陜西省中考數(shù)學(xué)歷年（2016-2022年）真題分類匯編專題 圓

陜西省中考數(shù)學(xué)歷年（2016-2022年）真題分類匯編專題圓

一、單選題（共6題；共12分）

1.（2分）（2020?陜西）如圖，AABC內(nèi)接于。O,/人=50。石是邊BC的中點(diǎn)，連接OE并延長,

交。O于點(diǎn)D,連接BD,則ND的大小為（）

A.55°B.65°C.60°D.75°

【答案】B

【解析】【解答】解：連接CD,

D

VZA=50°,

AZCDB=180°-NA=130。,

?.?E是邊BC的中點(diǎn)，

AODIBC,

；.BD=CD,

.\ZODB=ZODC=1ZBDC=65°,

故答案為：B.

【分析】連接CD,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到NCDB=180。-NA=130。，根據(jù)垂徑定理得到

OD1BC,求得BD=CD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

2.（2分）（2016?陜西）如圖，。。的半徑為4,△ABC是。O的內(nèi)接三角形，連接OB、OC.若

/BAC與NBOC互補(bǔ)，則弦BC的長為（）

【答案】B

【解析】【解答】解：過點(diǎn)O作ODLBC于D,

則BC=2BD,

ABC內(nèi)接于。O,NBAC與NBOC互補(bǔ)，

ZB0C=2ZA,ZB0C+ZA=180°,

.\ZBOC=120o,

VOB=OC,

ZOBC=ZOCB=A(180°-ZBOC)=30°,

的半徑為4,

BD=OB?cosZOBC=4x孚=2百，

ABC=4V3.

故選：B.

【分析】首先過點(diǎn)O作ODLBC于D,由垂徑定理可得BC=2BD,又由圓周角定理，可求得/BOC

的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得NOBC的度數(shù)，利用余弦函數(shù)，即可求得答案.此題考

查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識.注意掌握輔助線的作法，注

意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

3.（2分）（2022陜西）如圖，△ABC內(nèi)接于。0,4=46°,連接。4則Z0AB=（)

【答案】A

【解二析】【解答】解：連接0B,如圖，

VZC=46°,

.?.ZAOB=2ZC=92°,

...ZOAB+ZOBA=180o-92°=88°,

VOA=OB,

.\ZOAB=ZOBA,

ZOAB=ZOBA=lx88°=44°.

故答案為：A.

【分析】連接OB,由圓周角定理得NAOB=2NC=92。,結(jié)合內(nèi)角和定理可得NOAB+NOBA=88。，

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得/OAB=NOBA,據(jù)此計(jì)算

4.（2分）（2019?陜西）如圖，AB是。。的直徑，EF,EB是。0的弦，且EF=EB,EF與AB交于

點(diǎn)C,連接OF,若NAOF=40。，則NF的度數(shù)是（）

R

A.20°B.35°C.40°D.55°

【答案】B

【解析】【解答】解：連接FB,

貝UZFOB=1800-ZAOF=180°-40°=140°,

.\ZFEB=ZFOB=70°,

VFO=BO,

，ZOFB=ZOBF=(180°-ZFOB)-?2=20°,

VEF=EB,

NEFB=NEBF=(180°-/FEB)+2=55°,

/EFO=ZEBF-ZOFB=55°-20°=35°,

故答案為：B?

【分析】連接FB,根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得出NFOB=18()o-NAOF=140。，根據(jù)同弧所對的圓周角等于

圓心角的一半得出/FEB=1ZFOB=70°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出NOFB=NOBF=20。，

ZEFB=ZEBF=55°,最后根據(jù)NEFO=/EBF-NOFB即可算出答案。

5.(2分)(2018?陜西)如圖，△ABC是。O的內(nèi)接三角形，AB=AC,NBCA=65。，作CD〃AB,

并與。O相交于點(diǎn)D,連接BD,則NDBC的大小為()

A.15°B.35°C.25°D.45°

【答案】A

【解析】【解答】：AB=AC,，NABC=NACB=65。，AZA=1800-ZABC-ZACB=50°,

VDC//AB,AZACD=ZA=50°,

又〈ND=NA=50。，

AZDBC=180°-ZD-ZBCD=180°-50°-（65°+50°）=15°,

故答案為：A.

