知識點(diǎn)33圓的基本性質(zhì)2022

第一批一、選擇題7．（2022·嘉興）如圖，已知⊙O上三點(diǎn)A，B，C，半徑OC＝1，∠ABC＝30°，切線PA交OC延長線于點(diǎn)P，則PA的長為（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】連接OA，因?yàn)椤?ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因?yàn)镻A為切線，所以∠OAP=90°，因?yàn)镺C=1，所以PA=.3.（2022·杭州）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，若PA=3，則PB= （）A．2 【答案】B【解析】因?yàn)镻A和PB與⊙相切，根據(jù)切線長定理，可知：PA=PB=3，故選B．12．（2022·煙臺）如圖，AB是的直徑，直線DE與相切于點(diǎn)C，過點(diǎn)A，B分別作，，垂足為點(diǎn)D，E，連接AC，BC．若，，則的長為（）．A．B．C．D．第12題答圖第12題答圖【答案】D【解題過程】連接OC，因?yàn)?，，所以所以因?yàn)锳B是的直徑，所以，所以，所以，在△ADC與△CED,因?yàn)?，所以△ADC∽△CED,所以在Rt△ACB中，，所以，又因?yàn)椋浴鰽OC是等邊三角形，所以，因?yàn)橹本€DE與相切于點(diǎn)C，所以，因?yàn)椋?，所以ADC.D.【答案】D【解題過程】連接PA、PB、PC,過點(diǎn)P分別作PF⊥AB，PE⊥OC，垂足為F,E.由題意可知：四邊形PFOE為矩形，∴PE＝OF,PF＝OE.∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°.∵PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA＝30°.∵PF⊥AB，∴AF＝BF＝3.∴PE＝OF＝2.∵tan30°＝,cos30°＝，∴PF＝,AP＝.∴OE＝,PC＝.在RT△PEC中，CE＝ ＝，∴OC＝CE＋EO＝＋2.5．（2022·青島）如圈，結(jié)段AB經(jīng)過⊙O的圓心，ACBD分別與⊙O相切于點(diǎn)D.若AC=BD=4,∠A=45°，則圓弧CD的長度為A.π B.2π C.2π π【答案】B【解析】連接CO,DO,因?yàn)锳C,BD分別與⊙O相切于C,D，所以∠ACO=∠DBO=90°,所以∠AOC=∠A=45°,所以CO=AC=4，因?yàn)锳C=BD,CO=DO,所以△ACO≌△BDO,所以∠DOB=∠AOC=45°，所以∠DOC=180°-∠DOB-∠AOC=180°-45°-45°=90°，==2π，故選B.9．（2022·益陽）如圖，PA、PB為圓O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，PO交AB于點(diǎn)C，PO的延長線交圓O于點(diǎn)D，下列結(jié)論不一定成立的是（）A.PA=PBB.∠BPD＝∠⊥平分PD第9題圖【答案】D【解析】∵PA、PB為圓O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，PO交AB于點(diǎn)C，PO的延長線交圓O于點(diǎn)D，∴PA=PB，∠BPD＝∠APD，故A、B正確；∵PA=PB，∠BPD＝∠APD，∴PD⊥AB，PD平分AB，但AB不一定平分PD，故C正確，D錯誤.7．（2022·黃岡）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ǎ?，點(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心，AB＝40m，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，且CD＝10m.則這段彎路所在圓的半徑為（） 【答案】A【解析】連接OD，由垂徑定理可知O，C，D在同一條直線上，OC⊥AB，設(shè)半徑為r，則OC＝OA＝r，AD＝20，OD＝OA－CD＝r－10，在Rt△ADO，由勾股定理知：r2＝202＋(r－10)2，解得r＝25.9．（2022·隴南）如圖，點(diǎn)A，B，S在圓上，若弦AB的長度等于圓半徑的倍，則∠ASB的度數(shù)是（）A．° B．30° C．45° D．60°【答案】C【解析】作AB的垂直平分線，交圓與點(diǎn)C，D，設(shè)圓心為O，CD與AB交于點(diǎn)E，∵AB=OA，∴AE=，∴,∴∠AOE=45°，∴∠AOB=90°，∴∠ASB=45°，故選：C．1.（2022·濱州）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上兩點(diǎn)，若∠BCD＝40°，則∠ABD的大小為（）A．60° B．50° C．40° D．20°【答案】B【解析】如圖，連接AD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所對的圓周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故選B．2.(2022·聊城)如圖,BC是半圓O的直徑,D,E是上兩點(diǎn),連接BD,CE并延長交于點(diǎn)A,連接OD,OE,如果∠A＝70°,那么∠DOE的度數(shù)為° ° ° °【答案】C【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝40°,故選C.3.（2022·濰坊）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，AD=CD．過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．連接AC交DE于點(diǎn)F．若sin∠CAB=，DF=5，則BC的長為（）A．8B．10C．12D．16【答案】C【解析】連接BD．∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD．∵AB為直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD．∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5．在Rt△AEF中，sin∠CAB=∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8．由DE2=AE?EB，得．∴AB=16+4=20．在Rt△ABC中，sin∠CAB=∴BC=12．4.（2022·涼山）下列命題：①直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離；②兩點(diǎn)之間線段最短；③相等的圓心角所對的弧相等；④平分弦的直徑垂直于弦．其中，真命題的個數(shù)（▲）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離；兩點(diǎn)之間線段最短；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等；平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，所以只有①是對的，故選A.5.（2022·眉山）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD．垂足是點(diǎn)E，∠CAO=22．5°，OC=6，則CD的長為 A． B． C．6 D．12【答案】A【解析】∵∠A=°，∴∠COE=45°，∵⊙O的直徑AB垂直于弦CD，OC=6，∴∠CEO=90°，∵∠COE=45°，∴CE=OE=OC＝，∴CD=2CE=，故選D.6（2022·衢州）一塊圓形宣傳標(biāo)志牌如圖所示，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于點(diǎn)D.現(xiàn)測得AB=8dm，DC=2dm，則圓形標(biāo)志牌的半徑為（A） 【答案】B【解析】連接OD，OB，則O，C，D三點(diǎn)在一條直線上，因?yàn)镃D垂直平分AB，AB=8dm，所以BD=4dm,OD=（r-2）dm，由勾股定理得42+（r-2）2=r2，r=5dm，故選B.7.(2022·泰安)如圖,△ABC是O的內(nèi)接三角形,∠A＝119°,過點(diǎn)C的圓的切線交BO于點(diǎn)P,則∠P的度數(shù)為 ° ° ° °【答案】A【解析】連接CO,CF,∵∠A＝119°,∴∠BFC＝61°,∴∠BOC＝122°,∴∠COP＝58°,∵CP與圓相切于點(diǎn)C,∴OC⊥CP,∴在Rt△OCP中,∠P＝90°－∠COP＝32°,故選A.8.910.11.二、填空題7．（2022·嘉興）如圖，已知⊙O上三點(diǎn)A，B，C，半徑OC＝1，∠ABC＝30°，切線PA交OC延長線于點(diǎn)P，則PA的長為（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】連接OA，因?yàn)椤?ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因?yàn)镻A為切線，所以∠OAP=90°，因?yàn)镺C=1，所以PA=.3.（2022·杭州）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，若PA=3，則PB= （）A．2 【答案】B【解析】因?yàn)镻A和PB與⊙相切，根據(jù)切線長定理，可知：PA=PB=3，故選B．12．（2022·煙臺）如圖，AB是的直徑，直線DE與相切于點(diǎn)C，過點(diǎn)A，B分別作，，垂足為點(diǎn)D，E，連接AC，BC．若，，則的長為（）．A．B．C．D．第12題答圖第12題答圖【答案】D【解題過程】連接OC，因?yàn)?，，所以所以因?yàn)锳B是的直徑，所以，所以，所以，在△ADC與△CED,因?yàn)?，所以△ADC∽△CED,所以在Rt△ACB中，，所以，又因?yàn)椋浴鰽OC是等邊三角形，所以，因?yàn)橹本€DE與相切于點(diǎn)C，所以，因?yàn)?，，所以ADC.D.【答案】D【解題過程】連接PA、PB、PC,過點(diǎn)P分別作PF⊥AB，PE⊥OC，垂足為F,E.由題意可知：四邊形PFOE為矩形，∴PE＝OF,PF＝OE.∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°.∵PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA＝30°.∵PF⊥AB，∴AF＝BF＝3.∴PE＝OF＝2.∵tan30°＝,cos30°＝，∴PF＝,AP＝.∴OE＝,PC＝.在RT△PEC中，CE＝ ＝，∴OC＝CE＋EO＝＋2.5．（2022·青島）如圈，結(jié)段AB經(jīng)過⊙O的圓心，ACBD分別與⊙O相切于點(diǎn)D.若AC=BD=4,∠A=45°，則圓弧CD的長度為A.π B.2π C.2π π【答案】B【解析】連接CO,DO,因?yàn)锳C,BD分別與⊙O相切于C,D，所以∠ACO=∠DBO=90°,所以∠AOC=∠A=45°,所以CO=AC=4，因?yàn)锳C=BD,CO=DO,所以△ACO≌△BDO,所以∠DOB=∠AOC=45°，所以∠DOC=180°-∠DOB-∠AOC=180°-45°-45°=90°，==2π，故選B.16．（2022·婁底）如圖（9），C、D兩點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，AB＝2，∠ACD＝30°，則AD＝_____________．【答案】1．【解析】如圖，圖9－1，連結(jié)AD，∵由AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，又∵在⊙O中有∠ACD＝30°,∴∠B＝∠ACD＝30°，∴．17．（2022·衡陽）已知圓的半徑是6，則圓內(nèi)接正三角形的邊長是．【答案】6【解析】如圖，作OD⊥BC于D，∵OB＝6，∠OBD＝30，∴BD＝BC＝3，∴BC＝6，故答案為6．13．（2022·安徽）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為2，則CD的長為.【答案】【解析】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．連接CO并延長交⊙O于E，連接BE，于是得到∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．連接CO并延長交⊙O于E，連接BE，則∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，∵⊙O的半徑為2，∴CE=4，∴BC=CE=2，∵CD⊥AB，∠CBA=45°，∴CD=BC=，故答案為．（2022·株洲）如圖所示，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且OC⊥AB，過點(diǎn)C的弦CD與線段OB相交于點(diǎn)E，滿足∠AEC＝65°，連接AD，則∠BAD＝度．第16題【答案】20°【解析】如圖，連接DO，因?yàn)镃O⊥AB,所以∠COB=90°，∵∠AEC＝65°，∴∠C=25°，∵OD=OC,∴∠ODC=∠C=25°，△DCO中，∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∴2∠BAD=∠DOB,∴∠BAD=20°。1.（2022·涼山州）如圖所示，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，CD=2，則⊙O的半徑是______________．【答案】2【解析】連接OC，則OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°，∵OB⊥CD，CD=2，∴CH=，∴OH=1，∴OC=2.16．(2022·泰州)如圖,⊙O的半徑為5,點(diǎn)P在⊙O上,點(diǎn)A在⊙O內(nèi),且AP＝3,過點(diǎn)A作AP的垂線交于⊙O點(diǎn)B、C.設(shè)PB＝x,PC＝y(tǒng),則y與x的函數(shù)表達(dá)式為________.第16題圖【答案】【解析】過點(diǎn)O作OD⊥PC于點(diǎn)D連接OP,OC,因?yàn)镻C＝y(tǒng),由垂徑定理可得DC＝,因?yàn)镺P＝OC,所以∠COD＝∠POC,由圓周角定理,∠B＝∠POC,所以∠COD＝∠B,所以△COD∽△PBA,,即,整理可得函數(shù)表達(dá)式為:.14．（2022·嘉興）如圖，在⊙O中，弦AB＝1，點(diǎn)C在AB上移動，連結(jié)OC，過點(diǎn)C作CD⊥OC交⊙O于點(diǎn)D，則CD的最大值為．【答案】【解析】連接OD，因?yàn)镃D⊥OC，則有CD=，根據(jù)題意可知圓半徑一定，故當(dāng)OC最小時則有CD最大，故當(dāng)OC⊥AB時CD=BC=最大.14．（2022·鹽城）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E在⊙O上，且弧AB為50°，則∠E＋∠C＝________【答案】155°【解析】如圖，連結(jié)OA、OB、AE，由弧AB為50°可知，∠AOB=50°，又∠AOB和∠AEB分別為弧AB所對的圓心角和圓周角，故,即∠AEB=25°，又四邊形AEDC是O的內(nèi)接四邊形，所以∠ACD+∠AED=180°，又∠AEB=25°，可得∠ACD+∠BED=180°-25°=155°.三、解答題22．（2022浙江省溫州市，22，10分）（本題滿分10分）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)E在BC邊上，且CA=CE，過A，C，E三點(diǎn)的⊙O交AB于另一點(diǎn)F，作直徑AD，連結(jié)DE并延長交AB于點(diǎn)G，連結(jié)CD，CF．（1）求證：四邊形DCFG是平行四邊形；（2）當(dāng)BE=4，CD=AB時，求⊙O的直徑長．【解題過程】（1）連接AE.∵∠BAC=90°，∴CF是⊙O的直徑.∵AC=EC，∴CF⊥AE.∵AD為⊙O的直徑，∴∠AED=90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG.∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB∥CD，∴四邊形DCFG為平行四邊形；（2）由CD=AB，可設(shè)CD=3x,AB=8x，∴CD=FG=3x.∵∠AOF=∠COD，∴AF=CD=3x，∴BG=8x-3x-3x=2x.∵GE∥CF，∴△BGE∽△CDE，∴.又∵BE=4，∴AC=CE=6，∴BC=6+4=10，∴AB==8=8x，∴x=1.在Rt△ACF中，AF=3，AC=6，∴CF==3，即⊙O的直徑長為3.21．（2022年浙江省紹興市，第21題，10分）在屏幕上有如下內(nèi)容：如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，直徑AB的長為2，過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)D.張老師要求添加條件后，編制一道題目，并解答0在屏幕內(nèi)容中添加條件∠D=30°，求AD的長，請你解答.以下是小明，小聰?shù)膶υ挘簠⒖即藢υ?，在屏幕?nèi)容中添加條件，編制一道題目（可以添線、添字母），并解答.【解題過程】24．（2022江蘇鹽城卷，24，10）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，以CD為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)M、N，過點(diǎn)N作NE⊥AB，垂足為E.（2）求證：NE與⊙O相切.21．