2023版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十一章統(tǒng)計與統(tǒng)計案例11.3變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例教師用書理新人教版

PAGEPAGE17第十一章統(tǒng)計與統(tǒng)計案例11.3變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例教師用書理新人教版1．兩個變量的線性相關(guān)(1)正相關(guān)在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)．(2)負相關(guān)在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負相關(guān)．(3)線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．2．回歸方程(1)最小二乘法求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．(2)回歸方程方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是待定參數(shù)．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x).))3．回歸分析(1)定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法．(2)樣本點的中心對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))稱為樣本點的中心．(3)相關(guān)系數(shù)當(dāng)r>0時，說明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時，說明兩個變量負相關(guān)．r的絕對值越接近于1，說明兩個變量的線性相關(guān)性越強．r的絕對值越接近于0，說明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性．4．獨立性檢驗(1)分類變量：變量的不同“值〞表示個體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量．(2)列聯(lián)表：列出兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為2×2列聯(lián)表y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d構(gòu)造一個隨機變量K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．(3)獨立性檢驗利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系〞的方法稱為獨立性檢驗．【思考辨析】判斷以下結(jié)論是否正確(請在括號中打“√〞或“×〞)(1)相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系都是一種確定性的關(guān)系，也是一種因果關(guān)系．(×)(2)“名師出高徒〞可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系．(√)(3)只有兩個變量有相關(guān)關(guān)系，所得到的回歸模型才有預(yù)測價值．(√)(4)某同學(xué)研究賣出的熱飲杯數(shù)y與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，得回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－2.352x＋147.767，那么氣溫為2℃時，一定可賣出143杯熱飲．(×)(5)事件X，Y關(guān)系越密切，那么由觀測數(shù)據(jù)計算得到的K2的觀測值越大．(√)(6)由獨立性檢驗可知，有99%的把握認為物理成績優(yōu)秀與數(shù)學(xué)成績有關(guān)，某人數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，那么他有99%的可能物理優(yōu)秀．(×)1．(2022·湖北)變量x和y滿足關(guān)系eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)．以下結(jié)論中正確的選項是()A．x與y正相關(guān)，x與z負相關(guān)B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負相關(guān)，x與z負相關(guān)D．x與y負相關(guān)，x與z正相關(guān)答案C解析因為eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.1x＋1，－0.1<0，所以x與y負相關(guān)．又y與z正相關(guān)，故可設(shè)eq\o(z,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))y＋eq\o(a,\s\up6(^))(eq\o(b,\s\up6(^))>0)，所以eq\o(z,\s\up6(^))＝－0.1eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(b,\s\up6(^))＋eq\o(a,\s\up6(^))，－0.1eq\o(b,\s\up6(^))<0，所以x與z負相關(guān)．應(yīng)選C.2．(教材改編)下面是2×2列聯(lián)表：那么表中a，b的值分別為()y1y2合計x1a2173x2222547合計b46120A．94,72B．52,50C．52,74D．74,52答案C解析∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.3．(2022·河南八市質(zhì)檢)為了研究某大型超市當(dāng)天銷售額與開業(yè)天數(shù)的關(guān)系，隨機抽取了5天，其當(dāng)天銷售額與開業(yè)天數(shù)的數(shù)據(jù)如下表所示：開業(yè)天數(shù)x1020304050當(dāng)天銷售額y/萬元62758189根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求得y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9，由于表中有一個數(shù)據(jù)模糊看不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為()A．67B．68C．68.3D．71答案B解析設(shè)表中模糊看不清的數(shù)據(jù)為m，因為eq\x\to(x)＝eq\f(10＋20＋30＋40＋50,5)＝30，又樣本中心點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9上，所以eq\x\to(y)＝eq\f(m＋307,5)＝0.67×30＋54.9，得m＝68，應(yīng)選B.4．(2022·湖南三校聯(lián)考)某產(chǎn)品在某零售攤位的零售價x(單位：元)與每天的銷售量y(單位：個)的統(tǒng)計資料如下表所示：x16171819y50344131由上表可得線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝－4，據(jù)此模型預(yù)測零售價為15元時，每天的銷售量為()A．51個B．50個C．49個D．48個答案C解析由題意知eq\x\to(x)＝17.5，eq\x\to(y)＝39，代入線性回歸方程得eq\o(a,\s\up6(^))＝109,109－15×4＝49，應(yīng)選C.5．(2022·玉溪一中月考)利用獨立性檢驗來判斷兩個分類變量X和Y是否有關(guān)系，通過查閱下表來確定“X和Y有關(guān)系〞的可信度．為了調(diào)查用電腦時間與視力下降是否有關(guān)系，現(xiàn)從某地網(wǎng)民中抽取100位居民進行調(diào)查．經(jīng)過計算得K2≈3.855，那么就有________%的把握認為用電腦時間與視力下降有關(guān)系.P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828答案95解析根據(jù)表格發(fā)現(xiàn)3.855>3.841,3.841對應(yīng)的是0.05，所以根據(jù)獨立性檢驗原理可知有95%的把握認為用電腦時間與視力下降有關(guān)系.題型一相關(guān)關(guān)系的判斷例1(1)四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得線性回歸方程，分別得到以下四個結(jié)論：①y與x負相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝2.347x－6.423；②y與x負相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.476x＋5.648；③y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝5.437x＋8.493；④y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝－4.326x－4.578.