【分析】根據(jù)等邊對等角得出NABC=NACB=65。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出NA的度數(shù)，根據(jù)二直

線平行，內(nèi)錯角相等得出NACD=NA,根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出ND=NA,根據(jù)三角形的內(nèi)

角和即可得出答案。

6.（2分）（2017?陜西）如圖，△ABC是。O的內(nèi)接三角形，NO30。，。。的半徑為5,若點(diǎn)P是

OO上的一點(diǎn)，在4ABP中，PB=AB,則PA的長為（）

VZC=30°,

AZAPB=ZC=30°,

VPB=AB,

/.ZPAB=ZAPB=30°

AZABP=120°,

VPB=AB,

AOB1AP,AD=PD,

AZOBP=ZOBA=60°,

VOB=OA,

???△AOB是等邊三角形,

AAB=OA=5,

則RtAPBD中，PD=cos30°?PB=亭x5=零,

AP=2PD=5V3>

故答案為：D.

【分析】連接OA、OB、OP,由等腰三角形性質(zhì)得出NAPB=NC=30。；再由PB=AB得出

ZPAB=ZAPB=30°；由三角形內(nèi)角和得出NABP=120。，由等腰三角形的性質(zhì)得出OBJ_AP,

AD=PD,由等邊三角形的判定得出△AOB是等邊三角形，在RSPBD中，由銳角三角函數(shù)得出

PD=cos30°?PB從而求出AP.

二、填空題（共3題；共3分）

7.（1分）（2017?淮安）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若/A,ZB,/C的度數(shù)之比為4：3：

5,則ND的度數(shù)是°.

【解析】【解答】：/人，ZB,NC的度數(shù)之比為4：3：5,

.,.設(shè)NA=4x,則NB=3x,NC=5x.

???四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

AZA+ZC=180°,即4x+5x=180°,解得x=20。,

NB=3x=60°,

1,.ZD=180°-60°=120°.

故答案為：120.

【分析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)對角互補(bǔ)，即NA+NC=180。，求出每一份x,進(jìn)而求出

NB=3x=60。，最后求出ND=180°-60°=120°.

8.（1分）（2021?陜西）如圖，正方形ABCD的邊長為4,00的半徑為1.若。。在正方形

ABCD內(nèi)平移（O0可以與該正方形的邊相切），則點(diǎn)A到。。上的點(diǎn)的距離的最大值

為.

【答案】3V2+1

【解析】【解答】解：由題意得當(dāng)。0與BC、CD相切時，切點(diǎn)分別為F、G,點(diǎn)A至上的

點(diǎn)的距離取得最大，如圖所示:

乙OFC=90°

連接AC,OF,AC交。。于點(diǎn)E,此時AE的長即為點(diǎn)A到。。上的點(diǎn)的距離為最大，如圖所

示，

:四邊形ABCD是正方形，且邊長為4,

：.AB=BC=4,Z.ACB=45°,

△OFC是等腰直角三角形，AC=46，

VQ0的半徑為1，

：.0F=FC=1,

/.0C=V2,

-'-AO=AC-0C=3^2,

.".AE=AO+0E=3y/2+l,

即點(diǎn)A到。0上的點(diǎn)的距離的最大值為3a+1;

故答案為3a+1.

【分析】當(dāng)。O與CB、CD相切時，切點(diǎn)分別為F、G,點(diǎn)A到。。上的點(diǎn)的距離取得最大，連接

AC,OF,AC交。。于點(diǎn)E,此時AE的長即為點(diǎn)A到。。上的點(diǎn)的距離為最大；根據(jù)切線的性質(zhì)

得到OE=OF,由正方形的性質(zhì)可得△OFC是等腰直角三角形，用勾股定理可求得AC的值，由線

段的構(gòu)成AO=AAC-OC可求得AO的值，則AE=AO+OE可求解.

9.（1分）△ABC中，NC為直角，AB=2,貝U這個三角形的外接圓半徑為.

【答案】1

【解析】【解答】解：:△ABC中，/C為直角，AB=2,

???這個三角形的外接圓半徑為2+2=1.

故答案為：1.

【分析】根據(jù)題意可知，NC是外接圓的圓周角，因?yàn)镹C為直角，所以NC所對應(yīng)的邊AB=2為該

圓的直徑，則半徑為2+2=1.

三、綜合題（共11題；共113分）

10.（10分）（2022?陜西）如圖，AB是。。的直徑，4M是。0的切線，AC.CD是。0的弦，且CDJL

AB,垂足為E,連接BD并延長，交4M于點(diǎn)P.

（1）（5分）求證：/.CAB=LAPB-,

（2）（5分）若。。的半徑r=5,AC=81求線段PO的長.

【答案】（1）證明：..NM是。。的切線，

/.BAM=90°.

,：CD1AB

：./.CEA=90°,

：.AM||CD.

."COB=Z.APB.

"：^CAB=乙CDB,

：.^CAB=Z.APB.

