突破2023年高考數(shù)學(xué)題型之2022年數(shù)學(xué)高考真題(全國(guó)通用)專題04 平面向量問題(解析版)

專題04平面向量問題

【高考真題】

1.（2022?全國(guó)乙理）已知向量8滿足同=1,向=小，|。-2加=3,則a仍=（）

A.-2B.-1C.1D.2

1.答案C解析\'\a-2b\2^\a\2-4a-b+4\b\2,又：|a|=l,\b\=y[3,\a-2b\=3,：.ab=l.故選C.

2.(2022?全國(guó)乙文)已知向量a=(2,1),/>=(-2,4),貝加一"=()

A.2B.3C.4D.5

2.答案D解析因?yàn)?。一?（4,-3）,,所以|a—加=5.故選D.

3.（2022?全國(guó)甲理）設(shè)向量a,b的夾角的余弦值為/且|a|=l,|回=3,則（2a+》）Z>=.

3.答案11解析設(shè)a,b的夾角為6,因?yàn)椤Ｅc。的夾角的余弦值為W，即cos6=；,又|a|=l,|。|=3,

所以。力=|即b|cos6=l,所以（2°+））力=20。+|力|2=11.故答案為11.

4.（2022?全國(guó)甲文）己知向量〃=（加，3）,力=（1,加+1）,若則m=

333

4.答案一］解析由題意知m+3（m+1）=0,解得〃?=一『故答案為一

5.（2022?新高考I）在△A8C中，點(diǎn)。在邊A8上，BD=2DA.記己=機(jī)，CD=n,則游=（）

A.3m—2nB.-2m+3?iC.3m+2nD.2m+3n

5.答案B解析因?yàn)辄c(diǎn)r>在邊AB上，BD=2DA,所以麗=2法，即&一史=2（之一3）,

所以屈=3而-2以=3〃-2相=一2m+3兒故選B.

-?2-41-A-A-?-A

爪子定理如圖1,CD^CA+^CB,所以CB=3CD—2cA=3"—2/n=—2/n+3”.故選B.

-n.沒答案.

6.(2022?新高考H)已知向量a=(3,4),Z>—(1,0),c—a+tb,若<a,c>~<b,c>,則f=()

A.-6B.-5C.5D.6

6.答案C解析c=(3+r,4),cos<a,c>=cos<b,c>,即解得，=5,故選C.

D|C|KI

7.(2022?北京)在△ABC中，AC=3,8c=4,ZC=90°,P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,

則萬.兩的取值范圍是（）

A.[—5,3]B.[-3,5]C.[—6,4]D.[-4,6]

7.答案D解析依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則C(0,0),43,0),5(0,4),

因?yàn)镻C=1,所以尸在以。為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)尸(cos仇

sin。)，夕￡[0,2兀]，所以=(3—cos。，-sin。)，P3=(—cos夕4—sin。)，所以B4?P3=(—cos9)(3—cos。)

3

+(4—sin0)(-sin^)=cos20—3cos0—4sin^+sin20=1—3cos0—4sin0=1—5sin(0+q)),其中sin(p=g,cos(p

4_>—

=5,因?yàn)橐籰Wsin(6?+(p)Wl,所以一4Wl-5sin(8+(p)W6,即RVP3￡[-4,6],故選D.

極化恒等式法設(shè)A8的中點(diǎn)為M,連接CM,則|加|=|,即點(diǎn)M在如圖所示的圓瓠上，則豕期

=|兩一物兩2-￡|CMT)2一爭(zhēng)=-4.荷.麗=|麗J硒2=|麗|2一亨W(|CW|+1)2-苧

1.平面向量基本定理

如果6，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)

九，22，使0=九0|+幾202.若ei，e2不共線,我們把3,02｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.

2.向量a與b的夾角

已知兩個(gè)非零向量a,b,0是平面上的任意一點(diǎn)，作'=a,OB=b,則乙4。3=。(0?。或兀)叫做向

TT

量a與b的夾角.當(dāng)9=0時(shí)，a與1同向;當(dāng)。=兀時(shí)，a與b反向.如果a與6的夾角是我們說a與

b垂直，記作a，b.3.平面向量的數(shù)量積

(1)若a,b為非零向量，夾角為仇則。山=㈤向cos0.