其中一定不正確的結(jié)論的序號是()A．①② B．②③C．③④ D．①④(2)x和y的散點圖如下圖，那么以下說法中所有正確命題的序號為________．①x，y是負相關(guān)關(guān)系；②在該相關(guān)關(guān)系中，假設(shè)用y＝c1擬合時的相關(guān)系數(shù)的平方為req\o\al(2,1)，用eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))擬合時的相關(guān)系數(shù)的平方為req\o\al(2,2)，那么req\o\al(2,1)>req\o\al(2,2)；③x、y之間不能建立線性回歸方程．答案(1)D(2)①②解析(1)由線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))知當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))>0時，y與x正相關(guān)，當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))<0時，y與x負相關(guān)，∴①④一定錯誤．(2)①顯然正確；由散點圖知，用y＝c1擬合的效果比用eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))擬合的效果要好，故②正確；x，y之間能建立線性回歸方程，只不過預(yù)報精度不高，故③不正確．思維升華判定兩個變量正、負相關(guān)性的方法(1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關(guān)；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負相關(guān)．(2)相關(guān)系數(shù)：r>0時，正相關(guān)；r<0時，負相關(guān)．(3)線性回歸方程中：eq\o(b,\s\up6(^))>0時，正相關(guān)；eq\o(b,\s\up6(^))<0時，負相關(guān)．(1)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，假設(shè)所有樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，那么這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A．－1B．0C.eq\f(1,2)D．1(2)變量X與Y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，那么()A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1答案(1)D(2)C解析(1)所有點均在直線上，那么樣本相關(guān)系數(shù)最大，即為1，應(yīng)選D.(2)對于變量Y與X而言，Y隨X的增大而增大，故Y與X正相關(guān)，即r1＞0；對于變量V與U而言，V隨U的增大而減小，故V與U負相關(guān)，即r2＜0，應(yīng)選C.題型二線性回歸分析例2(2022·全國丙卷)以下圖是我國2022年至2022年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖．注：年份代碼17分別對應(yīng)年份2022－2022.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2022年我國生活垃圾無害化處理量．附注：參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,7,y)i＝9.32，eq\i\su(i＝1,7,t)iyi＝40.17，eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).解(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得eq\x\to(t)＝4，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))2＝28,eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝0.55.eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝eq\i\su(i＝1,7,t)iyi－eq\x\to(t)eq\i\su(i＝1,7,y)i＝40.17－4×9.32＝2.89，所以r≈eq\f(2.89,0.55×2×2.646)≈0.99.因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系．(2)由eq\x\to(y)＝eq\f(9.32,7)≈1.331及(1)得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f(2.89,28)≈0.103，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y關(guān)于t的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10t.將2022年對應(yīng)的t＝9代入回歸方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以預(yù)測2022年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.82億噸．思維升華線性回歸分析問題的類型及解題方法(1)求線性回歸方程①利用公式，求出回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^)).②待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點的中心求系數(shù)．(2)利用回歸方程進行預(yù)測，把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值．(3)利用回歸直線判斷正、負相關(guān)；決定正相關(guān)還是負相關(guān)的是系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^)).(4)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關(guān)性越強．(2022·課標全國Ⅰ)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))2eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))·(yi－eq\x\to(y))46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi)，eq\x\to(w)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,w)i.(1)根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果答復(fù)以下問題：①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(u).解(1)由散點圖可以判斷，y＝c＋deq\r(x)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)·yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\x\to(w)＝563－68×6.8＝100.6，所以y關(guān)于w的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，因此y關(guān)于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(x).(3)①由(2)知，當(dāng)x＝49時，年銷售量y的預(yù)報值eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6，年利潤z的預(yù)報值eq\o(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32.②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值eq\o(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68eq\r(x))－x＝－x＋13.6eq\r(x)＋20.12.所以當(dāng)eq\r(x)＝eq\f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24時，eq\o(z,\s\up6(^))取得最大值．