（2）解：如圖,連接AD.

AM

,?NB為直徑，

AZADB=90°,

：.z.CDB+Z.ADC=90°.

+ZC=90°,乙CDB=乙CAB,

AZ.ADC=Z.C.

：.AD=AC=8.

*：AB=2r=10,

:?BD=y/AB2-AD2=6.

VZBAP=ZBDA=90°,ZABD=ZPBA,

△ADBPAB.

?AB_BD

^PB=AB'

2

?nnAB10050

78=前=丁=丁

?a50:32

..Dp=--6=z-

【解析】【分析】⑴根據(jù)切線的性質(zhì)可得NBAM=90。，根據(jù)垂直的概念可得NCEA=90。，推出

AM〃CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/CDB=/APB,由圓周角定理可得NCAB=/CDB,據(jù)此證明；

（2）連接AD,根據(jù)圓周角定理可得NADB=90。，由圓周角定理可得/CAB=/CDB,由等角的余

角相等可得NADC=NC,則AD=AC=8,利用勾股定理求出BD,證明△ADBsaPAB,根據(jù)相似三

角形的性質(zhì)可得PB,然后根據(jù)DP=PB-BD進(jìn)行計(jì)算.

11.（10分）（2021?陜西）如圖，是。。的直徑，點(diǎn)E、F在。0上，且脈=2卵，連接

OE、AF,過點(diǎn)B作。0的切線，分別與OE、AF的延長線交于點(diǎn)C、D.

（1）（5分）求證：Z.COB=/LA；

（2）（5分）若AB=6,CB=4,求線段FD的長.

?.?肝:2度,

：.刪=,

工人COB=三乙BOF,

1

.Zyl=|zBOF，

"COB=4A

（2）解：連接BF,

VCD是。。的切線,

：.AB1CD，

由（1）知（COB=NA,

△OBCABD,

.OB_AB

??前F'

*：AB=6,CB=4f

.BC-AB4x6

''BD=-OB~^—^S?

?'-AD=V62+82=10，

'：AB是。。的直徑,

：.BFLAD.

VZ.D=乙D,

△BFDABD.

.FD_BD

-BD=AD'

122

.-.Fn_SD_8_32

FD--AD-10--5

【解析】【分析】（1）取弧BF的中點(diǎn)M,連接OM、OF,利用圓心角定理得到NCOB=^/BOF,

利用圓周角定理得到NA=；NBOF可求解；

（2）連接BF,如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOBC=/ABD=90。，根據(jù)有兩個角對應(yīng)相等的兩個

三角形相似可得4OBCsaABD,由比例式需=磊可求出BD的值，然后用勾股定理可計(jì)算出AD

的值，根據(jù)圓周角定理得/AFB=90。，根據(jù)有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得

RtADBF^RtADAB,得比例式黑=空可求解.

DU/iU

12.（10分）（2020?陜西）如圖，△ABC是。O的內(nèi)接三角形，NBAC=75。，NABC=45。.連接AO

并延長，交。O于點(diǎn)D,連接BD.過點(diǎn)C作。O的切線，與BA的延長線相交于點(diǎn)E.

（1）（5分）求證：AD〃EC；

（2）（5分）若AB=12,求線段EC的長.

【答案】（1）證明：連接OC,

???CE與。0相切于點(diǎn)C,

AZOCE=90°,

VZABC=45°,

???NAOC=90。，

VZAOC+ZOCE=180°,

??????AD〃EC；

(2)解：如圖，過點(diǎn)A作AFJ_EC交EC于F,

VZBAC=75°,ZABC=45°,

AZACB=60°,

.\ZD=ZACB=60°,

AsinZADB=坦=叵，

AD2

AD="口」=8V3,

.,.0A=0C=4V3

VAF1EC,ZOCE=90°,ZAOC=90°,

四邊形OAFC是矩形，

XVOA=OC,

四邊形OAFC是正方形，

?\CF=AF=4V3,

VZBAD=90°-ZD=30°,

ZEAF=180°-90°-30°=60°,

VtanZEAF=第=百，

.,.EF=V3AF=12,

.\CE=CF+EF=12+4V3.

【解析】【分析】（1）連接OC,由切線的性質(zhì)可得/OCE=90。，由圓周角定理可得NAOC=90。，

可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)A作AFJ_EC交EC于F,由銳角三角函數(shù)可求AD=8遮，可證四邊形

OAFC是正方形，可得CF=AF=4遮，由銳角三角函數(shù)可求EF=12,即可求解.