（2022·山西）閱讀以下材料,并按要求完成相應(yīng)的任務(wù):萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler）是瑞士數(shù)學(xué)家,在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù),公式和定理,下面就是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個定理:在△ABC中,R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑,O和I分別為其外心和內(nèi)心,則.如圖1,O和I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓,I與AB相切于點(diǎn)F,設(shè)O的半徑為R,I的半徑為r,外心O（三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）與內(nèi)心I（三角形三條角平分線的交點(diǎn)）之間的距離OI＝d,則有.下面是該定理的證明過程（部分）:延長AI交O于點(diǎn)D,過點(diǎn)I作O的直徑MN,連接DM,AN.∵∠D＝∠N,∠DMI＝∠NAI（同弧所對的圓周角相等）,∴△MDI∽△ANI.∴.∴.①如圖2,在圖1（隱去MD,AN）的基礎(chǔ)上作O的直徑DE,連接BE,BD,BI,IF.∵DE是O的直徑,∴∠DBE＝90°.∵I與AB相切于點(diǎn)F,∴∠AFI＝90°,∴∠DBE＝∠IFA.∵∠BAD＝∠E（同弧所對的圓周角相等）,∴△AIF∽△EDB.∴.∴.②……任務(wù):（1）觀察發(fā)現(xiàn):IM＝R+r,IN＝_____（用含R,d的代數(shù)式表示）;（2）請判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;（3）請觀察式子①和式子②,并利用任務(wù)（1）,（2）的結(jié)論,按照上面的證明思路,完成該定理證明的剩余部分;（4）應(yīng)用:若△ABC的外接圓的半徑為5cm,內(nèi)切圓的半徑為2cm,則△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為___cm第21題圖【思路分析】（1）MN是直徑,根據(jù)內(nèi)切圓與外接圓半徑與它的關(guān)系得到IN的代數(shù)式（2）由內(nèi)切圓是三角形三條角平分線的交點(diǎn),轉(zhuǎn)化相等的角,再利用同弧所對的圓周角相等轉(zhuǎn)化角,最后得到∠BID＝∠DBI,利用等角對等邊得證（3）由材料得到的結(jié)論及任務(wù)（1）（2）等量代換得線段等積式,從而得證結(jié)論（4）根據(jù)結(jié)論直接應(yīng)用求解.【解題過程】（1）IN＝R－d;BD＝ID.理由如下:∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心,∴∠BAD＝∠CAD,∠CBI＝∠ABI,∵∠DBC＝∠CAD,∠BID＝∠BAD+∠ABI,∠DBI＝∠DBC+∠CBI,∴∠BID＝∠DBI,∴BD＝ID;由（2）知:BD＝ID,∴,又∵,∴,∴,∴,∴;由得,∵d>0,∴.2.（2022·天津）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上，B是小正方形邊的中點(diǎn)，∠ABC=50°，∠BAC=30°，經(jīng)過點(diǎn)A,B的圓的圓心在邊AC上，線段AB的長等于；請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出一個點(diǎn)P，使其滿足∠PAC=∠PBC=∠PCB，并簡要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不需要證明）【答案】（1）（2）如圖，取圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E,F連接EF與AC相交，得圓心O；AB與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)D，連接DO并延長，交O于點(diǎn)Q，連接QC并延長，與點(diǎn)B,O的連線BO相交于點(diǎn)P，連接AP，則點(diǎn)P滿足∠PAC=∠PBC=∠PCB【解析】(1)如圖，Rt△ABD中，AD=2，BD=,由勾股定理可得AB=（2）由于點(diǎn)A在格點(diǎn)上，可得直角，根據(jù)圓周角是直角所對的弦是直徑可以作出直徑，又因?yàn)閳A心在AC上，所以取圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E,F連接EF與AC相交，得圓心O；AB與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，連接DO并延長，根據(jù)垂徑定理可得則DO垂直平分AB，連接BO，則∠OAB=∠OBA=30°，因?yàn)椤螦BC=50°，所以∠OBC=20°，DO的延長線交O于點(diǎn)Q，連接QC并延長，與點(diǎn)B,O的連線BO相交于點(diǎn)P，連接AP，則點(diǎn)P滿足∠PAC=∠PBC=∠PCB.3.（2022·湖州）已知一條弧所對的圓周角的度數(shù)為15°，則它所對的圓心角的度數(shù)是______．【答案】30°．【解析】根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對圓心角的度數(shù)是該弧所對圓周角的度數(shù)的2倍，可知答案為30°．4.(2022·臺州)如圖,AC是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一條對角線,點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E在邊BC上,連接AE,若∠ABC＝64°,則∠BAE的度數(shù)為________.【答案】52°【解析】∵圓內(nèi)接四邊形ABCD,∴∠B+∠D＝180°,∵∠B＝64°,∴∠D＝116°,又∵點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)是點(diǎn)E,∴∠D＝∠AEC＝116°,又∵∠AEC＝∠B+∠BAE,∴∠BAE＝52°.5.67.8.910.11.12.13.14.15.1617.18.1920.21.22.23.24.25.2627.28.2930.31.32.33.34.35.3637.38.39三、解答題26．（2022·蘇州，26，12）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D是弧BC的中點(diǎn)，BC與AD、OD分別交于點(diǎn)E、F．（1）求證：DO∥AC；（2）求證：DE?DA＝DC2；（3）若tan∠CADQUOTE=12，求sin∠CDA的值．第26題圖【解題過程】解：（1）∵點(diǎn)D是中點(diǎn)，OD是圓的半徑，∴OD⊥BC，∵AB是圓的直徑，∴∠ACB＝90°，∴AC∥OD；（2）∵，∴∠CAD＝∠DCB，∴△DCE∽△DCA，∴CD2＝DE?DA；（3）∵tan∠CAD，∴△DCE和△DAC的相似比為，設(shè)：DE＝a，則CD＝2a，AD＝4a，AE＝3a，∴3，即△AEC和△DEF的相似比為3，設(shè)EF＝k，則CE＝3k，BC＝8k，tan∠CAD，∴AC＝6k，AB＝10k，∴sin∠CDA．19．（2022安徽，19題號，10分）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖1，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.如圖2，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓.已知圓心在水面上方，且圓被水面截得的弦AB的長為6米，∠OAB=°.若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最高點(diǎn)（C，O的連線垂直于AB）.求點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離.（參考數(shù)據(jù)：°≈，°≈，°≈）【解題過程】解：連接CO并延長，交AB于點(diǎn)D，所以CD⊥AB，所以D為AB中點(diǎn)，所求運(yùn)行軌道的最高點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離即為線段CD的長.………………2分在Rt△AOD中，∵AD=AB=3，∠OAD=°，∴OD=AD·°≈3×=，OA=≈=4，…………8分∴CD=CO+OD=AO++4=.………………10分答：運(yùn)行軌道的最高點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離約為米.1.