中考數(shù)學專項訓練-全等三角形的應用

中考數(shù)學專項訓練——全等三角形的應用一、綜合題1．如圖，點B，F(xiàn)，C，E在直線l上（點F，點C之間不能直接測量），點A，D在l異側(cè)，測得AB=DE，AC=DF，BF=EC．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）指出圖中所有平行的線段，并說明理由．2．如圖（1）如圖①是一個重要公式的幾何解釋．請你寫出這個公式；（2）如圖②，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B、C、D三點在一條直線上．試證明∠ACE＝90°；（3）伽菲爾德(Garfield，1881年任美國第20屆總統(tǒng))利用（1）中的公式和圖②證明了勾股定理(1876年4月1日，發(fā)表在《新英格蘭教育日志》上)，現(xiàn)請你嘗試該證明過程．3．如圖①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過點A，且BD⊥l于點D，CE⊥l于點E（1）求證：BD+CE=DE（2）當變換到如圖②所示的位置時，試探究BD、CE、DE的數(shù)量關(guān)系，請說明理由。4．如圖，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小明想用繩子測量A、B間的距離，但繩子不夠長，你能幫他想個辦法嗎？（1）把你的方法寫出來．（2）寫出其中的道理．5．琪琪家門前有一條小河，村里準備在河面上架上一座橋，但河寬AB無法直接測量，（1）愛動腦的小明想到了如下方法：在與AB垂直的岸邊BF上取兩點C，D，使CD=，再引出BF的垂線DG，在DG上取一點E，并使A、C、E在一條直線上，這時測出線段的長度就是AB的長。按小明的想法填寫題目中的空格；（2）請完成推理過程。6．小明家所在的小區(qū)有一個池塘，如圖，A、B兩點分別位于一個池塘的兩側(cè)，池塘西邊有一座假山D，在BD的中點C處有一個雕塑，小明從A出發(fā)，沿直線AC一直向前經(jīng)過點C走到點E，并使CE=CA，然后他測量點E到假山D的距離，則DE的長度就是A、B兩點之間的距離．（1）你能說明小明這樣做的根據(jù)嗎？（2）如果小明未帶測量工具，但是知道A和假山、雕塑分別相距200米、120米，你能幫助他確定AB的長度范圍嗎？7．綜合實踐：某校七年級學生到野外活動，為測量一池塘兩端的距離，甲、乙、丙三位同學分別設(shè)計出如下幾種方案：甲：如圖①，先在平地取一個可直接到達的點，再連接，并分別延長至至，使，最后測出的長即為的距離．乙：如圖②，先過點作的垂線，再在上取兩點，使，接著過點作的垂線交的延長線于點，則測出的長即為的距離．丙：如圖③，過點作，再由點觀測，在的延長線上取一點，使，這時只要測出的長即為的距離．（1）以上三位同學所設(shè)計的方案，可行的有；（2）請你選擇一可行的方案，說說它可行的理由．8．如圖，在與中，，，.（1）求證：；（2）若，，求的度數(shù).9．如圖，在四邊形中，，、相交于點，為中點，延長到點，使.（1）求證：；（2）求證：四邊形為平行四邊形；（3）若，，，直接寫出四邊形的面積.10．（1）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，點在邊上，與的面積分別記為與，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）閱讀分析：小鵬遇到這樣一個問題：如圖，在中，，，射線交于點，點、在上，且，試判斷、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．小鵬利用一對全等三角形，經(jīng)過推理使問題得以解決．圖2中的、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為，并說明理由（3）類比探究：如圖3，在四邊形中，，與交于點，點、在射線上，且．①全等的兩個三角形為；②若，的面積為2，直接寫出的面積：．11．如圖：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，（1）圖中EC、BF有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？試證明你的結(jié)論．（2）連接AM，求證：MA平分∠EMF．12．數(shù)學課上，老師出示了如下的題目：如圖（1），在等邊△ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC，試判斷AE和BD的大小關(guān)系，并說明理由．小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：（1）特殊情況，探索結(jié)論當點E為AB的中點時，如圖（2），確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AEDB（填“>”，“<”或“=”）；（2）特例啟發(fā)，解答題目如圖（1），試判斷AE和BD的大小關(guān)系，并說明理由；（3）拓展結(jié)論，設(shè)計新題在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC；若△ABC的邊長為1，AE=2，請畫出圖形，求CD的長．13．如圖：（1）觀察推理：如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l過點C，點A、B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D、E．求證：△AEC≌△CDB；（2）類比探究：如圖2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，將斜邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AB′，連接B′C，求△AB′C的面積．（3）拓展提升：如圖3，等邊△EBC中，EC=BC=4cm，點O在BC上，且OC=3cm，動點P從點E沿射線EC以2cm/s速度運動，連結(jié)OP，將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OF．要使點F恰好落在射線EB上，求點P運動的時間ts．14．Rt△ABC.∠C=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中點，E、F分別是AC、BC上兩點，且ED⊥FD．（1）如圖1，若E是AC中點，則BF=，EF=，AE2+BF2EF2（填“>,<或=”）；（2）如圖2，若點E是AC邊上任意一點，AE2+BF2EF2（填“>,<或=”），請說明理由；（3）若點E在CA延長上，（2）中三條線段之間的關(guān)系是否成立？請畫圖說明．15．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D與點B在AC同側(cè)，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，過點B作BE∥DA交DC于點E，M為AB的中點，連接MD，ME．（1）如圖1，當∠ADC=90°時，線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當∠ADC=60°時，試探究線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，當∠ADC=α時，求的值．16．如圖，在中，，點為邊上一點，，且,點關(guān)于直線的對稱點為，連接，又的邊上的高為.（1）判斷直線是否平行？并說明理由；（2）證明：.17．如圖1，菱形的頂點，在直線上，，以點為旋轉(zhuǎn)中心將菱形順時針旋轉(zhuǎn)（），得到菱形．對角線于點，交直線于點，連接．（1）當時，①求證：；②求的大?。唬?）如圖2，對角線'交于點，交直線與點，延長交于點，連接．當?shù)闹荛L為2時，求菱形的周長．18．如圖．Rt△ABC中，∠C=90o，AC=BC=4．P是BC上一點（不與B，C重合），連接AP．將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90o得到AQ．連接BQ．分別交AC，AP于點D，E．作QF⊥AC于點F．（1）求證：QF=AC；（2）若P是BC的中點，求tan∠ADQ的值；（3）若△AEQ的內(nèi)心在QF上，直接寫出BP的長