(2)設(shè)a=(x”>i),6=(X2，)2)，則44=?囚+丫1丫2.

4.兩個(gè)非零向量平行、垂直的充要條件

若。=(用，yi),b=g，")，則

(1)?！?aa=#0)<=>xiV2X2Vi=0.

(2)a_L=0=同“2+川)2=°?

5.利用數(shù)量積求長(zhǎng)度

（1）若a=（x,y）,則⑷=7/+/

（2）若AQ],yD，B（X2，丫2），則|A8|——>+。2—yi>.

6.利用數(shù)量積求夾角

a?bxim+yi”

設(shè)。，力為非零向量，若（，）及），6為a與b的夾角，則0—

Q=xi?,b=3,cos團(tuán)臼d肥+行同3+強(qiáng)

【常用結(jié)論】

1.“爪”子定理

形式1：在"BC中，。是BC上的點(diǎn)，如果質(zhì)f,四尸〃，則病=品正十熹兩,其中很

AB,公知二可求一.特別地，若。為線段8c的中點(diǎn)，則勸祀+砌.

形式1形式2形式2：在AABC中，。是BC

上的點(diǎn)，且前=入求，則戲>=流+（1—入）成，其中戲），AB,公知二可求一.特別地，若。為線段8C

的中點(diǎn)，則動(dòng)=；（企+屈）.

形式1與形式2中元與初的系數(shù)的記憶可總結(jié)為：對(duì)面的女孩看過來（歌名，原唱任賢齊）

2.極化恒等式三角形模式

如圖，在AABC中，設(shè)。為BC的中點(diǎn)，則屈?祀=|AOF-|BD|2.三角形模式是平面向量極化恒等式

的終極模式，幾乎所有的問題都是用它解決.BC

記憶：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差.

【同類問題】

題型一向量的線性運(yùn)算

1.（2015?全國(guó)I）設(shè)。為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC^3CD,則（）

A.AD——jAB+^ACB.AD=^AB—^AC

C.AD=^AB+^ACD.AD=^AB—^AC

1.答案A解析AD=AC+CD=AC+^BC=AC+^AC-AB)=^AC-^AB=-^AB+^AC,故選A.

2.(2014?全國(guó)I)設(shè)。，E,F分別為"BC的三邊8C,CA,AB的中點(diǎn)，則m+&?=()

A.ADB.5ADC.BCD.^BC

2.答案A解析EB+FC=^(Ah+CB)+^(AC+BC)=^AB+AC)=Ab,故選A.

3.(2018?全國(guó)I)在AABC中，AQ為BC邊上的中線，E為A。的中點(diǎn)，則防=()

1313

--屈

A-十-

44D.44

3.答案A解析是4D的中點(diǎn)，.,.或=-3在，；?或=或+輻=一;助+屈，又知。是BC的

中點(diǎn)，.，.#=；（初+竟），因此筋=—"（屈+公）+顯君一拓t.

4.在平行四邊形A8CD中，E,尸分別是8C,CD的中點(diǎn)，OE交AF于//,記顯，求分別為a,b,則油

B.|a+$C.一|。+$r2

D.ya

4.答案B解析如圖，過點(diǎn)尸作BC的平行線交。E于G,則G是。E的中點(diǎn)，且群=；愛=:就,

...辦=演，易知xAHDs^FHG,從而蘇=；科，，初=渺，#=初+#,=6+%,...m=*8+ga）

24

=5a+5h,故選B.5.(多選)在△4BC中，D,E,尸分別是邊BC,CA,AB的中點(diǎn)，AD,BE,CF交于

點(diǎn)G,則()

A.#=的一標(biāo)B.星=一演+減C.Ab+Bk=FtD.GA+G^+Gt=0

5.答案CD解析如圖，因?yàn)辄c(diǎn)。，E,尸分別是邊8C,CA,A8的中點(diǎn)，所以濟(jì)=；費(fèi)=一：比,

故A不正確；旗=比+仍=尻?+權(quán)說'+：（■+或）=此一;就一；B=—1油+；比，故B不正

確；是=祀一#=勸+皮+成=?+3覺+成=助+助+成=弱+彷+就+成=力+就，故c

o277171

正確；由題意知，點(diǎn)G為AABC的重心，所以W&+就+且=干彷+?就+其%=守5（牯+祀）+守5（成

2i

+宿+『爹（費(fèi)+/）=0,即GA+訪+Gt=0,故D正確.故選CD.