(2022·寧波)如圖1,O經(jīng)過等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A,C(圓心O在△ABC內(nèi)),分別與AB,CB的延長線交于點(diǎn)D,E,連接DE,BF⊥EC交AE于點(diǎn)F.(1)求證:BD＝BE;(2)當(dāng)AF:EF＝3:2,AC＝6時,求AE的長;(3)設(shè)＝x,tan∠DAE＝y(tǒng).①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;②如圖2,連接OF,OB,若△AEC的面積是△OFB面積的10倍,求y的值.解：(1)∵△ABC為等邊三角形,∴∠BAC＝∠C＝60°,∠DEB＝∠BAC＝60°,∠D＝∠C＝60°,∠DEB＝∠D,BD＝BE.(2)如圖,過點(diǎn)A作AG⊥EC于點(diǎn)G,∵△ABC為等邊三角形,AC＝6,∴BG＝BC＝AC＝3,在Rt△ABG中,AG＝BG＝,∵BF⊥EC,∴BF∥AG,∴,∵AF:EF＝3:2,∴BE＝BG＝2,∴EG＝BE+BG＝3+2＝5,∴在Rt△AEG中,AE＝;答圖(1)(3)①如圖,過點(diǎn)E作EH⊥AD于點(diǎn)H,∵∠EBD＝∠ABC＝60,在Rt△BEH中,＝sin60＝,EH＝BE,BH＝BE,＝x,BG＝xBE,AB＝BC＝2BG＝2xBE,AH＝AB+BH＝2xBE+BE＝(2x+)BE,Rt△AHE中,tanEAD＝,∴y＝;答圖(2)②如圖,過點(diǎn)O作OM⊥EC于點(diǎn)M,設(shè)BE＝a,∵＝x,∴CG＝BG＝xBE＝ax,∴EC＝CG+BG+BE＝a+2ax,∴EM＝EC＝a+ax,∴BM＝EM－BE＝ax－a,∵BF∥AG,∴△EBF∽△EGA,∴,∵AG＝BG＝ax,∴BF＝AG＝,△OFB的面積＝,△AEC的面積＝,∵△OFB的面積是△AEC的面積的10倍,∴＝,∴2x2－7x+6＝0,解之,得x1＝2,x2＝,y＝或.答圖(3)2.（2022·自貢）如圖，⊙O中，弦AB與CD相交于點(diǎn)E，AB=CD，連接AD、BC，求證：（1）AD=BC；（2）AE解：（1）連接AO，BO，CO，DO,∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOD=∠BOC，∴AD（2）∵AD∴AD=BC，∵AC∴∠ADC=∠ABC，又∵∠AED=∠CEB，∴△ADE≌△CBE，∴AE=CE.3.（2022·攀枝花）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，2），動點(diǎn)P在y＝x的圖象上運(yùn)動（不與O重合），連接AP，過點(diǎn)P作PQ⊥AP，交x軸于點(diǎn)Q，連接AQ。（1）求線段AP長度的取值范圍；（2）試問：點(diǎn)P運(yùn)動過程中，∠QAP是否為定值？如果是，求出該值；如果不是，請說明理由。（3）當(dāng)△OPQ為等腰三角形時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).解：（1）作AH⊥OP，則AP≥AH．∵點(diǎn)P在y＝x的圖象上，∴∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°．∵A（0，2），∴AH＝AO·sin60°＝．∴AP≥．（2）∠QAP是定值．法一：（共圓法）①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限的線段OH的延長線上時，由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得∠APQ＋∠AOQ＝180°，∴P、Q、O、A四點(diǎn)共圓∴∠PAQ＝∠POQ＝30°．②當(dāng)點(diǎn)P在第一象限的線段OH上時，由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得P、O、Q、A四點(diǎn)共圓∴∠PAQ＋∠POQ＝180°，又∵∠POQ＝150°，∴∠PAQ＝180°－∠POQ＝30°．③當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時，特殊角的三角函數(shù)值；由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得Q、P、O、A四點(diǎn)共圓∴∠PAQ＝∠POQ＝30°．法二：（相似法）①當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時，由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得△BPQ∽△BOA．∴∴△QBA∽△PBO．∴∠PAQ＝∠POQ＝30°，②當(dāng)點(diǎn)P在第一象限且點(diǎn)B在AP延長線上時，由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得∠BPQ＝∠BOA＝90°，∴△BPQ∽△BOA．∴∴△BPO∽△BQA．∴∠PAQ＝∠POB＝30°．③當(dāng)點(diǎn)P在第一象限且點(diǎn)B在PA延長線上時，由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得∠BPQ＝∠BOA＝90°，∴△BPQ∽△BOA．∴∴△BPO∽△BQA．∠PAQ＝∠POQ＝30°．（3）設(shè)P（m，m），Q（a，0），∵OA2＋OQ2＝AP2＋PQ2∴22＋a2＝m2＋(m－2)2＋(a－m)2＋(m)2整理，得a＝.∴Q（，0）.∴OP2＝m2，OQ2＝m2－m＋.PQ2＝m2－m＋.①當(dāng)OP＝OQ時，則m2＝m2－m＋整理,得m2－4m＋3＝0，解得m＝2±3．∴Q1(2＋4,0)，Q2(2－4,0)．②當(dāng)PO＝PQ時，則m2＝m2－m＋整理得：2m2＋m－3＝0，解得解得m＝，或m＝－.當(dāng)m＝時，Q點(diǎn)與O重合，舍去，∴m＝－.∴Q3(－2,0).③當(dāng)QO＝QP時，則m2－m＋＝m2－m＋整理，得m2－m＝0.解得m＝∴Q4(,0).綜上，當(dāng)△OPQ為等腰三角形時，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q1(2＋4,0)，Q2(2－4,0)，Q3(－2,0)，Q4(,0).4.（2022·濟(jì)寧）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D是弧AC的中點(diǎn)，E為OD延長線上一點(diǎn)，∠CAE＝2∠C，AC與BD交于點(diǎn)H，與OE交于點(diǎn)F．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）若DH＝9，tanC＝，求直徑AB的長．DCDCHAEOBF解：∵D是弧AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD∴∠DAC＝∠C∵∠CAE＝∠EAD＋∠DAC，∠CAE＝2∠C，∴∠EAD＝∠C，∵∠C＝∠B，∴∠B＝∠EAD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠B＝90°，∴∠EAD＋∠DAB＝90°，∴∠EAO＝90°，∴AE是⊙O的切線；在△ADH中∠ADH＝90°，DH＝9，∠DAH＝∠C，∴tan∠DAH＝，∴，∴AD＝12，在△BAD中∠ADB＝90°，AD＝12，∴tan∠B＝tan∠C＝，∴tan∠B＝，∴BD＝16，∵∠ADB＝90°，∴AB＝．5.（2022·無錫）如圖1，在矩形中，BC=3，動點(diǎn)從出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿射線方向移動，作關(guān)于直線的對稱，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為.（1）若AB=2，①如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在AC上時，顯然△PC是直角三角形，求此時t的值；②是否存在異于圖2的時刻，使得△PC是直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合題意的t的值？若不存在，請說明理由；（2）當(dāng)P點(diǎn)不與C點(diǎn)重合時，若直線P與直線CD相交于點(diǎn)M，且當(dāng)t＜3時存在某一時刻有結(jié)論∠PAM=45°成立，試探究：對于t＞3的任意時刻，結(jié)論∠PAM=45°是否總是成立？請說明理由.圖1圖2備用第28題圖解：（1）①∵∠B=90°，∴AC=，∵∠CP=∠CBA=90°，∠CP=∠BCA，∴△CP∽△CBA，，故，解得.