答案解析部分1．【答案】（1）證明：∵BF=CE，∴BF+FC=FC+CE，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）（2）解：結(jié)論：AB∥DE，AC∥DF．理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，∴AB∥DE，AC∥DF2．【答案】（1）解：(a+b)2＝a2+2ab+b2（2）證明：∵△ABC≌△CDE，∴∠BAC＝∠DCE．∴∠ACB+∠DCE＝∠ACB+∠BAC＝90°．由于B、C、D在一條直線上，所以∠ACE＝180°－(∠ACB+∠DCE)＝180°－90°＝90°．（3）證明：梯形ABDE的面積為．另一方面，梯形ABDE可分成三個直角三角形，其面積又可以表示成．∴，即a2+b2＝c23．【答案】（1）證明：∵BD⊥l于點D，CE⊥l于點E

∴∠D=∠E=90°

又∵四邊形EDBC內(nèi)角和為360°

∴∠ECB+∠DBC=180°

∵∠ABC+∠ACB=90°

∴∠ABD+∠ACE=90°

又∵∠EAC+∠ACE=90°

∴∠ABD=∠EAC

由∠D=∠E=90°

∠ABD=∠EAC

AB=AC

可得△ADB≌△CEA

則BD+CE=AE+AD=DE（2）解：∵△ADC≌△CEB，AD=6cm，∴CE=AD=6cm，BE=CD，∵DE=4cm，∴BE=CD=CE-DE=6cm-4cm=2cm4．【答案】（1）解：先在地上取一個可以直接到達A、B兩點的C點，連接并延長到D，使；連接并延長E，使，連接并測量出它的長度，的長就是A、B間的距離，如圖所示：（2）解：∵∴，∴．5．【答案】（1）CB；DE（2）解：由題意得DG⊥BF，∴∠CDE=∠CBA=90°，在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC(ASA)，∴DE=AB(全等三角形的對應邊相等)6．【答案】（1）證明：在△ACB和△ECD中∵，∴△ACB≌△ECD（SAS），∴DE=AB（2）解：如圖，連接AD，AD=200米，AC=120米，∴AE=240米，∴40米＜DE＜440米，∴40米＜AB＜440米7．【答案】（1）甲、乙、丙（2）解：選甲（答案不唯一），理由如下：在和中，；選乙：在和中，；選丙：在和中，．8．【答案】（1）證明：∵.∴∴，在和中，∴∴（2）解：∵，∴由（1）得∴.9．【答案】（1）證明：∵AD∥CB，∴∠DAC＝∠BCA，∵E為BD中點，∴DE＝BE，在△ADE和△CBE中，∠DAC＝∠BCA∴△ADE≌△CBE（AAS），∴AE＝CE（2）證明：由（1）得：AE＝CE，BE＝DE，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵DF＝CD，∴AB∥DF，AB＝DF，∴四邊形ABDF為平行四邊形（3）四邊形的面積等于10．【答案】（1）證明：如圖，作于點，由圖可知分別是、的高，∴S1=，S2=，∴．（2）證明：理由是：∵，，∴，∵，∴在△ABF和△CAE中，∴（AAS），∴，∴．（3）；411．【答案】（1）解：結(jié)論：EC＝BF，EC⊥BF，理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB＝∠CAF＝90°，∴∠EAB+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，∴∠EAC＝∠BAE，在△EAC和△BAF中，，∴△EAC≌△BAF（SAS），∴EC＝BF．∠AEC＝∠ABF∵∠AEG+∠AGE＝90°，∠AGE＝∠BGM，∴∠ABF+∠BGM＝90°，∴∠EMB＝90°，∴EC⊥BF．∴EC＝BF，EC⊥BF；（2）證明：作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形對應邊上的高相等）∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．12．【答案】（1）=（2）解：結(jié)論：AE=BD．

