高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題十計(jì)數(shù)原理1計(jì)數(shù)原理與排列組合綜合集訓(xùn)含解析新人教A版

PAGEPAGE11專題十計(jì)數(shù)原理備考篇【考情探究】課標(biāo)解讀考情分析備考指導(dǎo)主題內(nèi)容一、計(jì)數(shù)原理、排列、組合1.分類加法計(jì)數(shù)原理,分步乘法計(jì)數(shù)原理(1)理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.(2)會(huì)用兩個(gè)原理分析和解決一些簡單的實(shí)際問題.2.排列與組合(1)理解排列、組合的概念.(2)能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.(3)能解決簡單的實(shí)際問題.1.從近幾年的高考命題情況看,考題難度以中低檔為主,題型以選擇題,填空題的形式出現(xiàn).2.考查內(nèi)容主要體現(xiàn)以下方面:(1)利用排列、組合解決實(shí)際問題或利用排列、組合解決概率有關(guān)問題;(2)利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)求指定項(xiàng)系數(shù)或求二項(xiàng)式系數(shù)問題;(3)利用二項(xiàng)式展開式求二項(xiàng)式系數(shù)最值問題或求系數(shù)最值問題,常以這些內(nèi)容為考查重點(diǎn),同時(shí)關(guān)注分類討論思想在處理排列、組合問題中的應(yīng)用.1.在處理排列、組合的應(yīng)用問題時(shí),常采用直接法,間接法,在處理二項(xiàng)式問題時(shí)常采用公式法.2.用排列、組合知識(shí)解決計(jì)數(shù)問題時(shí),如果遇到的情況較為復(fù)雜,即分類較多,標(biāo)準(zhǔn)也較多,同時(shí)所求計(jì)數(shù)的結(jié)果不太容易計(jì)算時(shí),往往利用表格法、樹狀圖法將其所有的可能一一列舉出來,這樣會(huì)更容易得出結(jié)果.3.求解二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)時(shí),即求展開式中的某一項(xiàng),如第n項(xiàng),常數(shù)項(xiàng),有理項(xiàng),字母指數(shù)為某些特殊值的項(xiàng),先準(zhǔn)確寫出通項(xiàng)Tr+1=Cnran-rbr,再把系數(shù)與字母分離出來(注意符號(hào)),最后根據(jù)題目中指定的字母的指數(shù)所具有的特征,4.關(guān)注排列、組合在解決求離散型隨機(jī)變量分布列中的應(yīng)用,能夠在不同背景下抽象的數(shù)學(xué)本質(zhì),強(qiáng)化在知識(shí)的形式過程,知識(shí)的遷移中滲透學(xué)科素養(yǎng).二、二項(xiàng)式定理1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.【真題探秘】命題立意(1)必備知識(shí):計(jì)數(shù)原理與排列、組合.(2)考查能力:邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力.(3)核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)運(yùn)算.解題過程第一步:安排甲場館的志愿者,則甲場館的安排方法有C61=6種,第二步:安排乙場館的志愿者,則乙場館的安排方法有C52=10種,第三步:安排丙場館的志愿者,則丙場館的安排方法有C33=1種.所以共有易錯(cuò)警示對(duì)于排列、組合問題,首先要分析元素是否可重復(fù),其次要分析是排列問題,還是組合問題.知能拓展(1)原理解讀:分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的共同點(diǎn)是把一個(gè)原始事件分解成若干個(gè)事件來完成,兩個(gè)原理的區(qū)別在于一個(gè)與分類有關(guān),一個(gè)與分步有關(guān).這兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是最基本也是最重要的計(jì)數(shù)原理,是解答排列與組合問題,尤其是解答較復(fù)雜的排列與組合問題的基礎(chǔ).(2)方法拓展:解排列問題的主要方法有直接法、優(yōu)先法、捆綁法、插空法、間接法.分配問題有平均分配問題與非平均分配問題.[教師專用題組]1.真題多維細(xì)目表考題涉分題型難度考點(diǎn)考向解題方法核心素養(yǎng)2020新高考Ⅰ,35單項(xiàng)選擇題易排列、組合分配問題直接法數(shù)學(xué)運(yùn)算2020新高考Ⅱ,65單項(xiàng)選擇題易排列、組合分配問題直接法數(shù)學(xué)運(yùn)算2020課標(biāo)Ⅰ理,85選擇題中二項(xiàng)式定理求展開式中指定項(xiàng)的系數(shù)分類討論法數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2020北京,34選擇題易二項(xiàng)式定理求展開式中指定項(xiàng)的系數(shù)公式法數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2020天津,115填空題易二項(xiàng)式定理求展開式中指定項(xiàng)的系數(shù)公式法數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2.