A

6.如圖，在AOAB中，P為線段A3上的一點(diǎn)，Op^xOX+yOh,且那=

2133

-C-----

B.Xy-3X4y4D.X-4

1

6.答案A解析由題意知礙宓+崩，又加=2后，所以"赤^或1=宓+,(而一應(yīng)=:游+

]2]

彳仍r，所以%=~,/=".

7.(2013?江蘇)設(shè)力，E分別是AABC的邊AB,BC上的點(diǎn)，A￡)=；AB,BE=^BC.若方方=%腦+苞％3,

及為實(shí)數(shù))，則九+義2的值為.

1]2]2191

.答案另解析由題意，得初=加+前油波霜+'(祀一修)=—彳祀，則九=一.

7乙乙。=5乙+QD=5vJJK^+VZ

21

22=],即2]+A2=E.

8.如圖，在AABC中，不方=|公，前=%6,若#=海+〃&，則2+〃的值為()

8484

--C--

A.9B.93D.3

8.答案A解析#=勸+辦=輻+；反6=A^+g(At>一屈)=]勸+/<?祀=]荏+制&,因?yàn)?/p>

+〃祀,所以2=*"=',則2+"=|+；=5?

9.已知在RtAABC中，NBAC=90。，AB=1,AC=2,。是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且ND4B=60。，設(shè)勸=癡&+

屈u，蚱R),則)=()

A.B.當(dāng)C.3D.2小

9.答案A解析如圖，以A為原點(diǎn)，48所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2),因?yàn)?￡>A8=60。，所以設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(布,?、?〃#0).Ab

=(〃?，小，〃)=源力+/zAt?=〃l,0)+/z(0,2)=(7,2〃)，貝(I%=加，且〃=坐〃?，所以

(2017?江蘇)如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量不，OB,歷的模分別為1,1,也,

且tana=7,加與洸的夾角為45。.若歷=加不+〃加(如〃￡R),則〃?+〃=

.答案3解析以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，04所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則41,

0),由tan1=

7,a￡(0,另，得sina=71

麗。“而,設(shè)C(xc,yc),B(XB,)?),則xc=|OC|cosa=-\/2x^j^=5,

yc=|洸|sin1=啦><^^=,,即出,》又加+45。)=赤xj—金巖T，sin(a+45°)=1,

則初=Lcos(a+45°)=—,,ya=|O^|sin(a+45o)=^,即目(一5,7),由歷=〃蘇+〃加，可得

57

解得所以"7+"=1+]=3.

題型二平面向量的平行與垂直

11.已知向量。=(1,2),b=(2,-2),c=(l,z).若。〃(2。+6),則7=.II.答案|解析

由題意得2a+Z?=(4,2),因?yàn)閏=(l,2),c//(2a+b),所以41-2=0,解得力=1

12.(2018?全國(guó)HI)己知向量a=(l,2),b=Q,-2),c=(l,X).若c〃(2@+b),則2=.

12.答案:解析2“+。=(4,2),因?yàn)閏=(l,z),且?！?2。+6),所以1x2=41，即丈=]

13.已知向量。=(2,4),6=(—1,1),c=(2,3),若a+M與c共線，則實(shí)數(shù)2=()

22人33

A.§B.一5C.§D.一§

13.答案B解析解法一：。+乃=(2—九4+Q,c=(2,3),因?yàn)椤?勸與c共線，所以必定存在唯

,___:|"C，

「一丁’解得《‘C

{4+43",,__2

2

解法二：a+勸=(2—z,4+z),c=(2,3),由a+勸與。共線可知3(2—z)=2(4+A),得幺=一亍

IT!

14.已知向量。=（2,3）,b=（—l,2）,若，77。+力與。-3b共線，則1=.

14.答案一g解析由擊#所以。與辦不共線，又a—3）=（2,3）—3（—1,2）=（5,—3）^0.那么

當(dāng)〃妝+4與。-3b共線時(shí)，有牛=上￡即得；=一：.

1—3n3

15.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（6,3）,若點(diǎn)尸在直線OA上，且|5>|=；|萩|,P是02的中點(diǎn)，則點(diǎn)8的坐

標(biāo)為.