理由如下：如圖（2），作EF∥BC交AC于F．∵EF∥BC，∴∠AEF=∠B=60°，∠ECD=∠CEF，∴∠D=∠CEF．∵∠AEF=∠B=60°，∠A=60°，∴△AEF是等邊三角形，∴AE=EF=AF，∠AFE=60°，∴∠EFC=∠DBE=120°．∵AB=AC，AE=AF，∴BE=CF．∵ED=EC，∴∠D=∠ECD．在△DBE和△FEC中，∵∠DBE=∠EFC∠D=∠CEFBE=CF，∴△DBE≌△EFC（AAS），∴BD=EF，（3）解：如圖（4）中，當E在BA的延長線上時，作EF∥AC交BD的延長線于F，則△EBD≌△EFC（AAS），∴BD=CF=AE=2，CD=BD﹣BC=2﹣1=1．

如圖（5）中，當E在AB的延長線上時，作EF∥BC交AC的延長線于F，則△EBD≌△CFE（AAS），∴BD=EF=AE=2，CD=BD+BC=2+1=3．綜上所述：CD的長為1或3．故答案為：1或3．13．【答案】（1）解：∵BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠CDB=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCD=90°，∴∠CAE=∠BCD，在△ACE和△CBD中，∠AEC=∠CDB=90∴△ACE≌△CBD（2）解：如圖2，過點B'作B'G⊥AC于G，

∴∠B'AG+∠AB'G=90°，∵∠BAB'=90°，∴∠BAC+∠B'AG=90°，∴∠AB'G=∠BAC，由旋轉(zhuǎn)知，AB=AB'，在△ABC和△B'AG中，∠ACB=∠B∴△ABC≌△B'AG，∴B'G=AC=6，∴S△ACB'=AC×B'G=18（3）解：如圖3，

由旋轉(zhuǎn)知，OP=OF，∵△BCE是等邊三角形，∴∠CBE=∠BCE=60°，∴∠OCP=∠FBO=120°，∠CPO+∠COP=60°，∵∠POF=120°，∴∠COP+∠BOF=60°，∴∠CPO=∠BOF，在△BOF和△PCO中，∠OBF=∠PCO=120∴△BOF≌△PCO，∴CP=OB，∵EC=BC=4cm，OC=3cm，∴OB=BC﹣OC=1，∴CP=1，∴EP=CE+CP=5，∴點P運動的時間t=5÷2=2.5秒．14．【答案】（1）4；5；=（2）=（3）成立，如圖，延長ED至G使得ED=DG，連接BG，F(xiàn)G，∵D是AB的中點，∴AD=BD，∵∠1=∠2，DE=DG，∴△ADE≌△BDG，∴AE=BG，∠AED=∠BGD，∵∠3=∠4，∠AED=∠BGD，∴∠GBF=∠C=90°，∵FD⊥ED，D為EG中點，∴EF=FG，在Rt△BFG.BG2+BF2=FG2，即AE2+BF2=EF2；15．【答案】（1）MD=ME（2）解：MD=ME，理由：如圖2，延長EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=60°，∴∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=30°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=30°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=30°，在Rt△MDE中，tan∠MDE=，∴MD=ME．（3）解：如圖3，延長EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，延長BE交AC于點N，∴∠BNC=∠DAC，∵DA=DC，∴∠DCA=∠DAC，∴∠BNC=∠DCA，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=∠EBC，∴CE=BE，∴AF=CE，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC=α，∴∠MDE=，在Rt△MDE中，=tan∠MDE=tan．16．【答案】（1）解：BD//AH．證明：∵點C關(guān)于直線PA的對稱點為D，∴PC＝PD，AD＝AC，∠APC＝∠APD．又∵∠ABC＝45°，∠PAB＝15°，∴∠APC＝∠ABC＋∠PAB＝60°，∴∠DPB＝180°－∠DPA－∠APC＝60°．∵BC＝3BP，∴BP＝PC，∴BP＝PD；取PD的中點E，連接BE，則PE＝PB，∴△BPE為等邊三角形，∴BE＝PE＝DE，∴∠DBE＝∠BDE＝∠BEP＝30°．∴∠DBP＝∠DBE＋∠EBP＝90°．又∵AH⊥PC，∴∠AHC＝90°，∴∠DBP＝∠AHC，∴D