由軸對稱可得PB=，∴t=；②由已知可得PB=P=t，PC=3-t，DA=BC=3，AB=A=2，分三種情況：1°如圖，當(dāng)∠PC=90°時，由勾股定理得D=，∴C=，在△PC中，PC2+C2=P2，∴()2+(3-t)2=t2，解得t=2.②③④第28題答圖2°如圖，當(dāng)∠PC=90°時，由勾股定理得D=，∴C=3，在△PC中PC2+C2=P2，(3)2+(t-3)2=t2，解得t=6.3°當(dāng)∠CP=90°時，易證四邊形ABP為正方形，P=AB=2，∴t=2；如圖④，四邊形ABCD為正方形，t>3時，∵AB=A=AD，AM=AM，Rt△MDA≌Rt△AM（HL），∴∠DAM=∠AM，由軸對稱可得∠PAB=∠PA=2∠DAM+∠PAD，∴∠PAB+∠PAD=2∠DAM+2∠PAD=90°，∴∠PAM=∠DAM+∠PAD=45°.6（2022·懷化）如圖，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分點(diǎn)，連接AC、CE、EB、BD、DA，得到一個五角星圖形和五邊形MNFGH.計算∠CAD的度數(shù)；連接AE，證明：AE=ME；求證：ME2=BM·BE.解：（1）解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分點(diǎn)，∴∠COD==72°，∴∠CAD=∠COD=36°.同理可得∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°.（2）∵∠AEB=∠BDA，∠DAE=∠EBD，又∵∠CAD=∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°，∴∠MAE=72°，∠AEB=36°，∴∠MAE=∠AME=72°，∴AE=ME.（3）連接AB.由（2）可知∠NAE=∠AEN=36°，∠ABE=∠AEB=36°，AB=AE∴△ABE∽△NAE，△ABM≌△EAN，∴，AN=BM，∴AB·AE=BE·AN，∵AE=ME，∴ME2=BM·BE..7.8.910.11.12.13.14.15.1617.18.1920.21.22.23.24.25.2627.28.2930.31.32.33.34.35.3637.38.39第二批一、選擇題9．（2022·福建）如圖，PA、PB是⊙O切線，A、B為切點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，且∠ACB＝55°，則∠APB等于（）A．55°B．70°C．110°D．125°(第(第9題)【答案】B【解析】連接OA、OB，∵PA、PB是⊙O切線，A、B為切點(diǎn)，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝2∠ACB＝110°，∴∠APB＝360°－110°－90°－90°＝70°．【知識點(diǎn)】圓周角定理；切線的性質(zhì)；四邊形內(nèi)角和；6．（2022·蘭州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠A=40°，則∠C=（） A.110° ° ° °【答案】D【解析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=40°，∴∠C=140°，故選D.【知識點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)9（2022·武威）如圖，點(diǎn)，，在圓上，若弦的長度等于圓半徑的倍，則的度數(shù)是A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓心為，連接、，如圖，∵弦的長度等于圓半徑的倍，即，∴，∴為等腰直角三角形，，∴，故選C．【知識點(diǎn)】圓周角定理12.（2022·宜昌）如圖，點(diǎn)A，B，C均在⊙O上，當(dāng)∠OBC＝40°時，∠A的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．65°【答案】A【解析】∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠A=12∠故選：A．【知識點(diǎn)】圓周角定理6（2022·菏澤）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的兩點(diǎn)，且BC平分∠ABD，AD分別與BC，OC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD【答案】C【解析】∵AB是⊙O的直徑，BC平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，選項(xiàng)A成立；∴AD⊥OC，選項(xiàng)B成立；∴AF＝FD，選項(xiàng)D成立；∵△CEF和△BED中，沒有相等的邊，∴△CEF與△BED不全等，選項(xiàng)C不成立，故選C．【知識點(diǎn)】圓周角定理8.（2022·甘肅）如圖，是的直徑，點(diǎn)、是圓上兩點(diǎn)，且，則A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵，∴，∴，故選C．【知識點(diǎn)】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)9（2022·天水）如圖，四邊形ABCD是菱形，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A、C、D，與BC相交于點(diǎn)E，連接AC、AE．若∠D＝80°，則∠EAC的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】C【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB=12∠DCB=1∵四邊形AECD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠AEB＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，故選：C．【知識點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；圓周角定理二、填空題13.（2022·連云港）如圖，點(diǎn)、、在上，，，則的半徑為．【答案】6【解析】解：，又，是等邊三角形，故答案為6．【知識點(diǎn)】圓周角定理14.（2022·南京）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，點(diǎn)C、D在⊙O上．若∠P＝102°，則∠A+∠C＝．【答案】219°【解析】解：連接AB，∵PA、PB是⊙O的切線，∴PA＝PB，∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA=1∵∠DAB+∠C＝180°，∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°，故答案為：219°．【知識點(diǎn)】圓周角定理；切線的性質(zhì)16.（2022·遵義）如圖，已知O的半徑為1，AB，AC是O的兩條弦，且AB=AC，延長BO交AC于點(diǎn)D，連接OA,OC，若,則OD=【答案】【解析】∵AB=AC，∴,∴D為AC的黃金分割點(diǎn)，∴∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB,∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABO=∠ACO,由于AB=AC,AO=AO,∴△BAO≌△CAO，∴∠BAO=∠DA0∴∵AB=AC∴∴，∴OD=【知識點(diǎn)】等邊對等角，三角形相似，黃金分割，三角形內(nèi)角平分線定理15.（2022·宜賓）如圖，的兩條相交弦、，，，則的面積是．【答案】【解析】，而，，為等邊三角形，，圓的半徑為4，的面積是，故答案為：．【知識點(diǎn)】圓周角定理12．（2022·隨州）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，點(diǎn)C在優(yōu)弧上，若∠OBA＝50°，則∠C的度數(shù)為．【答案】40°【解析】∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝50°，∴∠AOB＝180°－∠OAB－∠OBA＝80°，∴∠C＝∠AOB＝20°．【知識點(diǎn)】等腰三角形性質(zhì)；圓的有關(guān)性質(zhì)16（2022·鄂州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知C（3，4），以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切．點(diǎn)A、B在x軸上，且OA＝OB．點(diǎn)P為⊙C上的動點(diǎn)，∠APB＝90°，則AB長度的最大值為．