13.（10分）（2019?陜西）如圖，AC是。O的一條弦，AP是。O的切線。作BM=AB并與AP交于

點(diǎn)M,延長MB交AC于點(diǎn)E,交。O于點(diǎn)D,連接AD.

（1）（5分）求證：AB=BE；

（2）（5分）若。O的半徑R=5,AB=6,求AD的長.

【答案】（1）證明：???AP是。O的切線，

.".ZEAM=90°,

/.ZBAE+ZMAB=90°,NAEB+NAMB=90°,

又

.\ZMAB=ZAMB,

.\ZBAE=ZAEB,

AAB=BE

(2)解：連接BC,

「AC是。0的直徑，

.?./ABC=90°

在RtAABC中，AC=10,AB=6,

-'"BC=y)AC2-AB2=8,

由(1)知，ZBAE=ZAEB,

又/ABC=NEAM=90°,

ABC^AEAM,

.\/C=NAME,第=器,

即10_8

叩交-麗，

.?.AM=等，

又

?\ZD=ZAMD,

；.AD=AM=萼

【解析】【分析】⑴根據(jù)切線的性質(zhì)得出NEAM=90。，根據(jù)等邊對等角得出NMAB=

ZAMB,利用等角的余角相等得出ZBAE=ZAEB,根據(jù)等角對等邊得出AB=BE；

(2)連接BC,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出NABC=9()。，根據(jù)勾股定理算出BC的

長，然后判斷出AABCS^EAM,推出ZC-ZAME,器=器，根據(jù)比例式算出AM的

長，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出ZD=ZC,故ZD=ZAMD,根據(jù)等角對對等邊即可得出

AD=AM,從而得出答案。

14.(10分)(2018,陜西)如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,以斜邊AB上的中線CD為直徑作

OO,分別與AC、BC相交于點(diǎn)M、N.

a

DB

（1）（5分）過點(diǎn)N作。O的切線NE與AB相交于點(diǎn)E,求證：NE±AB：

（2）（5分）連接MD,求證：MD=NB.

【答案】（1）解：如圖，連接ON,VCD是RtAABC斜邊AB上

的中線，，AD=CD=DB,

；.NDCB=NDBC,

又：OC=ON,.,.ZDCB=ZONC,

.\ZONC=ZDBC,

，ON〃AB,

?.?NE是。O的切線，ON是。0的半徑，.\ZONE=90°,

AZNEB=90°,即NE_LAB

（2）解：如圖所示，由（1）可知ON〃AB,?.?OC=OD,

，CN=NB=1CB,

又：CD是。O的直徑，，ZCMD=90°,

VZACB=90°,

.".ZCMD+ZACB=180°,AMD/ZBC,

又是AB的中點(diǎn)，，MD=ACB,

.\MD=NB.

【解析】【分析】（1）如圖，連接ON,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AD=CD

=DB,根據(jù)等邊對等角得出NDCB=NDBC,ZDCB=ZONC,根據(jù)等量代換得出NONC=

ZDBC,根據(jù)同位角相等，兩直線平行得出ON〃AB,根據(jù)切線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得出

NE1AB；

（2）根據(jù)中位線的判定定理，由ON〃AB,OC=OD,得出CN=NB=4CB,根據(jù)圓周角定理得

出NCMD=90。，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得出MD//BC,再根據(jù)三角形的中位線定理得出

MD=4CB,根據(jù)等量代換得出MD=NB.

15.（10分）（2017?淮安）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,O是邊AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA

為半徑的圓分別交AB,AC于點(diǎn)E,D,在BC的延長線上取點(diǎn)E使得BF=EF,EF與AC交于點(diǎn)

G.

（1）（5分）試判斷直線EF與。O的位置關(guān)系，并說明理由;

（2）（5分）若OA=2,NA=30。，求圖中陰影部分的面積.

【答案】（1）解：連接OE,

AZA=ZAEO,

VBF=EF,

AZB=ZBEF,

ZACB=90°,

AZA+ZB=90°,

，ZAEO+ZBEF=90°,

???ZOEG=90°,

JEF是。。的切線；

(2)解：TAD是。O的直徑,

ZAED=90°,

VZA=30°,

???ZEOD=60°,

JZEGO=30°,

VA0=2,

A0E=2,

AEG=2V3，

2o

.?.陰影部分的面積=I1X2X2V3-60"=2V3-4^.

23603

【解析】【分析】（l）先觀察，再理性論證.EF與圓有公共點(diǎn)，可連結(jié)0E,證明0E與EF垂直，可證

ZAEO+ZBEF=90°;（2）陰影部分面積較小，可采用作差法，轉(zhuǎn)化為直角三角形0EG面積減去扇形

0ED的面積即可.