故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預(yù)報值最大．題型三獨立性檢驗例3(2022·福建廈門三中模擬)某大型企業(yè)人力資源部為了研究企業(yè)員工工作積極性和對待企業(yè)改革的關(guān)系，隨機抽取了100名員工進行調(diào)查，其中支持企業(yè)改革的調(diào)查者中，工作積極的有46人，工作一般的有35人，而不太贊成企業(yè)改革的調(diào)查者中，工作積極的有4人，工作一般的有15人．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表；(2)對于人力資源部的研究工程，根據(jù)以上數(shù)據(jù)是否可以認為企業(yè)的全體員工對待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性有關(guān)系？參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d)P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)根據(jù)題設(shè)條件，得2×2列聯(lián)表如下：支持企業(yè)改革不太贊成企業(yè)改革總計工作積極46450工作一般351550總計8119100(2)提出假設(shè)：企業(yè)的全體員工對待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性無關(guān)．根據(jù)(1)中的數(shù)據(jù)，可以求得K2＝eq\f(100×15×46－35×42,50×50×19×81)≈7.862>6.635，所以有99%的把握認為抽樣員工對待企業(yè)改革的態(tài)度與工作積極性有關(guān)，從而認為企業(yè)的全體員工對待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性有關(guān)．思維升華(1)比擬幾個分類變量有關(guān)聯(lián)的可能性大小的方法①通過計算K2的大小判斷：K2越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大．②通過計算|ad－bc|的大小判斷：|ad－bc|越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大．(2)獨立性檢驗的一般步驟①根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．②根據(jù)公式K2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)計算K2的觀測值k.③比擬k與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計推斷．(2022·衡陽聯(lián)考)2022年9月20日是第28個全國愛牙日，為了迎接此節(jié)日，某地區(qū)衛(wèi)生部門成立了調(diào)查小組，調(diào)查“常吃零食與患齲齒的關(guān)系〞，對該地區(qū)小學(xué)六年級800名學(xué)生進行檢查，按患齲齒和不患齲齒分類，并匯總數(shù)據(jù)：不常吃零食且不患齲齒的學(xué)生有60名，常吃零食但不患齲齒的學(xué)生有100名，不常吃零食但患齲齒的學(xué)生有140名．(1)能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為該地區(qū)學(xué)生常吃零食與患齲齒有關(guān)系？(2)4名衛(wèi)生部門的工作人員隨機分成兩組，每組2人，一組負責(zé)數(shù)據(jù)收集，另一組負責(zé)數(shù)據(jù)處理，求工作人員甲分到收集數(shù)據(jù)組，工作人員乙分到處理數(shù)據(jù)組的概率．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(K2≥k0)0.0100.0050.001k06.6357.87910.828解(1)由題意可得2×2列聯(lián)表如下：不常吃零食常吃零食總計不患齲齒60100160患齲齒140500640總計200600800根據(jù)2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得K2的觀測值為k＝eq\f(800×60×500－100×1402,160×640×200×600)≈16.667>10.828.∴能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為該地區(qū)學(xué)生常吃零食與患齲齒有關(guān)系．(2)設(shè)其他工作人員為丙和丁，4人分組的所有情況如下表.小組123456收集數(shù)據(jù)甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁處理數(shù)據(jù)丙丁乙丁乙丙甲丁甲丙甲乙由表可知，分組的情況共有6種，工作人員甲負責(zé)收集數(shù)據(jù)且工作人員乙負責(zé)處理數(shù)據(jù)的有2種，故工作人員甲分到收集數(shù)據(jù)組，工作人員乙分到處理數(shù)據(jù)組的概率為P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).24．求線性回歸方程的方法技巧典例(12分)某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是局部統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份20222022202220222022需求量/萬噸236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)利用(1)中所求出的線性回歸方程預(yù)測該地2022年的糧食需求量．思想方法指導(dǎo)回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法．主要解決：(1)確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學(xué)表達式；(2)根據(jù)一組觀測值，預(yù)測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢；(3)求出線性回歸方程．標準解答解(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間近似直線上升，下面來求線性回歸方程，先將數(shù)據(jù)處理如下表.年份－2022－4－2024需求－257－21－1101929對處理的數(shù)據(jù)，容易算得eq\x\to(x)＝0，eq\x\to(y)＝3.2，[4分]eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29－5×0×3.2,－42＋－22＋22＋42－5×02)＝eq\f(260,40)＝6.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝3.2.[6分]由上述計算結(jié)果，知所求線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))－257＝6.5(x－2022)＋3.2，即eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5(x－2022)＋260.2.[8分](2)利用所求得的線性回歸方程，可預(yù)測2022年的糧食需求量大約為6.5×(2022－2022)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(萬噸)．[12分]1．(2022·衡水質(zhì)檢)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y滿足一組數(shù)據(jù)如下表所示．假設(shè)y與x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝3x－eq\f(3,2)，那么m的值是()x0123y－11m8A.4B.eq\f(9,2)C．5D．6答案A解析由得eq\x\to(x)＝eq\f(3,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(m,4)＋2，又因為點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在直線eq\o(y,\s\up6(^))＝3x－eq\f(3,2)上，所以eq\f(m,4)＋2＝3×eq\f(3,2)－eq\f(3,2)，得m＝4.2．(2022·武漢質(zhì)檢)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，那么()A.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))>0 B.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))<0C.