物線y=(x-2)2-9(2)易知A(-1，0)，B(5，0),C(0，-5）AC：y=x+1，與拋物線聯(lián)立得(x-2)2-9=x+1x1=6,x2=-1(舍)，故C(6,7)∠ADQ=45°,∠ODB=45°,故∠ADO=∠HDB，過點H作DG⊥BD于點G,tan∠ADO=，故tan∠HDG=，設GH=x,則DG=5x，BG=x，故6x=5,x=,BH=，故OH=，DQ解析式為y=x-5,y=(x-2)2-9聯(lián)立得(x-2)2-9=x-5，x1=,x2=0(舍去)故Q(，)以AB為斜邊作等腰直角三角形AMB，以M為圓心，MA為半徑作圓，與拋物線的交點即為所求的P點易知：M(2，3)，半徑MA=3,MP=MA，設P(m，m2-4m-5),(m-2)2+(m2-4m-5-3)2=18即有(m-2)2+[(m-2)2-12]2=18得(m-2)2-23(m-2)+126=0,m1=2+√(14)，m2=2-，m3=-1，m4=5故Q點的坐標為(2+，5)，(2-,5)解：(1)y=-(x-1)(x-4)(2)①.CM在∠BCO之間時，CM與x軸相交于點D，作DF?BC，設OD=m，則DF=m，DB=4-m，BF=2，由勾股定理得m2+22=(4-m)2，m=，D(,0)，直線CM的解析式為：y=2x-3②CM在∠BCO外部時，CM與x軸交于點E，作EG?BC于點G，設EG=3t，則BG=4t，而∠BCM=∠BCO=∠OCD，而tan∠OCD=，故tan∠BCM=，即，BE=，E(，0)，直線CM的解析式為y=3.解：方法一：①作∠NBM=45°，并作NG⊥NB交于點G，過點N作EF||x軸，過點B、G作BF⊥EF，GE⊥EF，易知△ENG△FBN，故EN=BF=2，EG=NF=4，故G(-2，-2)，而B(4，0)，故直線BG解析式為y=x-，與拋物線y=x2-5x+4聯(lián)立得x1=4，x2=故M(，-)②作∠NBM=45°，連接作NP⊥BN交BM于點P，作PQ⊥y軸，易知△PQN△NAB，故PQ=AN=2，NQ=AB=4，故P(2，6)直線BM的解析式：y=-3x+12與拋物線y=x2-5x+4聯(lián)立得x1=4，x2=-2故M(-2，18)方法二：①由已知可得tan∠NBO=，∠NBE=45°，故tan∠OBE=，故OE=，故直線BE的解析式為y=x-，后與前面過程一樣.②∠BFN+∠OBN=45°，tan∠NBO=，故tan∠BFN=，故OF=12，BF的解析式為y=-3x+12后面與前面的方法相同.4.解：(1)y=-x2+x+12如圖，Q在第一象限時，在QH上取一點E使EQ=EB，QBA=75，故∠BQE=∠QBE=15，故∠BEH=30°，BH=，BE=EQ=7，EH=，故Q(，)；由對稱性可知Q在第二象限時，Q(，)，所以Q點的坐標為(，)和(，)解：(1)y=-(2)①當點D在x軸上方時，過點A作AP?DE，過點P作GH||x軸，作AG?GH，易知PAG~EPH,設P(m,n)則PH=-m，EH=n+3,得GP=EH=n+3，AG=PH=m，故，得n=，m=，直線DE的解析式為y=-，聯(lián)立拋物線y=-得x1=-2，x2=6(舍)，故D(-2，6)②作過OE的圓與AC相切于點P，易知∠OPE==∠OMN，sin∠OPE=sin∠OMN=,當r取最小值時，∠OPE最大，由HPM~AOC知HM=，MN=5-，在△OMN中易得(5-)2+()2=r2得r=，PH=，P解：(1)由已知可得x1=3,x2=-1,b=-2，c=3,故拋物線的解析式為y=-x2-2x+3方法1：易知∠OBA=45°，故∠CBP=90°，過點B作MN||x軸交DE于點N，作CM?MN于點M，易知△BCM~△PBN，P(m,-m2-2m+3)得PN=3-(-m2-2m+3)=m2+2m,BN=m，故有，m=方法2：易知∠PBC=90°，直線BC的解析式為y=3x+3，故BP的解析式為y=-x+3，與拋物線y=-x2-2x+3聯(lián)立得x=，故m=(1)y=x2-2x-3(2)1.點Q在AB左側(cè)時，AQ與x軸交于點E，過點E作MN||y軸，作PM?MN，AN?MN，易知△PME△ENA，PM=EN=4，設點M的橫坐標為m，則AN=1-m=ME，P點的橫坐標為4+m，縱坐標為1-m，代入拋物線解析式得(4+m)2-2(4+m)-3=1-m得m=-，得直線AQ的解析式為y=-3x-1,與拋物線聯(lián)立可得x1=1,x2=-2；同理可得直線AF的解析式為y=x-，與拋物線聯(lián)立可得x3=1,x4=；所以Q點的橫坐標為-2或(1)拋物線的解析式為y=-x2-3x+4(2)1.tan∠BNO=，故tan∠MAN=，AM1與y軸交于點E，作EGAN于點G，設EG=m,則AG=4m，而OA=ON，故GN=m，故5m=4,m=,EN=,故E(0,)，直線AE的解析式為y=,與拋物線y=-x2-3x+4聯(lián)立得x1=，x2=-4(舍)，故M(，)2.AM在上方時，過點F作FHAN于點H，設FH=n,則NH=n,AH=4n，故3n=4，n=FN=,直角AM的解析式為y=x+，聯(lián)立得x3=-,x4=-4(舍),故M(-，)(1)拋物線的解析式為y=易知A(,0)，B(3，0)，C(0，-3),①當E在上方時，注意到∠OCB=45°，故CE與x軸的交點D與A關(guān)于原點對稱，即有D(,0)此時CE解析式為y=與拋物線聯(lián)立可得x1=,x2=0(舍)，故E1點的橫坐標為，E1(，2)；②當E在x軸下方時，此