15.答案（4,2）或（一⑵-6）解析：點(diǎn)P在直線0A上，.?.舁〃祝，又：|辦|=；|兩，土攝t

設(shè)點(diǎn)尸（，”，〃），則辦=（，〃，"），用=（6—，"，3—n）.①若辦=：或，則（"］，〃）=:（6—，"，3—n）,

解得?"(2,I),是08的中點(diǎn)，.?.8（4,2）.②若源=一］可，貝

71=1,

/?/=—6,

解得，???P(—6,-3),TP是08的中點(diǎn)，???

w=-3,

-6）.綜上所述，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（4,2）或（一12,-6）.

（2020?全國(guó)H）已知單位向量a,力的夾角為60。，則在下列向量中，與》垂直的是（

A.a+2bB.2a~\~bC.a—2bD.2a-b

16.答案D解析由題意得⑷=|臼=1,設(shè)a,。的夾角為6=60。，故0Z?=|a||b|cos對(duì)A項(xiàng)，（a

+2&）-Z>=a-Z>+2*2=1+2=|^0；對(duì)B項(xiàng)，（2a+b）-b=2a-b+h2=2X^+1=2^0；對(duì)C項(xiàng)，（a—2b）力

、13、1

=。）-2/=1—2=-］#0；對(duì)D項(xiàng)，（2。一萬）仍=2。5一〃2=2X/—1=0.

17.（2021?全國(guó)乙）已知向量〃=（1,3）,5=（3,4）,若（a—?jiǎng)瘢㎎_"則；1=.

3

17.答案§解析方法一。一勸=（1一3九3一4）），;5一勸）_Lb,???（a-M）b=0,即（1—32,3—42）?（3,4）

3

=0,/.3-9A+12-16A=0,解得7=不

方法二由（。一勸）_1_力可知，（a—?jiǎng)瘢?=0,艮；a?b-zZ>2—0?從而2=丁=~③之+標(biāo)-=55=5，

18.（2020?全國(guó)H）已知單位向量m〃的夾角為45。，履一〃與。垂直，則％=.

18.答案斗解析由題意知｛ka—6）?a=0,即ka'—b?a=0.因?yàn)閍,力為單位向量，且夾角為45°,

所以AX「-ixiX乎=0,解得力=乎.

19.（2018?北京）設(shè)向量a=（l,0）,1=（一1,〃?）.若則〃?=.

19.答案—1解析由題意得，ma—b=(m+I,-⑼，根據(jù)向量垂直的充要條件可得1x(〃7+l)+0x(一

m)=0,所以"?=—1.

20.(2017?全國(guó)I)已知向量a=(—1,2),b=(m,1).若向量。十力與。垂直，則m=.

20.答案7解析因?yàn)椤?3),〃+〃與4垂直，所以(〃7-l)X(-l)+3X2=O,解得加=7.

題型三面向量數(shù)量積

21.(2012?浙江)在△ABC中，〃是8c的中點(diǎn)，AM=3,BC=10,則顯?祀=.

21.答案一16解析因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，由極化恒等式得：砧-At=|AM|2-58cl2=9一1x|00=一

f22.如圖，AAOB為直角三角形，04=1,OB=2,C為斜邊AB的中點(diǎn)，P為

線段OC的中點(diǎn)，則成?成

=()

力22.答案B解析取AO中點(diǎn)。，連接P。，APOP=l^Pd=PQ2-*BAQ2=~^

1

16'

23.如圖所示，AB是圓。的直徑，P是AB上的點(diǎn)，M,N是直徑AB上關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，且AB=6,

MN=4,則俞?麗=()

AMoNBA.13

23.答案C解析連接AP,8尸，則麗=就+萬認(rèn)麗=成+的=動(dòng)一病，所以前?麗=(昂+嬴0(動(dòng)

-A^=^-^-^AM+AMPB-\AM\*1=-'^AM+AMPB-\AM\2=AMAB-\AM\2=IX6-1=5.

24.(2016?江蘇)如圖，在△A8C中，。是BC的中點(diǎn)，E,F是A。上的兩個(gè)三等分點(diǎn).BXCA=4,BPCP

=-1,則展?國(guó)的值為.