16.（10分）（2017?陜西）如圖，已知。。的半徑為5,PA是。O的一條切線，切點(diǎn)為A,連接P0

并延長，交。0于點(diǎn)B,過點(diǎn)A作ACLPB交。0于點(diǎn)C、交PB于點(diǎn)D,連接BC,當(dāng)NP=30。

時，

（1）（5分）求弦AC的長；

⑵（5分）求證：BC//PA.

【答案】（1）解：連接0A,

「PA是。0的切線，

ZPAO=90°

,/ZP=30°,

...NAOD=60。，

VAC1PB,PB過圓心0,

r.AD=DC

在RtAODA中，AD=OA?sin60°=苧

/.AC=2AD=5V3

(2)證明：VAC±PB,ZP=30°,

ZPAC=60°,

ZAOP=60°

.?.ZBOA=120°,

.../BCA=60。，

.?.NPAC=NBCA

，BC〃PA

【解析】【分析】（1）連接OA,由切線性質(zhì)得出/PAO=90。，再由三角形內(nèi)角和得出/AOD=60。，

由AC_LPB,PB過圓心O得出AD=DC；在RsODA中；

由銳角三角函數(shù)求出AD=OA?sin60°-；從而求出AC=2AD

（2）由ACLPB,NP=30。得出NPAC=NAOP=60。；從而得出NBOA=120。，ZBCA=60°,

ZPAC=ZBC；由平行線的判定得出ABC〃PA.

17.（10分）（2016?陜西）如圖，已知：AB是。O的弦，過點(diǎn)B作BCLAB交。O于點(diǎn)C,過點(diǎn)C

作。O的切線交AB的延長線于點(diǎn)D,取AD的中點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF〃BC交DC的延長線于點(diǎn)E

連接AF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G.

(1)(5分)FC=FG；

(2)(5分)AB12=BC?BG.

【答案】(1)證明(1)VEF/7BC,AB1BG,

.\EFJ_AD,

?.?E是AD的中點(diǎn)，

-,.FA=FD,

.,.ZFAD=ZD,

VGB1AB,

，ZGAB+ZG=ZD+ZDCB=90°,

...NDCB=NG,

VZDCB=ZGCF,

ZGCF=ZG

.\FC=FG；

（2）證明：連接AC,如圖所示：

AB1BG,

.,AC是。O的直徑，

?.?FD是。O的切線，切點(diǎn)為C,

，NDCB=NCAB,

VZDCB=ZG,

.\ZCAB=ZG,

VZCBA=ZGBA=90°,

ABC^AGBA,

.AB_BC

''GB=AB'

r.AB2=BC?BG.

【解析】【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得出EFJ_AD,由線段垂直平分線的性質(zhì)得出FA=FD,由等腰

三角形的性質(zhì)得出NFAD=ND,證出NDCB=NG,由對頂角相等得出/GCF=/G,即可得出結(jié)論；

（2）連接AC,由圓周角定理證出AC是。O的直徑，由弦切角定理得出NDCB=/CAB,證出

NCAB=NG,再由/CBA=/GBA=90。，證明△ABCsaGBA,得出對應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)

論.

本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、弦切角定理等知

識；熟練掌握圓周角定理和弦切角定理，證明三角形相似是解決問題（2）的關(guān)鍵.

18.（11分）（2020?陜西）如圖

C

（1）（1分）問題提出

如圖1,在RtAABC中，ZACB=90°,AOBC,/ACB的平分線交AB于點(diǎn)D.過點(diǎn)D分別作

DE±AC,DFLBC.垂足分別為E,F,則圖1中與線段CE相等的線段是.

（2）（5分）問題探究

如圖2,AB是半圓O的直徑，AB=8.P是AB上一點(diǎn)，且巨8=2為1,連接AP,BP.NAPB的

平分線交AB于點(diǎn)C,過點(diǎn)C分別作CELAP,CF±BP,垂足分別為E,F,求線段CF的長.

（3）（5分）問題解決

如圖3,是某公園內(nèi)“少兒活動中心”的設(shè)計(jì)示意圖.已知OO的直徑AB=70m,點(diǎn)C在。。上，且

CA=CB.P為AB上一點(diǎn)，連接CP并延長，交。O于點(diǎn)D.連接AD,BD.過點(diǎn)P分別作PE_LAD,

PF±BD,重足分別為E,F.按設(shè)計(jì)要求，四邊形PEDF內(nèi)部為室內(nèi)活動區(qū)，陰影部分是戶外活動

區(qū)，圓內(nèi)其余部分為綠化區(qū).設(shè)AP的長為x（m）,陰影部分的面積為y（n?）.

