高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題三函數(shù)的概念性質(zhì)與基本初等函數(shù)1函數(shù)的概念綜合篇課件新人教A版

考點清單考點一函數(shù)的有關(guān)概念1.函數(shù)與映射的概念

函數(shù)映射(舊課標)兩集合A、B設(shè)A、B是兩個①非空

數(shù)集設(shè)A、B是兩個非空集合對應(yīng)關(guān)系f:A→B如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的②任意

一個數(shù)x,在集合B中都有③

唯一

確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)如果按照某一個確定的對應(yīng)關(guān)

系f,使對于集合A中的任意一個

元素x,在集合B中都有唯一確定

的元素y與之對應(yīng)名稱稱f:A→B為從集合A到集合B的

一個函數(shù)稱對應(yīng)關(guān)系f:A→B為從集合A到

集合B的一個映射記法y=f(x),x∈A對應(yīng)關(guān)系f:A→B2.函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y=f(x),x∈A中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的④定義域

,與x的值相對應(yīng)的y值叫做⑤函數(shù)值

.函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫

做函數(shù)的⑥值域

.顯然,值域是集合B的⑦子集

.3.函數(shù)的三要素:⑧定義域

、⑨值域

、⑩對應(yīng)關(guān)系

.4.相等函數(shù):如果兩個函數(shù)的定義域相同,且對應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個

函數(shù)相等,這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).考點二函數(shù)的表示方法1.常用的函數(shù)表示法:

解析法

、

列表法

、

圖象法

.2.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的

不同子集

上,因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示,這種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)雖由幾個部分組成,

但它表示的是一個函數(shù).注意(1)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集,其值域等于

各段函數(shù)的值域的并集.(2)分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù),處理分段函數(shù)問題時,首先確定

自變量的取值屬于哪個區(qū)間,再選取相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系,離開定義域討論分段函數(shù)是毫無意義的.知能拓展考法一函數(shù)定義域的求法例1函數(shù)f(x)=

+ln(x+4)的定義域為

.解題導(dǎo)引根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)列不等式組,然后解不等式組求出定義域.解析要使f(x)有意義,則有

∴-4<x≤1,∴函數(shù)f(x)的定義域為(-4,1].答案(-4,1]方法總結(jié)已知函數(shù)的解析式求定義域,解此類題要從使解析式有意義的角度入手.一般來說,在高中范圍內(nèi)涉及的有:(1)開偶次方時被開方數(shù)為非負數(shù);(2)分式的分母不為零;(3)零次冪的底數(shù)不為零;(4)對數(shù)的真數(shù)大于零;(5)指數(shù)、對數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1;(6)實際問題還需要考慮使題目本身有意義.例2已知函數(shù)f(2x+1)的定義域為(0,1),求f(x)的定義域.解題導(dǎo)引函數(shù)f(2x+1)中的自變量是誰?(0,1)是誰的取值范圍?要求f(x)

的定義域是求f(2x+1)中誰的取值范圍?解析∵f(2x+1)的定義域為(0,1),∴0<x<1,∴1<2x+1<3,∴f(x)的定義域是(1,3).1方法總結(jié)求復(fù)合函數(shù)的定義域的題目一般有兩種情況:(1)已知y=f(x)的定義域是A,求y=f[g(x)]的定義域,可由g(x)∈A求出x的范

圍,即為y=f[g(x)]的定義域.(2)已知y=f[g(x)]的定義域是A,求y=f(x)的定義域,可由x∈A求出g(x)的范

圍,即為y=f(x)的定義域.經(jīng)典例題例已知函數(shù)y=f(x)的定義域為(-1,0),則函數(shù)y=f(2x+1)的定義域為

(

)A.(-1,1)

B.

C.(-1,0)

D.

以下為教師用書專用解析由已知得-1<2x+1<0,解得-1<x<-

,所以函數(shù)f(2x+1)的定義域為

,選B.答案

B例求下列函數(shù)的定義域.(1)f(x)=

;(2)f(x)=

+log2(2x-1).解析(1)要使函數(shù)f(x)有意義,則

解得x≥3,因此函數(shù)f(x)的定義域為[3,+∞).(2)要使函數(shù)f(x)有意義,則

解得

<x<1,所以函數(shù)f(x)的定義域為

.考法二函數(shù)解析式的求法例3已知f(

+1)=x+2

,求f(x)的解析式.解題導(dǎo)引解法一:設(shè)t=

+1,解出x=(t-1)2,代入函數(shù)式得f(x)的解析式.解法二:把式子x+2

配湊為關(guān)于

+1的式子結(jié)構(gòu)得f(x)的解析式.解析解法一:設(shè)t=

+1(t≥1),∴x=(t-1)2,∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.∴f(x)=x2-1(x≥1).解法二:∵x+2

=(

)2+2

+1-1=(

+1)2-1,∴f(

+1)=(

+1)2-1,∴f(x)=x2-1(x≥1).方法總結(jié)1.換元法.已知f[h(x)]=g(x),求f(x)時,可設(shè)h(x)=t,從中解出x,代