命題規(guī)律與探究1.從2020年高考情況來看,考題難度以中低檔為主,主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),分值為5分.2.本專題內(nèi)容在高考試題中以排列組合的綜合應(yīng)用,利用二項(xiàng)式定理求二項(xiàng)式系數(shù)或求指定項(xiàng)系數(shù)為主,考查了學(xué)生處理問題的思維嚴(yán)密性和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.3.在處理排列組合的應(yīng)用問題時(shí),常采用直接法、間接法;在處理二項(xiàng)式問題時(shí)常采用公式法.4.本章重點(diǎn)考查的學(xué)科核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理.3.命題變化與趨勢1.從2020年高考情況來看,考查方式及題目難度與往年變化不大,延續(xù)此前的考試風(fēng)格.2.考查內(nèi)容主要體現(xiàn)在以下方面:①利用排列、組合解決實(shí)際問題,或利用排列、組合解決概率有關(guān)問題.②利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)系數(shù)或求二項(xiàng)式系數(shù)問題.③利用二項(xiàng)式展開式求二項(xiàng)式系數(shù)最值問題或求系數(shù)最值問題.常以這些內(nèi)容為考查重點(diǎn),同時(shí)關(guān)注分類討論思想在處理排列、組合問題中的應(yīng)用.3.加強(qiáng)關(guān)注排列、組合在解決求離散型隨機(jī)變量分布列中的應(yīng)用,能夠在不同背景下抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì).強(qiáng)化在知識(shí)的形成過程、知識(shí)的遷移中滲透學(xué)科素養(yǎng).4.真題典例核心考點(diǎn)(1)排列、組合;(2)分組、分配問題.知識(shí)儲(chǔ)備(1)解排列問題的主要方法:直接法,特殊位置或元素優(yōu)先考慮法、相鄰捆綁法、不相鄰插空法;間接法.(2)分組分配:先分組后分配原則,必須注意是均勻分配還是非均勻分配問題;(3)排列、組合問題中注意適當(dāng)分類后可避免重復(fù)計(jì)數(shù)問題.思路分析(1)這是一個(gè)定向的完全不均勻分配問題;(2)先把6名學(xué)生按人數(shù)分為1、2、3三個(gè)小組,再分別去三個(gè)場館.易錯(cuò)警示本題是一個(gè)完全不均勻分組后再定向分配問題,容易出現(xiàn)分組再分配的錯(cuò)誤.命題規(guī)律分組、分配問題是排列、組合的綜合問題,解題思想是先分組后分配.分組問題屬于“組合”問題,常見的分組方法有三種:①完全均勻分組,每組元素的個(gè)數(shù)都相等;②部分均勻分組,應(yīng)注意不要重復(fù);③完全非均勻分組,這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.§10.1計(jì)數(shù)原理與排列、組合基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)計(jì)數(shù)原理、排列、組合1.已知某公園有4個(gè)門,從一個(gè)門進(jìn),另一個(gè)門出,則不同的走法的種數(shù)為 ()A.16B.13C.12D.10答案C2.滿足a,b∈{-1,0,1,2},且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a,b)的個(gè)數(shù)為 ()A.14B.13C.12D.10答案B3.中國國家隊(duì)在2018俄羅斯世界杯亞洲區(qū)預(yù)選賽12強(qiáng)小組賽中以1比0力克韓國國家隊(duì),賽后有六名隊(duì)員打算排成一排照相,其中隊(duì)長主動(dòng)要求排在排頭或排尾,甲、乙兩人必須相鄰,則滿足要求的排法有 ()A.34種B.48種C.96種D.144種答案C4.某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士共8人組成兩個(gè)醫(yī)療分隊(duì),平均分到甲、乙兩個(gè)村進(jìn)行義務(wù)巡診,其中每個(gè)分隊(duì)都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護(hù)士,則不同的分配方案有 ()A.72種B.36種C.24種D.18種答案B5.用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),則比40000大的偶數(shù)共有 ()A.114個(gè)B.120個(gè)C.96個(gè)D.72個(gè)答案B6.高考結(jié)束后6名同學(xué)游覽某市包括日月湖在內(nèi)的6個(gè)景區(qū),每名同學(xué)任選一個(gè)景區(qū)游覽,則有且只有兩名同學(xué)選擇日月湖景區(qū)的方案有 ()A.A62×A54種B.C.C62×A54種D.答案D7.如圖所示,用五種不同的顏色分別給A、B、C、D四個(gè)區(qū)域涂色,相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,若允許同一種顏色多次使用,則不同的涂色方法共有種.