①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②按照“少兒活動中心”的設(shè)計(jì)要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)AP的長度為30m時，整體布局比較合理.試求當(dāng)AP

=30m時,室內(nèi)活動區(qū)（四邊形PEDF）的面積.

【答案】（1）CF、DE、DF

（2）解：連接OP,如圖2所示：

圖2

?.?AB是半圓O的直徑，PB=2PA,

AZAPB=90°,/AOP=1X180°=60°,

AZABP=30°,

同(1)得：四邊形PECF是正方形，

.\PF=CF,

在RtZkAPB中，PB=AB*cosZABP=8xcos30°=8x=4V3,

“CFCF

在RtACFB中BF='=不=V3CF,

tan乙4BCtan30號

VPB=PF+BF,

PB=CF+BF,

BP：4V3=CF+V3CF,

解得：CF=6-2V3;

(3)解：①YAB為。O的直徑，

.?./ACB=/ADB=90。，

VCA=CB,

.\ZADC=ZBDC,

同(1)得：四邊形DEPF是正方形，

APE=PF,ZAPE+ZBPF=90°,NPEA=/PFB=90。，

.?.將△APE繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AATF,PA'=PA,如圖3所示:

圖3

則A，、F、B三點(diǎn)共線，NAPE=NA，PF,

ZA,PF+ZBPF=90°,即ZAfPB=90°,

11

SAPAE+SAPBF=SAPA'B=2PA'?PB=x(70-x),

在RtAACB中，AC=BC=也AB=乎x70=35或，

，SAACB=IAC2=|x(35V2)2=1225,

.*.y=SAPA，B+SAACB=|x(70-x)+1225=-1x2+35x+1225；

②當(dāng)AP=30時，AT=30,PB=AB-AP=70-30=40,

在RtAATB中，由勾股定理得：AB=yjA'P2+PB2=A/302+402=50，

：SAATB=IA'B?PF=1PB-AT,

.1.1x50xPF=1x40x30,

解得:PF=24,

22

S四邊形PEDF=PF=24=576(n?),

.?.當(dāng)AP=30m時.室內(nèi)活動區(qū)(四邊形PEDF)的面積為576m%

【解析】【解答】解：(1)VZACB=90°,DE±AC,DF±BC,

四邊形CEDF是矩形，

：CD平分NACB,DE_LAC,DF±BC,

；.DE=DF,

.??四邊形CEDF是正方形，

，CE=CF=DE=DF,

故答案為：CF、DE、DF；

【分析】(1)證明四邊形CEDF是正方形，即可得出結(jié)果；

(2)連接OP,由AB是半圓。的直徑，所=2為1,得出NAPB=90。，ZAOP=60°,則NABP

=30°,同(1)得四邊形PECF是正方形，得PF=CF,在Rtz\APB中，PB=AB?cosZABP=4

V3,在R3CFB中，BF=+=V3CF,推出PB=CF+BF,即可得出結(jié)果；

tanZ/iDC

(3)①同(1)得四邊形DEPF是正方形，得出PE=PF,NAPE+NBPF=90。，ZPEA=ZPFB=

90°,將△APE繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到^APF,PA'=PA,則A，、F、B三點(diǎn)共線，ZAPE=

/A'PF,證NA'PB=90°,得出SAPAE+SAPBF=SAPA，B=JPA'?PB=1x(70-x),在RmACB中，

AC=BC=35V2,SAACB=|AC2=1225,由y=S&PA*+SAACB,即可得出結(jié)果；②當(dāng)AP=30

時，AT=30,PB=40,在RtZiATB中，由勾股定理得AB=+PB2=7302+402=50,

由SAATB=|A'B?PF=|PB?A'P,求PF,即可得出結(jié)果.

19.（11分）（2018?陜西）如圖

A

MH

/>?B

圖①圖②圖③

（1）（1分）【問題提出】

如圖①，在△ABC中，ZA=120°,AB=AC=5,則△ABC的外接圓半徑R的值為.

（2）（5分）【問題探究】

如圖②，。0的半徑為13,弦AB=24,M是AB的中點(diǎn)，P是上一動點(diǎn)，求PM的最大

值.