【答案】16【解析】連接OC并延長，交⊙C上一點(diǎn)P，以O(shè)為圓心，以O(shè)P為半徑作⊙O，交x軸于A、B，此時AB的長度最大，∵C（3，4），∴OC=3∵以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切．∴⊙C的半徑為3，∴OP＝OA＝OB＝8，∵AB是直徑，∴∠APB＝90°，∴AB長度的最大值為16，故答案為16．【知識點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；圓周角定理；切線的性質(zhì)三、解答題22.（2022·南京）如圖，⊙O的弦AB、CD的延長線相交于點(diǎn)P，且AB＝CD．求證：PA＝PC．【思路分析】連接AC，由圓心角、弧、弦的關(guān)系得出AB=CD，進(jìn)而得出【解題過程】解：連接AC，∵AB＝CD，∴AB=∴AB+BD=∴∠C＝∠A，∴PA＝PC．【知識點(diǎn)】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)24．（2022·福建）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足為E，點(diǎn)F在BD的延長線上，且DF=DC，連接AF、CF.(1)求證：∠BAC=2∠DAC；(2)若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值.【思路分析】（1）由AC⊥BD，在Rt△AED中根據(jù)兩個銳角互余，得∠CAD與∠ADE的關(guān)系；AB＝AC，在等腰△ABC中得∠BAC與底角∠ACB關(guān)系；再結(jié)合同弧所對圓周角相等，得∠ADE＝∠ACB，整理即可得出結(jié)論；（2）由DF=DC，得外角∠BDC與∠CFD關(guān)系，再結(jié)合∠BAC=2∠DAC與同弧所對圓周角相等得CF=BC，知CA垂直平分BF，求出AB與AC的長度，根據(jù)勾股定理列方程分別求出AE、CE、BE，再利用△ADE∽△BCE，求出AD、DE，作△ABD中AB邊上的高DH，利用面積法求出DH，及AH的值，即可利用正切定義求值.【解題過程】證明：(1)∵AC⊥BD，∴∠AED=90°，在Rt△AED中，∠ADE=90°－∠CAD，∵AB＝AC，∴＝，∴∠BAC＝180°－(∠ABC－∠ACB)＝180°－2(90°－∠CAD)，即∠BAC＝2∠CAD；解：(2)∵DF=DC，∴∠FCD=∠CFD，∴∠BDC=∠FCD＋∠CFD=2∠CFD，∵∠BDC＝∠BAC，由（1）得∠BAC＝2∠CAD，∴∠CFD=∠CAD，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CFD=∠CBD，∴CF＝CB，∵AC⊥BD，∴BE＝EF，故CA垂直平分BF，∴AC＝AB＝AF＝10，設(shè)AE＝x，則CE＝10－x，在Rt△ABE和Rt△BCE中，AB2－AE2=BE2=BC2－CE2，又∵BC＝4，∴102－x2=(4)－(10－x)2，解得x=6，∴AE＝6，CE＝4，∴BE＝=8，∵∠DAE＝∠CBE，∠ADE＝∠BCE，∴△ADE∽△BCE，∴＝＝，∴DE＝3，AD＝3，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H.∵S△ABD＝AB·DH＝BD·AE，BD＝BE＋DE＝11，10DH＝11×6，∴DH＝，在Rt△ADH中，AH＝＝，∴tan∠BAD＝.【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)與判定；圓的有關(guān)性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)與判定；直角三角形的性質(zhì)17．（2022·河南）如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB為直徑的半圓O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是上不與點(diǎn)B,D重合的任意一點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F，連接BE并延長交AC于點(diǎn)C.⑴求證：△ADF≌△BDG；⑵填空：①若AB=4，且點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則DF的長為；②取的中點(diǎn)H，當(dāng)∠EAB的度數(shù)為時，四邊形OBEH為菱形.【思路分析】⑴首先根據(jù)在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，判定△ABC是等腰直角三角形，得到∠CAB＝45°，再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得到△ABD是等腰直角三角形，從而DA=DB，又因?yàn)椤螩AE與∠DBG對著同一條弧DE，得到∠CAE=∠DBG，根據(jù)ASA可以判定△ADF≌△BDG.⑵①DF=4-2；②30°.①由△ADF≌△BDG得到DG=DF.由點(diǎn)E是的中點(diǎn)，得到∠CAE=∠BAE.根據(jù)AB為直徑，可得∠AEB=∠AEG=90°，又AE=AE，得到△AEG≌△AEB，從而得到AG=AB=4.再根據(jù)△ABD是等腰直角三角形，可得AD=2，所以DF=DG=AG-AD=4-2.②連接OE，因?yàn)樗倪呅蜲BEH為菱形，所以BE=BO.因?yàn)镺B，OE都是半徑，所以O(shè)B=OE，推得△OBE是等邊三角形，所以∠ABE=60°.又AB是直徑，所以∠AEB=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得∠EAB=30°.【解題過程】解：∵在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝45°.∵AB為直徑，∴∠ADB＝∠BDG＝90°.∴△ABD是等腰直角三角形，∴DA=DB.∵∠CAE與∠DBG同弧，∴∠CAE=∠DBG，∴△ADF≌△BDG.⑵①∵△ADF≌△BDG，∴DG=DF.∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴∠CAE=∠BAE.∵AB為直徑，∴∠AEB=∠AEG=90°.又AE=AE，∴△AEG≌△AEB，∴AG=AB=4.∵△ABD是等腰直角三角形，∴AD=2，∴DF=DG=AG-AD=4-2.②連接OE，∵四邊形OBEH為菱形，∴BE=BO.∵OB=OE，∴△OBE是等邊三角形，∴∠ABE=60°.∵AB是直徑，∴∠AEB=90°，∴∠EAB=30°.【知識點(diǎn)】圓的性質(zhì)，三角形全等的判定，等腰直角三角形，等腰三角形，菱形25.（2022·河北）如圖1和圖2，□ABCD中，AB=3，BC＝15，tan∠DAB＝.點(diǎn)P為AB延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙O切CP于點(diǎn)P，設(shè)BP＝x.(1)如圖1，x為何值時，圓心O落在AP上?若此時⊙O交AD于點(diǎn)E，直接指出PE與BC的位置關(guān)系；(2)當(dāng)x＝4時，如圖2，⊙O與AC交于點(diǎn)Q，求∠CAP的度數(shù)，并通過計算比較弦AP與劣弧PQ長度的大小；(3)當(dāng)⊙O與線段AD只有一個公共點(diǎn)時，直接寫出x的取值范圍.第25題圖1第25題圖2第25題備用圖【思路分析】（1）若圓心O落在AP上，則有∠BPC=∠DAB，∠BPC=90°，然后利用三角函數(shù)求出x的值；最后利用直徑和平行四邊形的性質(zhì)證明PE與BC的位置關(guān)系；（2）作CM⊥AP于點(diǎn)M，利用三角函數(shù)求出CM、BM的長度，再使用三角函數(shù)求∠CAP；然后使用垂徑定理求出半徑，再比較大小；（3）當(dāng)⊙O與線段AD只有一個公共點(diǎn)時，x≥18.【解題過程】（1）∵圓心O落在AP上，∴AP為⊙O的直徑，∴∠BEP=90°，∴PE⊥AD.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BPC=∠DAB，BC∥AD，∴PE⊥BC.∵作⊙O切CP于點(diǎn)P，∴∠BPC=90°，∵tan∠DAB＝，設(shè)BP＝x，∴PC=BP·tan∠DAB＝x，又∵BC＝15，∴，解得x=9，即當(dāng)x=9時，圓心O落在AP上.此時PE⊥BC.（2）如圖所示，作CM⊥AP于點(diǎn)M，∵tan∠CBP=tan∠DAB＝，BC=15，∴BM=9，CM=12，∴AM=AB+BM=3+9=12=CM，∴∠CAP=45°.∵AB=3，BP=4，∴AP=AB+BP=3+4=7.作垂直于AP的直徑EF于點(diǎn)G，連接OP、FP，則∠FGP=90°，∠F=∠CAP=45°，AG=PG=，∴FG=PG=，∴OG=OG-FG=OP-FG=OP-，∴，解得OP=，∴劣弧PQ長度為=.∵＜7，∴弦AP大于劣弧PQ長度.