入g(x)進行換元.應(yīng)用換元法時要注意新元的取值范圍.2.配湊法.已知f[h(x)]=g(x),求f(x)的問題,可把g(x)整理或配湊成只含h(x)的

式子,用x將h(x)代換.例4已知f(x)是一次函數(shù)且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x).解題導(dǎo)引設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),代入3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17得關(guān)于a,b的方

程組,求出a,b的值,得f(x)的解析式.解析設(shè)f(x)=ax+b(a≠0).∵3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,∴3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=2x+17.∴ax+b+5a=2x+17.∴

∴

∴f(x)=2x+7.方法總結(jié)待定系數(shù)法.前提是已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函

數(shù)),比如二次函數(shù)可設(shè)為f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其中a、b、c是待定系數(shù),根

據(jù)題設(shè)條件列出方程組,解出待定系數(shù)即可.例5定義在(-1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函數(shù)f(x)的解析

式.解題導(dǎo)引令x為-x,得關(guān)于f(x),f(-x)的一個方程,從而求出f(x)的解析式.解析

x∈(-1,1)時,有2f(x)-f(-x)=lg(x+1).以-x代x,得2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).聯(lián)立得

解得f(x)=

lg(x+1)+

lg(1-x),x∈(-1,1).方法總結(jié)解方程組法.已知f(x)滿足某個等式,這個等式除f(x)是未知量

外,還有其他未知量,如f

等,必須根據(jù)已知等式構(gòu)造其他等式組成方程組,通過解方程組求出f(x).經(jīng)典例題以下為教師用書專用例(1)已知f(x)是二次函數(shù),若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,試求函數(shù)f(x)的解

析式;(2)已知f

=x3+

,求f(x);(3)已知f

=lgx,求f(x)的解析式;(4)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)+2f(-x)=x-

,求f(x)的解析式;(5)已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.若有且僅有一個實

數(shù)x0,使得f(x0)=x0,求函數(shù)f(x)的解析式.解析(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=0知c=0,所以f(x)=ax2+bx.由f(x+1)=f(x)+x+1,得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,故有

?a=b=

.因此,f(x)=

x2+

x.(2)解法一(配湊法):x3+

=

=

,所以f(x)=x3-3x(x≥2或x≤-2).解法二(換元法):令t=x+

(t≥2或t≤-2),則t2-2=x2+

,x3+

=

=t(t2-3),所以f(t)=t(t2-3),所以f(x)=x3-3x(x≥2或x≤-2).(3)令t=

+1(x>0),則x=

(t>1),∴f(t)=lg

,∴f(x)=lg

(x>1).(4)由f(x)+2f(-x)=x-

得f(-x)+2f(x)=-x+

,則f(x)=-x+

.(5)因為對任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,有且只有一個實數(shù)x0,使得f(x0)=x0,所以對任意x∈R,有f(x)-x2+x=x0.在上式中令x=x0,有f(x0)-

+x0=x0,又因為f(x0)=x0,所以x0-

=0,故x0=0或x0=1.若x0=0,則f(x)-x2+x=0,即f(x)=x2-x,但方程x2-x=x有兩個不同實根,與題設(shè)條件矛盾,故x0≠0;若x0=1,則有f(x)-x2+x=1,即f(x)=x2-x+1,易驗證該函數(shù)滿足題設(shè)條件.綜上,所求函數(shù)解析式為f(x)=x2-x+1.考法三分段函數(shù)問題的解題策略例6已知函數(shù)f(x)=

且f(a)=-3,則f(6-a)=

.解題導(dǎo)引

分類討論a的范圍,求出a的值,得f(6-a)的值.解析當a≤1時,f(a)=2a-2=-3,無解.當a>1時,由f(a)=-log2(a+1)=-3得a+1=8,∴a=7,∴f(6-a)=f(-1)=2-1-2=-

.答案-

方法總結(jié)分段函數(shù)問題的常見題型及解法1.求函數(shù)值.弄清自變量所在區(qū)間,然后代入對應(yīng)的解析式,求“層層套”

的函數(shù)值,要從最內(nèi)層逐層往外計算.2.求函數(shù)最值.分別求出每個區(qū)間上的最值,然后比較大小.3.解不等式.根據(jù)分段函數(shù)中自變量取值范圍的界定,代入相應(yīng)的解析式

求解.4.求參數(shù).“分段處理”,采用代入法列出各區(qū)間上的方程.經(jīng)典例題以下為教師用書專用例已知函數(shù)f(x)=

若f(f(1))>3a2,則a的取值范圍是

.解析由題知,f(1)=2+1=3,f(f(1))=f(3)=32+6a.由f(f(1))>3a2,得9+6a>3a2,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.答案

(-1,3)易錯警示(1)在求分段函數(shù)的函數(shù)值時,一定要注意自變量的值屬于哪

個區(qū)間,再代入相應(yīng)的解析式求解.當自變量的值不確定時,要分類討論.(2)對于分段函數(shù),已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍時,應(yīng)根

據(jù)每一段的解析式分別求解,但要注意檢驗解得的自變量的值或范圍是

否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.例設(shè)函數(shù)g(x)=