（3）（5分）【問題解決】

如圖③所示，AB、AC、BC是某新區(qū)的三條規(guī)劃路其中，AB=6km,AC=3km,ZBAC=60°,

BC所對的圓心角為60。.新區(qū)管委會想在BC路邊建物資總站點(diǎn)P,在AB、AC路邊分別建物資分

站點(diǎn)E、F.也就是，分別在弧BC、線段AB和AC上選取點(diǎn)P、E、F.由于總站工作人員每天要

將物資在各物資站點(diǎn)間按PTETF—P的路徑進(jìn)行運(yùn)輸，因此，要在各物資站點(diǎn)之間規(guī)劃道路PE、

EF和FP.為了快捷環(huán)保和節(jié)約成本要使得線段PE、EF、FP之和最短，試求PE+EF+FP的最小值

（各物資站點(diǎn)與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計(jì)）.

【答案】（1）5

（2）解：如圖（2）所示，連接MO并延長交。O于N,連接OP,

V（2）

顯然，MP<OM+OP=OM+ON=MN,ON=13,OM=V132-122=5，MN=18,

...PM的最大值為18

（3）解：如圖（3）所示，假設(shè)P點(diǎn)即為所求點(diǎn)，分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB、AC的對稱點(diǎn)P'P"連

接PP'、P'E,PE,P"F,PF,PP"

由對稱性可知PE+EF+FP=P，E+EF+FP"=P，P",且P\E、F、P"在一條直線上，所以P'P"

即為最短距離，其長度取決于PA的長度，

如圖（4）,作出弧BC的圓心0,連接A0,與弧BC交于P,P點(diǎn)即為使得PA最短的點(diǎn)，

VAB=6km,AC=3km,ZBAC=60°,

.?.AABC是直角三角形，ZABC=30°,BC=3遮，

BC所對的圓心角為60。，，A0BC是等邊三角形，ZCBO=60°,B0=BC=3V3,

.?./ABO=90。，A0=3V7,PA=3夕—3百，

NP'AE=NEAP,ZPAF=ZFAP",

AZPZAP"=2ZABC=120°,P'A=AP",

AZAPT=ZAP"F=30°,

VPT"=2P'AcosNAP'E=V3P'A=3V21-9,

所以PE+EF+FP的最小值為3VH-9km

【解析】【解答］解：（1）如圖（1）,設(shè)外接圓的圓心為0,連接OA,0B,

芭⑴

：o是等腰三角形ABC的外心，AB=AC,

.\ZBAO=ZOAC=1ZBAC=1x120°=60°,

VOA=OB,

/.△AOB是等邊三角形，

.?.OB=AB=5,

故答案為：5；

【分析】（1）如圖（1）,設(shè)外接圓的圓心為O,連接OA,OB,等腰三角形的三線合一得出

NBAO=NOAC=1ZBAC=|xl20=60°,根據(jù)有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形得出

△AOB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出答案；

（2）如圖（2）所示，連接MO并延長交。O于N,連接OP,根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系及等量代

換得出MPWOM+OP=OM+ON=MN,當(dāng)PM=MN時，PM最大，根據(jù)垂徑定理及勾股定理得出

OM的長，根據(jù)線段的和差即可得出結(jié)論；

（3）如圖（3）所示，假設(shè)P點(diǎn)即為所求點(diǎn)，分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB、AC的對稱點(diǎn)P\P”連接

PP'、P'E,PE,P"F,PF,PP"由對稱性可知PE+EF+FP=P'E+EF+FP"=PT",且PPE、

F、P"在一條直線上，所以P'P"即為最短距離，其長度取決于PA的長度，如圖（4）,作出弧BC

的圓心O,連接AO,與弧BC交于P,P點(diǎn)即為使得PA最短的點(diǎn)，首先判斷出AABC是直角三角

形，及NABC=30。，BC的長度，BC所對的圓心角為60。，進(jìn)而判斷出AOBC是等邊三角形，根據(jù)

等邊三角形的性質(zhì)得出NCBO=60。，BO=BC,進(jìn)而得出/ABO=90。，Aode長，PA的長，NP'AE

=/EAP,ZPAF=ZFAP",故/P'AP"=2/ABC=120。，P'A=AP",/AP'E=/AP"F=

30°,根據(jù)余弦函數(shù),由PP"=2PxAcosZAPT=V3P'A,從而得出答案。

20.（11分）（2017?陜西）綜合題

（1）（1分）問題提出

如圖①，△ABC是等邊三角形，AB=12,若點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，則OA的長為；

圖①

（2）（5分）問題探究

如圖②，在矩形ABCD中，AB=12,AD=18,如果點(diǎn)P是AD邊上一點(diǎn)，且AP=3,那么BC邊

上是否存在一點(diǎn)Q,使得線段PQ將矩形ABCD的面積平分？若存在，求出PQ的長；若不存在，請

說明理由.