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))>0 D.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))<0答案B解析作出散點圖如下：觀察圖象可知，回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率eq\o(b,\s\up6(^))<0，當(dāng)x＝0時，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))>0.故eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))<0.3．(2022·泰安月考)為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學(xué)從理工類專業(yè)的A班和文史類專業(yè)的B班各抽取20名同學(xué)參加環(huán)保知識測試．統(tǒng)計得到成績與專業(yè)的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計A班14620B班71320總計211940附：參考公式及數(shù)據(jù)：(1)統(tǒng)計量：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(n＝a＋b＋c＋d)．(2)獨立性檢驗的臨界值表：P(K2≥k0)0.0500.010k03.8416.635那么以下說法正確的選項是()A．有99%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關(guān)B．有99%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)無關(guān)C．有95%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關(guān)D．有95%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)無關(guān)答案C解析因為K2＝eq\f(40×14×13－7×62,20×20×21×19)≈4.912，3．841<K2<6.635，所以有95%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關(guān)．4．x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，假設(shè)某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，那么以下結(jié)論正確的選項是()A.eq\o(b,\s\up6(^))>b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′ B.eq\o(b,\s\up6(^))>b′，eq\o(a,\s\up6(^))<a′C.eq\o(b,\s\up6(^))<b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′ D.eq\o(b,\s\up6(^))<b′，eq\o(a,\s\up6(^))<a′答案C解析b′＝2，a′＝－2，由公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,6,)xi－\x\to(x)2)，求得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(5,7)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝eq\f(13,6)－eq\f(5,7)×eq\f(7,2)＝－eq\f(1,3)，∴eq\o(b,\s\up6(^))<b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′.5．有甲、乙兩個班級進行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30合計附：P(K2≥k0)0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為eq\f(2,7)，那么以下說法正確的選項是()A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，假設(shè)按97.5%的可靠性要求，能認為“成績與班級有關(guān)系〞D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，假設(shè)按97.5%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關(guān)系〞答案C解析由題意知，成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是30，成績非優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是75，所以c＝20，b＝45，選項A、B錯誤．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2＝eq\f(105×10×30－20×452,55×50×30×75)≈6.109>5.024，因此有97.5%的把握認為“成績與班級有關(guān)系〞．6．(2022·合肥二模)某市居民2022～2022年家庭年平均收入x(單位：萬元)與年平均支出y(單位：萬元)的統(tǒng)計資料如下表所示：年份20222022202220222022收入x11.512.11313.315支出y6.88.89.81012根據(jù)統(tǒng)計資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是______，家庭年平均收入與年平均支出有________相關(guān)關(guān)系．(填“正〞或“負〞)答案13正解析中位數(shù)是13.由相關(guān)性知識，根據(jù)統(tǒng)計資料可以看出，當(dāng)年平均收入增多時，年平均支出也增多，因此兩者之間具有正相關(guān)關(guān)系．7．以下四個命題，其中正確的序號是________．①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每20分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②兩個隨機變量相關(guān)性越強，那么相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1；③在線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x＋12中，當(dāng)解釋變量x每增加一個單位時，預(yù)報變量eq\o(y,\s\up6(^))平均增加0.2個單位；④對分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k來說，k越小，“X與Y有關(guān)系〞的把握程度越大．答案②③解析①是系統(tǒng)抽樣；對于④，隨機變量K2的觀測值k越小，說明兩個相關(guān)變量有關(guān)系的把握程度越小．8．(2022·長春模擬)在一次考試中，5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤恚?學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績具有線性相關(guān)關(guān)系)學(xué)生的編號i12345數(shù)學(xué)成績x8075706560物理成績y7066686462現(xiàn)其線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.36x＋eq\o(a,\s\up6(^))，那么根據(jù)此線性回歸方程估計數(shù)學(xué)得90分的同學(xué)的物理成績?yōu)開_____(四舍五入到整數(shù))．答案73解析eq\x\to(x)＝eq\f(60＋65＋70＋75＋80,5)＝70，eq\x\to(y)＝eq\f(62＋64＋66＋68＋70,5)＝66，所以66＝0.36×70＋eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))＝40.8，即線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.36x＋40.8.當(dāng)x＝90時，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.36×90＋40.8＝73.2≈73.9．某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品．從兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件，量其內(nèi)徑尺寸，得結(jié)果如下表：甲廠：分組[29.86，29.90)[29.90，29.94)[29.94，29.98)[29.98，30.02)[30.02，30.06)[30.06，30.10