-------------1------7

BDC24.答案［解析極化恒等式法設(shè)3。=￡＞。=團(tuán)，AE=EF=FD=n則AO=

O9

3〃.根據(jù)向量的極化恒

等式，有福正二??一反2=9/—抗2=4,或叱=市一瓦2="2-,"2=一]聯(lián)立解得/烏，團(tuán)2

O

=呆因此前或二前2一選2=4n2一相2=]即就.及=1.

OOO

坐標(biāo)法以直線BC為x軸，過點(diǎn)。且垂直于BC的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xoy,

如圖：設(shè)A(3a,3b),B(—c,0),C(~c,0),則有E(2a,2b),F(a,b)flA-cA=(3a+c,3b)-(3a-c,

3b)—9a2—c2+9b2—4BpC^—ia+c,b)(a-c,by—^—cr+b2——],則屋+從=3，廿=號(hào)Bkck

oo

7

222

=(2a~c,2b)-(2a-ct2b)=4a—c+4h=^.

C14仍一冊(cè)36亦一正

,基向量以CA=(反一而協(xié)一5b)=

4pfjr—弓]3

肝?#=(防一踮)(方方—沈尸---4一―=-1，因此用配=寧，Bk-Ck=(Dk-Dh)(Dk-Db)

4市一/16亦一鼠巾7

=4=4=8'

25.在梯形A8CD中，滿足AQ〃BC,AD=\,BC=3,油?虎=2,則祀?助的值為

25.答案4解析過A點(diǎn)作4E平行于DC,交8c于E,取8E中點(diǎn)

F,連接AF,過。點(diǎn)作?！逼叫?/p>

UUUULUuuuuumUUU

于AC,交8c延長(zhǎng)線于H,E為BH中點(diǎn)、,連接DE,AB-DC=AB-AE=AF2-BF2=AF2-1=2,AC-

LU.U1LllUlllllU

BD=-DBDH=BE2-DE2=4-DE2,又FE=BE—BF=1,AD//BC,則四邊形AOEF為平行四邊

FE26.在三角形ABC中，。為AB中點(diǎn)，ZC=90°,AC=4,BC=3,

E,尸分別為8C,AC上的動(dòng)點(diǎn)，且

EF=1,則虎?方永最小值為.

26.答案號(hào)解析設(shè)EF的中點(diǎn)為M,連接CM,則|扁=/即點(diǎn)M在如困所示的圓弧上，則旎/

=|D/tf|2-|E^|2=|D^f|2-1>||CD|-1|2-1=y.

B

27.（2017?全國(guó)H）已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一

點(diǎn)，則M或（成+向的最小值

(

A34

-C-D

.-2B.-2-3

27.答案B解析解析法建立坐標(biāo)系如圖①所示，則4,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為40,V3),

5(-1,0),C(l,0).設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y).

圖①

則可=（—x,小一y）,Ph=（~\~x,~y）,Pt=（l-x,-y）,.?.成?（而+陶=（-x,小一y）?（—2x,

—2），）=2年+/一小y）=2f+Q—坐｝—；］z2x（—（）=-*當(dāng)且僅當(dāng)x=0,y=坐時(shí)，或（而+宿

3

取得最小值，最小值為一名故選B.

幾何法如圖②所示，而+叱=2用（Q為BC的中點(diǎn)），則可?（彷+無）=2可?用.

;

B0c圖②

要使成?用最小，則可與無）方向相反，即點(diǎn)P在線段AO上，則（2可?可%,in=-2|可||可問題轉(zhuǎn)化

為求同質(zhì)|的最大值.又當(dāng)點(diǎn)尸在線段AD上時(shí)，網(wǎng)+1用|=|硒=2x^=小，.?.網(wǎng)用區(qū)（聞中電

2=（坐）=,,；.［可.（彷+必］min=（2或協(xié)）min=-2x^=—1.故選B.

極化恒等式法設(shè)8c的中點(diǎn)為。，AO的中點(diǎn)為例，連接OP,PM,...可?（防+元）=2防月=2|麗

1aa

|2一習(xí)而并=2|麗|2一聲一,當(dāng)且僅當(dāng)M與。重合時(shí)取等號(hào).

B

D28.已知正三角形48c內(nèi)接于半徑為2的圓