答案1808.有3女2男共5名志愿者要全部分到3個(gè)社區(qū)去參加志愿服務(wù),每個(gè)社區(qū)1到2人,甲、乙兩名女志愿者需到同一社區(qū),男志愿者到不同社區(qū),則不同的分法種數(shù)為.

答案12[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】1.(2020山西大同開學(xué)學(xué)情調(diào)研,4)從6名大學(xué)生中選出隊(duì)長1人,副隊(duì)長1人,普通隊(duì)員2人,組成4人知識(shí)競賽代表隊(duì),則不同的選法共有 ()A.15種B.180種C.360種D.90種答案B先從6名大學(xué)生中選出隊(duì)長1人,副隊(duì)長1人,再從剩下的4人中選2人,故有A62C42解題關(guān)鍵解決此類問題的關(guān)鍵是判斷問題與順序有沒有關(guān)系.2.(2019陜西漢中二模,10)漢中市2019年油菜花節(jié)在漢臺(tái)區(qū)舉辦,組委會(huì)將甲、乙等6名工作人員分配到兩個(gè)不同的接待處負(fù)責(zé)接待工作,每個(gè)接待處至少2人,則甲、乙兩人不在同一接待處的分配方法共有 ()A.12種B.22種C.28種D.30種答案C將6名工作人員分成A,B兩組,對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的接待處,由題可分兩種情況討論:①甲在A組,組內(nèi)分到其他四人中的1人,2人或3人,則有C41+C42+②甲在B組,組內(nèi)分到其他四人中的1人,2人或3人,則有C41+C42+一共有14+14=28種分法.故選C.解題關(guān)鍵本題考查分類加法計(jì)數(shù)原理,解題的關(guān)鍵是分類列出所有可能情況,屬于一般題.3.(2018四川德陽三校聯(lián)考,7)從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué),物理,化學(xué),生物競賽,其中甲不能參加生物競賽,則不同的參賽方案種數(shù)為 ()A.48B.72C.90D.96答案D根據(jù)題意,從5名學(xué)生中選出4名分別參加競賽,分2種情況討論:①選出的4人中沒有甲,即選出其他4人參賽,有A44=24種情況;②選出的4人中有甲,由于甲不能參加生物競賽,則甲有3種選法,在剩余4人中任選3人參加剩下的三科競賽,有A43=24種選法,則此時(shí)共有3×24=72種選法,故共有24+72=964.(2018廣東中山一中第五次統(tǒng)測,7)從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3個(gè)人擔(dān)任村長助理,則甲、乙至少有1人入選,而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為 ()A.85B.49C.56D.28答案B∵丙沒有入選,∴只需把丙去掉,總的元素個(gè)數(shù)變?yōu)?.∵甲、乙至少有1人入選,∴由條件可分為兩類:一類是甲、乙兩人只選一人,選法有C21·C72=42種;另一類是甲、乙都選,選法有C22·C71=75.一個(gè)旅游景區(qū)的游覽線路如圖所示,某人從P點(diǎn)處進(jìn),Q點(diǎn)處出,沿圖中線路游覽A,B,C三個(gè)景點(diǎn)及沿途風(fēng)景,則不重復(fù)(除交匯點(diǎn)O外)的游覽線路有 ()A.6種B.8種C.12種D.48種答案D從點(diǎn)P處進(jìn)入后,參觀第一個(gè)景點(diǎn)時(shí),有6個(gè)路口可以選擇,從中任選一個(gè),有C61種選法;參觀完第一個(gè)景點(diǎn),參觀第二個(gè)景點(diǎn)時(shí),有4個(gè)路口可以選擇,從中任選一個(gè),有C41種選法;參觀完第二個(gè)景點(diǎn),參觀第三個(gè)景點(diǎn)時(shí),有2個(gè)路口可以選擇,從中任選一個(gè),有C21種選法,則共有C綜合篇【綜合集訓(xùn)】考法一排列、組合問題的解題方法1.