（3）當(dāng)⊙O與線段AD只有一個公共點(diǎn)時，x≥18.【知識點(diǎn)】圓周角定理及推論、平行四邊形的性質(zhì)、垂直的定義、銳角三角函數(shù)、勾股定理、一元二次方程的解法、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、垂徑定理、圓的周長公式、弧長公式、實(shí)數(shù)的大小比較23.（2022·綿陽）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)，CF為⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足為E，連接BD交CF于點(diǎn)G，連接CD，AD，BF．（1）求證：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的長．【思路分析】（1）根據(jù)AAS證明：△BFG≌△CDG；（2）如圖，作輔助線，構(gòu)建角平分線和全等三角形，證明Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），得AE＝AH，再證明Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），得DH＝BE＝2，計算AE和AB的長，證明△BEC∽△BCA，列比例式可得BC的長，就是BF的長．【解題過程】證明：（1）∵C是BC的中點(diǎn)，∴CD=∵AB是⊙O的直徑，且CF⊥AB，∴BC=∴CD=BF，∴CD＝在△BFG和△CDG中，∵∠F=∠CDG∠FGB=∠DGCBF=CD，∴△BFG≌△CDG（（2）如圖，過C作CH⊥AD于H，連接AC、BC，∵CD=BC，∴∠HAC＝∠∵CE⊥AB，∴CH＝CE，∵AC＝AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE＝AH，∵CH＝CE，CD＝CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），∴DH＝BE＝2，∴AE＝AH＝2+2＝4，∴AB＝4+2＝6，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BEC＝90°，∵∠EBC＝∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴BCAB=BEBC，∴BC2＝AB?BE＝6×2＝12，∴BF＝【知識點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系25.（2022·綿陽）如圖，在以點(diǎn)O為中心的正方形ABCD中，AD＝4，連接AC，動點(diǎn)E從點(diǎn)O出發(fā)沿O→C以每秒1個單位長度的速度勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)C停止．在運(yùn)動過程中，△ADE的外接圓交AB于點(diǎn)F，連接DF交AC于點(diǎn)G，連接EF，將△EFG沿EF翻折，得到△EFH．（1）求證：△DEF是等腰直角三角形；（2）當(dāng)點(diǎn)H恰好落在線段BC上時，求EH的長；（3）設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動的時間為t秒，△EFG的面積為S，求S關(guān)于時間t的關(guān)系式．【思路分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得∠DAC＝∠CAB＝45°，根據(jù)圓周角定理得∠FDE＝∠DFE＝45°，則結(jié)論得證；（2）設(shè)OE＝t，連接OD，證明△DOE∽△DAF可得AF=2t，證明△AEF∽△ADG可得AG=42t22+t，可表示EG的長，由AF∥CD得比例線段（3）由（2）知EG=t2+822+t，過點(diǎn)F作FK⊥【解題過程】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠CAB＝45°，∴∠FDE＝∠CAB，∠DFE＝∠DAC，∴∠FDE＝∠DFE＝45°，∴∠DEF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形；（2）設(shè)OE＝t，連接OD，∴∠DOE＝∠DAF＝90°，∵∠OED＝∠DFA，∴△DOE∽△DAF，∴OEAF∴AF=2t又∵∠AEF＝∠ADG，∠EAF＝∠DAG，∴△AEF∽△ADG，∴AEAD∴AG?AE=AD?AF=42又∵AE＝OA+OE＝22+t∴AG=4∴EG＝AE﹣AG=t當(dāng)點(diǎn)H恰好落在線段BC上∠DFH＝∠DFE+∠HFE＝45°+45°＝90°，∴△ADF∽△BFH，∴FHFD∵AF∥CD，∴FGDG∴FGDF∴4-2解得：t1=10-2，t∴EG＝EH=t（3）過點(diǎn)F作FK⊥AC于點(diǎn)K，由（2）得EG=t∵DE＝EF，∠DEF＝90°，∴∠DEO＝∠EFK，∴△DOE≌△EKF（AAS），∴FK＝OE＝t，∴S△EFG=【知識點(diǎn)】四邊形綜合題；圓周角定理；相似三角形的判定和性質(zhì)；等腰直角三角形的性質(zhì)；三角形的面積23.（2022·宜昌）已知：在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的點(diǎn)，過點(diǎn)F作EF的垂線交DC于點(diǎn)H，以EF為直徑作半圓O．（1）填空：點(diǎn)A（填“在”或“不在”）⊙O上；當(dāng)AE=AF時，tan∠（2）如圖1，在△EFH中，當(dāng)FE＝FH時，求證：AD＝AE+DH；（3）如圖2，當(dāng)△EFH的頂點(diǎn)F是邊AD的中點(diǎn)時，求證：EH＝AE+DH；（4）如圖3，點(diǎn)M在線段FH的延長線上，若FM＝FE，連接EM交DC于點(diǎn)N，連接FN，當(dāng)AE＝AD時，F(xiàn)N＝4，HN＝3，求tan∠AEF的值．【思路分析】（1）連接AO，∠EAF＝90°，O為EF中點(diǎn)，所以AO=12EF，因此點(diǎn)A在⊙O上，當(dāng)AE=AF時，∠（2）證明△AEF≌△DFH，得到AF＝DH，AE＝DF，所以AD＝AF+DF＝AE+DH；（3）延長EF交HD的延長線于點(diǎn)G，先證明△AEF≌△DGF（ASA），所以AE＝DG，EF＝FG，因?yàn)镋F⊥FG，所以EH＝GH，GH＝DH+DG＝DH+AE，即EH＝AE+DH；（4）過點(diǎn)M作MQ⊥AD于點(diǎn)Q．設(shè)AF＝x，AE＝a，所以△EFM為等腰直角三角形，∠FEM＝∠FMN＝45°，因此△AEF≌△QFM（ASA），AE＝EQ＝a，AF＝QM，AE＝AD，AF＝DQ＝QM由△FEN～△HMN，得到MNEN=HN【解題過程】解：（1）連接AO，∵∠EAF＝90°，O為EF中點(diǎn)，∴AO=12∴點(diǎn)A在⊙O上，當(dāng)AE=AF時，∠∴tan∠AEF＝tan45°＝1，故答案為：在，1；（2）∵EF⊥FH，∴∠EFH＝90°，在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AFE+∠DFH＝90°，∴∠AEF＝∠DFH，又FE＝FH，∴△AEF≌△DFH（AAS），∴AF＝DH，AE＝DF，∴AD＝AF+DF＝AE+DH；（3）延長EF交HD的延長線于點(diǎn)G，∵F分別是邊AD上的中點(diǎn)，∴AF＝DF，∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，∴△AEF≌△DGF（ASA），∴AE＝DG，EF＝FG，∵EF⊥FG，∴EH＝GH，∴GH＝DH+DG＝DH+AE，∴EH＝AE+DH；（4）過點(diǎn)M作MQ⊥AD于點(diǎn)Q．設(shè)AF＝x，AE＝a，∵FM＝FEEF⊥FH，∴△EFM為等腰直角三角形，∴∠FEM＝∠FMN＝45°，∵FM＝FE，∠A＝∠MQF＝90°，∠AEF＝∠MFQ，∴△AEF≌△QFM（ASA），∴AE＝EQ＝a，AF＝QM，∵AE＝AD，∴AF＝DQ＝QM＝x，∵DC∥QM，∴DQFQ∵DC∥AB∥QM，∴MNEN∴MNEN∵FE＝FM，∴MNEN∠FEM＝∠FMN＝45°，∴△FEN～△HMN，∴MNEN∴tan∠AEF=AF【知識點(diǎn)】圓的綜合知識；相似三角形的判定與性質(zhì)第三批選擇題10．（2022·襄陽）如圖，AD是⊙O的直徑，BC是弦，四邊形OBCD是平行四邊形，AC與OB相交于點(diǎn)P，下列結(jié)論錯誤的是()A．AP＝2OPB．CD＝2OPC．OB⊥ACD．AC平分OB答案：A解析：本題考查了“直徑所對的圓周角是直角”，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形中位線等知識.