圖②

（3）（5分）問題解決

某城市街角有一草坪，草坪是由AABM草地和弦AB與其所對的劣弧圍成的草地組成，如圖③

所示.管理員王師傅在M處的水管上安裝了一噴灌龍頭，以后，他想只用噴灌龍頭來給這塊草坪澆

水，并且在用噴灌龍頭澆水時，既要能確保草坪的每個角落都能澆上水，又能節(jié)約用水，于是，他

讓噴灌龍頭的轉(zhuǎn)角正好等于NAMB（即每次噴灌時噴灌龍頭由MA轉(zhuǎn)到MB,然后再轉(zhuǎn)回，這樣往

復(fù)噴灌.）同時，再合理設(shè)計(jì)好噴灌龍頭噴水的射程就可以了.

如圖③，已測出AB=24m,MB=10m,△AMB的面積為96m2；過弦AB的中點(diǎn)D作DELAB交

AB于點(diǎn)E,又測得DE=8m.

請你根據(jù)以上信息，幫助王師傅計(jì)算噴灌龍頭的射程至少多少米時?，才能實(shí)現(xiàn)他的想法？為什

么？（結(jié)果保留根號或精確到0.01米）

【答案】⑴4百

（2）解：存在，如圖2,連接AC、BD交于點(diǎn)0,連接PO并延長交BC于Q,則線段PQ將矩形

???點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，

；.CQ=AP=3,

過P作PM_LBC于點(diǎn)，貝IJPM=AB=12,MQ=18-3-3=12,

由勾股定理得：PQ=IpM2+MQ2=V122+122=12y/2.

(3)解：如圖3,作射線ED交AM于點(diǎn)C

VAD=DB,ED±AB,AB是劣弧，

：.AB所在圓的圓心在射線DC上，

假設(shè)圓心為0,半徑為r,連接OA,則OA=r,OD=r-8,AD=：AB=12,

在RSAOD中,r2=122+(r-8)2,

解得：尸13,

，OD=5,

過點(diǎn)M作MNJ_AB,垂足為N,

SAABM=96,AB=24,

AB?MN=96,

1X24XMN=96,

?\MN=8,NB=6,AN=18,

VCD#MN,

.,.AADC^AANM,

.DC_AD

"MN=AN'

.DC_12

--8-=T8'

/.DC=竽，

.?.ODCCD,

.?.點(diǎn)0在4AMB內(nèi)部，

二.連接MO并延長交通于點(diǎn)F,則MF為草坪上的點(diǎn)到M點(diǎn)的最大距離，

在AB上任取一點(diǎn)異于點(diǎn)F的點(diǎn)G,連接GO,GM,

MF=OM+OF=OM+OG>MG,

即MF>MG,

過O作OHLMN,垂足為H,則OH=DN=6,MH=3,

.??OM=yjMH2+OH2=V32+62=3V5，

/.MF=OM+r=3V5+13-19.71（米），

答：噴灌龍頭的射程至少為19.71米.

【解析】【解答］解：（1）如圖1,過O作OD_LAC于D,則AD=；AC=*xl2=6,

???0是內(nèi)心，△ABC是等邊三角形，

AZOAD=~ZBAC=1x60°=30°,

在RtAAOD中，cosZOAD=cos30°=器，

；.OA=6+孚=4百，

故答案為：4V3；

【分析】（1）如圖1，過。作ODLAC于D,得出AD=：AC=6,由等邊三角形的性質(zhì)得出

ZOAD=|ZBAC=Jx60°=30°；在RiaAOD中，利用銳角三角函數(shù)求出OA的值.

（2）存在，如圖2,連接AC、BD交于點(diǎn)0,連接P0并延長交BC于Q,則線段PQ將矩形

ABCD的面積平分，由矩形性質(zhì)得出CQ=AP=3；過P作PM_LBC于點(diǎn)，求出P,MQ的值；再由

勾股定理得PQ=12V2.

(3)如圖3,作射線ED交AM于點(diǎn)C；在RQAOD中，由勾股定理列出式子：r2=122+(r-8)

2,求出k13,OD=5；過點(diǎn)M作MN_LAB,垂足為N,

由SAABM=96,AB=24得出MN=8,NB=6,AN=18；由CD〃MN得出△ADCSAANM,根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)得出益=瑞，從而求出DC=竽,

得出ODVCD,點(diǎn)O在AAMB內(nèi)部；過O作OHJ_MN,垂足為H,由勾股定理得出OM=3A，

從而求出MF.

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分：128分

客觀題（占比）14.0(10.9%)

分值分布

主觀題（占比）114.0(89.1%)

客觀題（占比）8(40.0%)

題量分布

主觀題（占比）