(2019重慶萬州二模,6)某中學(xué)某班主任要從7名同學(xué)(其中3男4女)中選出兩名同學(xué),其中一名擔(dān)任班長,另一名擔(dān)任學(xué)習(xí)委員,且這兩名同學(xué)中既有男生又有女生,則不同的安排方法有 ()A.42種B.14種C.12種D.24種答案D2.(多選題)(2021屆山東師大附中模擬)“二進(jìn)制”與我國古代的《易經(jīng)》有著一定的聯(lián)系,該書中有兩類最基本的符號(hào):“——”和“——”,其中“——”在二進(jìn)制中記作“1”,“——”在二進(jìn)制中記作“0”,其變化原理與“逢二進(jìn)一”的法則相通.若從兩類符號(hào)中任取2個(gè)符號(hào)排列,則可以組成的不同的十進(jìn)制數(shù)為 ()A.0B.1C.2D.3答案ABCD3.(2020山東煙臺(tái)期末)為弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”,某夏令營主辦單位計(jì)劃利用暑期開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗(yàn)課程,每周一門,連續(xù)開設(shè)六周.若課程“樂”不排在第一周,課程“御”不排在最后一周,則所有可能的排法種數(shù)為 ()A.216B.480C.504D.624答案C4.(2019甘肅嘉峪關(guān)一中模擬)在高三某班進(jìn)行的演講比賽中,共有5位選手參加,其中3位女生,2位男生,如果2位男生不能連續(xù)出場,且女生甲不能排第一個(gè),那么出場順序的排法種數(shù)為.

答案605.(2020廣東廣州執(zhí)信中學(xué)月考,14)有6張卡片分別寫有數(shù)字1,1,1,2,2,2,從中任取4張,可排出的四位數(shù)有個(gè).

答案14考法二分組分配問題的解題方法6.(2021屆遼寧上學(xué)期測試,7)我國即將進(jìn)入雙航母時(shí)代,航母編隊(duì)的要求是每艘航母配2~3艘驅(qū)逐艦,1~2艘核潛艇.船廠現(xiàn)有5艘驅(qū)逐艦和3艘核潛艇全部用來組建航母編隊(duì),則不同的組建方法種數(shù)為 ()A.30B.60C.90D.120答案D7.(2019廣東肇慶第一次統(tǒng)測,11)將甲、乙、丙、丁、戊共5人分配到A、B、C、D共4所學(xué)校,每所學(xué)校至少一人,且甲不去A學(xué)校,則不同的分配方法有 ()A.72種B.108種C.180種D.360種答案C8.(2019福建廈門一中月考,7)小明和小紅都計(jì)劃在國慶節(jié)的7天假期中到廈門“兩日游”,若他們不同一天出現(xiàn)在廈門,則他們出游的不同方案共有 ()A.16種B.18種C.20種D.24種答案C9.(2021屆浙江高考選考科目9月聯(lián)考,15)某地需要安排人員分別在上午、下午、前半夜、后半夜四個(gè)時(shí)間段值班,要求每班至少含一名民警和一名醫(yī)務(wù)人員,且至少有一名女性,每人值一班.現(xiàn)有民警4人(4男),醫(yī)務(wù)人員6人(5女1男),其中民警甲不排上午,男醫(yī)生不排上午、下午,則不同的安排方法有種.