∵AD是直徑，∴∠ACD=90°，∵四邊形OBCD是平行四邊形，∴CD∥OB，CD=OB，∴∠CPO=90°，即OB⊥AC，選項(xiàng)C正確；又∵O是AD的中點(diǎn)，∴OP是△ACD的中位線，∴CD=2OP，∴選項(xiàng)B正確；∴CD=OB=2OP，即P是OB的中點(diǎn)，∴AC平分OB，選項(xiàng)D正確；AP與OP數(shù)量關(guān)系無從得出，選項(xiàng)A錯誤24.（2022·臺灣）如圖表示、、、四點(diǎn)在上的位置，其中，且，．若阿超在上取一點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使得，則下列敘述何者正確？A．點(diǎn)在上，且 B．點(diǎn)在上，且 C．點(diǎn)在上，且 D．點(diǎn)在上，且【答案】B【解析】解：連接，，，，且，，，在圓周上取一點(diǎn)連接，，，，取的中點(diǎn)，連接，則，，點(diǎn)在上，且，故選：B．【知識點(diǎn)】圓心角，弧，弦的關(guān)系；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理11.（2022·梧州）如圖，在半徑為的中，弦與交于點(diǎn)，，，，則的長是A． B． C． D．【答案】C【解析】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，于，連接、，如圖所示：則，，，在中，，，是等腰直角三角形，，，，，，在中，，；故選：C．【知識點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理；直角三角形的性質(zhì)6．（2022·柳州）如圖，A、B、C、D是圓上的點(diǎn)，則圖中與∠A相等的角是（）A．∠BB．∠CC．∠DEBD．∠D【答案】D【解析】：∵∠A與∠D都是弧BC所對的圓周角，∴∠D=∠A．故選：D．【知識點(diǎn)】圓周角定理15.（2022·鎮(zhèn)江）如圖，四邊形是半圓的內(nèi)接四邊形，是直徑，．若，則的度數(shù)等于A． B． C． D．【答案】A【解析】連接，四邊形是半圓的內(nèi)接四邊形，，，，是直徑，，，故選：．【知識點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（2022·吉林）如圖，在⊙O中，弧AB所對的圓周角∠ACB=50°，若P為弧AB上一點(diǎn)，∠AOP=55°，則∠POB的度數(shù)為（）(A)30°(B)45°(C)55°(D)60°【答案】B【解析】根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半可知，∠AOB=2∠ACB=110°，因?yàn)椤螦OP=55°，所以∠POB的度數(shù)為45°，故選B【知識點(diǎn)】同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系10.（2022·赤峰）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，∠ADC＝30°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】D【解析】如圖，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，∴AC=∴∠AOC＝∠BOC＝60°．故選：D．【知識點(diǎn)】垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理11.（2022·瀘州）如圖，等腰△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AB＝AC＝5，BC＝6，則DE的長是（）A．31010 B．3105 C．【答案】D【解析】連接OA、OE、OB，OB交DE于H，如圖，∵等腰△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∴點(diǎn)A、O、E共線，即AE⊥BC，∴BE＝CE＝3，在Rt△ABE中，AE=5∵BD＝BE＝3，∴AD＝2，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD＝OE＝r，AO＝4﹣r，在Rt△AOD中，r2+22＝（4﹣r）2，解得r=3在Rt△BOE中，OB=3∵BE＝BD，OE＝OD，∴OB垂直平分DE，∴DH＝EH，OB⊥DE，∵12HE?OB=12OE?BE，∴HE=OE?BEOB=3×3【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；垂徑定理；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心第8題圖8．（2022·安順）如圖，半徑為3的⊙A經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)C（0，2），B是y軸左側(cè)⊙A優(yōu)弧上的一點(diǎn)，則tan∠OBC＝（）第8題圖A． B．2 C． D．【答案】D【解析】作直徑CD，在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，則OD＝4，cos∠CDO＝＝，由圓周角定理得，∠OBC＝∠CDO，則cos∠OBC＝，故選D．【知識點(diǎn)】圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．二、填空題16．（2022·常州）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點(diǎn)，∠AOC＝120°，則∠CDB＝__________°．第16題圖第16題圖【答案】30【解析】本題考查了圓周角定理，∵AB是⊙O的直徑，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝60°．∴∠CDB＝30°．因此本題答案為30．【知識點(diǎn)】圓周角定理16.(2022·東營)如圖，AC是⊙O的弦，AC=5，點(diǎn)B是⊙O上的一個動點(diǎn)，且∠ABC=45°，若點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，則MN的最大值是.第16題圖答案：解析：本題考查了圓的有個性質(zhì)以及三角形中位線定義，因?yàn)楫?dāng)MN最大時，AB也最大，此時AB為⊙O的直徑，那么△ABC為等腰直角三角形，由銳角三角函數(shù)或勾股定理，求得AB=AC=5．因?yàn)辄c(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，那么由三角形中位線定理，求得MN=AB=.15．（2022·雅安）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，∠CBD=21°，則∠A的度數(shù)為___________.【答案】69°【解析】∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD=90°，∵∠CBD=21°，∴∠D=69°，∴∠A=∠D=69°，故答案為69°．【知識點(diǎn)】圓周角定理6．（2022·龍東地區(qū)）如圖，在⊙O中，半徑OA垂直于弦BC，點(diǎn)D在圓上，且∠ADC＝30°，則∠AOB的度數(shù)為________．【答案】60°.【解析】∵OA⊥BC，∴，∴∠AOB＝2∠ADC,∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°.【知識點(diǎn)】垂徑定理；圓周角與圓心角關(guān)系定理三、解答題第25題圖25．（2022·安順）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC，AC分別交于D，E兩點(diǎn)，過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H．第25題圖（1）判斷DH與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求證：點(diǎn)H為CE的中點(diǎn)；（3）若BC＝10，cosC＝，求AE的長．（1）解：DH與⊙O相切．理由如下：連結(jié)OD、AD，如圖，∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，第25題答圖∵AB＝AC，∴BD＝CD，第25題答圖而AO＝BO，∴OD為△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH為⊙O的切線； 4分（2）證明：連結(jié)DE，如圖，∵四邊形ABDE為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠DEC＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∵DH⊥CE，∴CH＝EH，即H為CE的中點(diǎn)； 8分（3）解：在Rt△ADC中，CD＝BC＝5，∵co