答案8640[教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法一排列、組合問題的解題方法1.(2018安徽合肥調(diào)研性檢測,9)用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字且大于3000的四位數(shù),這樣的四位數(shù)有 ()A.250個(gè)B.249個(gè)C.48個(gè)D.24個(gè)答案C先考慮四位數(shù)的首位,當(dāng)排數(shù)字4,3時(shí),其他三個(gè)數(shù)位上可從剩余的4個(gè)數(shù)中任選3個(gè)進(jìn)行全排列,得到的四位數(shù)都滿足題設(shè)條件,因此依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得滿足題設(shè)條件的四位數(shù)共有2A43=2×4×3×2=48個(gè),故選2.(2017河南百校聯(lián)考質(zhì)檢,7)甲、乙、丙、丁、戊、己6名同學(xué)站成一排照畢業(yè)相,要求甲不站在兩側(cè),而且乙和丙相鄰、丁和戊相鄰,則不同的站法種數(shù)為 ()A.60B.96C.48D.72答案C第一步:先把乙和丙,丁和戊看作兩個(gè)整體,和己進(jìn)行全排列,共有A33A22A22種站法;第二步:安排甲,因?yàn)榧撞徽驹趦蓚?cè),所以從乙和丙,丁和戊,己之間的兩個(gè)空中任取一個(gè),共有2種站法,所以共有3.(2020吉林延邊二中9月月考,8)某次演出共有6位演員參加,規(guī)定甲只能排在第一個(gè)或最后一個(gè)出場,乙和丙必須排在相鄰的順序出場,則不同的演出順序共有 ()A.24種B.144種C.48種D.96種答案D把乙、丙看作一個(gè)元素,此時(shí)有5個(gè)元素,若甲排第一個(gè),有A44A22=48種情況,若甲排最后一個(gè),有A44A2解題關(guān)鍵本題主要考查排列的應(yīng)用,結(jié)合特殊元素優(yōu)先法以及相鄰問題捆綁法是解決本題的關(guān)鍵.4.(2018福建福州二模,8)福州西湖公園花展期間,安排6位志愿者到4個(gè)展區(qū)提供服務(wù),要求甲、乙兩個(gè)展區(qū)各安排一個(gè)人,剩下兩個(gè)展區(qū)各安排兩個(gè)人,不同的安排方案共有 ()A.90種B.180種C.270種D.360種答案B根據(jù)題意,分3步進(jìn)行分析:①在6位志愿者中任選1位,安排到甲展區(qū),有C61=6種情況;②在剩下的5位志愿者中任選1位,安排到乙展區(qū),有C51=5種情況;③將剩下的4位志愿者平均分成2組,然后安排到剩下的2個(gè)展區(qū),有C42C22A25.(2018豫北名校聯(lián)考,9)2018年元旦假期,某校高三的8名同學(xué)準(zhǔn)備拼車去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各兩名.8名同學(xué)分乘甲、乙兩輛汽車,每車限坐4名同學(xué)(乘同一輛車的4名同學(xué)不考慮位置),其中(1)班兩位同學(xué)是孿生姐妹,需乘同一輛車,則乘坐甲車的4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)是來自同一個(gè)班的乘坐方式共有 ()A.18種B.24種C.48種D.36種答案B由題意,有兩類:第一類,(1)班的2名同學(xué)在甲車上,甲車上剩下2名同學(xué)要來自不同的班級(jí),從3個(gè)班級(jí)中選2個(gè)班級(jí),有C32=3種情況,然后分別從選擇的班級(jí)中再選擇1名同學(xué),有C21C21=4種情況,故有3×4=12種情況.第二類,(1)班的2名同學(xué)不在甲車上,則從剩下的3個(gè)班級(jí)中選擇1個(gè)班級(jí)的2名同學(xué)坐在甲車上,有C31=3種情況,然后再從剩下的2個(gè)班級(jí)中分別選擇1名同學(xué),有C21C21=46.(2017江西八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)合模擬,13)攝像師要對(duì)已坐定一排照相的5位小朋友的座位順序進(jìn)行調(diào)整,要求其中恰有2人座位不調(diào)整,則不同的調(diào)整方案的種數(shù)為.(用數(shù)字作答)

答案20解析從5人中任選3人有C53種,將3人位置全部進(jìn)行調(diào)整,有C21·C11·C11種,故有C5思路分析先考慮從5人中任選3人的方法數(shù),再考慮3人位置全調(diào)的方法數(shù),進(jìn)而利用分步乘法計(jì)數(shù)原理得結(jié)果.7.(2019北京昌平二模,12)2019年3月2日,昌平“回天”地區(qū)開展了7種不同類型的“三月雷鋒月,回天有我”社會(huì)服務(wù)活動(dòng).其中有2種活動(dòng)既在上午開展、又在下午開展,3種活動(dòng)只在上午開展,2種活動(dòng)只在下午開展.小王參加了兩種不同的活動(dòng),且分別安排在上、下午,那么不同安排方案的種數(shù)是.

答案18解析不同安排方案的種數(shù)為C51C21+8.(2018北京西城一模,13)安排甲、乙、丙、丁4人參加3個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目,每人只參加一個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目都有人參加.若甲、乙2人不能參加同一個(gè)項(xiàng)目,則不