《復(fù)變函數(shù)與積分變換》試卷和答案

.../?復(fù)變函數(shù)與積分變換?期末試題〔A題號(hào)一二三四五六總分得分得分得分得分得分一．填空題〔每小題3分,共計(jì)15分1．的幅角是〔；2.的主值是〔；3.,〔；4．是的〔極點(diǎn)；5．,〔；得分得分二．選擇題〔每小題3分,共計(jì)15分1．解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為〔；〔A；〔B；〔C；〔D.2．C是正向圓周,如果函數(shù)〔,則．〔A；〔B；〔C；〔D.3．如果級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂,則級(jí)數(shù)在〔A點(diǎn)條件收斂；〔B點(diǎn)絕對(duì)收斂；〔C點(diǎn)絕對(duì)收斂；〔D點(diǎn)一定發(fā)散．４．下列結(jié)論正確的是<>〔A如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),則在點(diǎn)一定解析；<B>如果在C所圍成的區(qū)域內(nèi)解析,則〔C如果,則函數(shù)在C所圍成的區(qū)域內(nèi)一定解析；〔D函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是、在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)．5．下列結(jié)論不正確的是〔．<A><B><C><D>得分三．按要求完成下列各題〔每小題10分,共計(jì)40分得分〔1設(shè)是解析函數(shù),求〔2．計(jì)算其中C是正向圓周：；〔3計(jì)算〔4函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面上有什么類(lèi)型的奇點(diǎn)？,如果有極點(diǎn),請(qǐng)指出它的級(jí).得分四、〔本題14分將函數(shù)在以下區(qū)域內(nèi)展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)；得分〔1,〔2,〔3得分五．〔本題10分用Laplace變換求解常微分方程定解問(wèn)題得分得分六、〔本題6分求的傅立葉變換,并由此證明：得分?復(fù)變函數(shù)與積分變換?期末試題〔A答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一．填空題〔每小題3分,共計(jì)15分1．的幅角是〔；2.的主值是〔；3.,〔0,4．是的〔一級(jí)極點(diǎn)；5．,〔-1；二．選擇題〔每題4分,共24分1．解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為〔B；〔A；〔B；〔C；〔D.2．C是正向圓周,如果函數(shù)〔D,則．〔A；〔B；〔C；〔D.3．如果級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂,則級(jí)數(shù)在〔C〔A點(diǎn)條件收斂；〔B點(diǎn)絕對(duì)收斂；〔C點(diǎn)絕對(duì)收斂；〔D點(diǎn)一定發(fā)散．４．下列結(jié)論正確的是<B>〔A如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),則在點(diǎn)一定解析；<B>如果在C所圍成的區(qū)域內(nèi)解析,則〔C如果,則函數(shù)在C所圍成的區(qū)域內(nèi)一定解析；〔D函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是、在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)．5．下列結(jié)論不正確的是〔D．三．按要求完成下列各題〔每小題10分,共40分〔1．設(shè)是解析函數(shù),求解：因?yàn)榻馕?由C-R條件,給出C-R條件6分,正確求導(dǎo)給2分,結(jié)果正確2分。〔2．計(jì)算其中C是正向圓周：解：本題可以用柯西公式\柯西高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算也可用留數(shù)計(jì)算洛朗展開(kāi)計(jì)算,僅給出用前者計(jì)算過(guò)程因?yàn)楹瘮?shù)在復(fù)平面內(nèi)只有兩個(gè)奇點(diǎn),分別以為圓心畫(huà)互不相交互不包含的小圓且位于c內(nèi)無(wú)論采用那種方法給出公式至少給一半分,其他酌情給分。〔3．解：設(shè)在有限復(fù)平面內(nèi)所有奇點(diǎn)均在：內(nèi),由留數(shù)定理〔5分〔8分〔10分〔4函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面上有什么類(lèi)型的奇點(diǎn)？,如果有極點(diǎn),請(qǐng)指出它的級(jí).解：〔1〔2〔3〔4〔5備注：給出全部奇點(diǎn)給5分,其他酌情給分。四、〔本題14分將函數(shù)在以下區(qū)域內(nèi)展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)；〔1,〔2,〔3解：〔1當(dāng)而6分〔2當(dāng)=10分〔3當(dāng)14分每步可以酌情給分。五．〔本題10分用Laplace變換求解常微分方程定解問(wèn)題：解：對(duì)的Laplace變換記做,依據(jù)Laplace變換性質(zhì)有…〔5分整理得…〔7分…〔10分六、〔6分求的傅立葉變換,并由此證明：解：3分4分-5分,6分?復(fù)變函數(shù)與積分變換?期末試題〔B題號(hào)一二三四五六總分得分一．填空題〔每小題3分,共計(jì)15分1．的幅角是〔；2.的主值是〔；3.=〔,在復(fù)平面內(nèi)處處解析．4．是的〔極點(diǎn)；5．,〔；二．選擇題〔每小題3分,共計(jì)15分1．解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為〔；〔A；〔B；〔C；〔D.2．C是正向圓周,如果函數(shù)〔,則．〔A；〔B；〔C；〔D.3．如果級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂,則級(jí)數(shù)在〔A點(diǎn)條件收斂；〔B點(diǎn)絕對(duì)收斂；〔C點(diǎn)絕對(duì)收斂；〔D點(diǎn)一定發(fā)散．４．下列結(jié)論正確的是<>〔A如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),則在點(diǎn)一定解析；<B>如果,其中C復(fù)平面內(nèi)正向封閉曲線(xiàn),則在C所圍成的區(qū)域內(nèi)一定解析；〔C函數(shù)在點(diǎn)解析的充分必要條件是它在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)一定可以展開(kāi)成為的冪級(jí)數(shù),而且展開(kāi)式是唯一的；〔D函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是、在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)．5．下列結(jié)論不正確的是〔．〔A、是復(fù)平面上的多值函數(shù)；是無(wú)界函數(shù)；是復(fù)平面上的有界函數(shù)；〔D、是周期函數(shù)．得分三．按要求完成下列各題〔每小題8分,共計(jì)50分得分〔1設(shè)是解析函數(shù),且,求．〔2．計(jì)算．其中C是正向圓周；〔3．計(jì)算,其中C是正向圓周；〔4．利用留數(shù)計(jì)算．其中C是正向圓周；〔5函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面上有什么類(lèi)型的奇點(diǎn)？,如果有極點(diǎn),請(qǐng)指出它的級(jí).得分四、〔本題12分將函數(shù)在以下區(qū)域內(nèi)展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)；得分〔1,〔2,〔3得分五．〔本題10分用Laplace變換求解常微分方程定解問(wèn)題得分得分六、〔本題8分求的傅立葉變換,并由此證明：得分?復(fù)變函數(shù)與積分變換?期末試題簡(jiǎn)答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)〔B題號(hào)一二三四五六總分得分得分得分得分得分一．填空題〔每小題3分,共計(jì)15分1．的幅角是〔；2.的主值是〔；3.,〔0；4．,〔0；5．,〔0；得分得分二．選擇題〔每小題3分,共計(jì)15分1．是解析函數(shù)的實(shí)部,則〔A；〔A；〔B；〔C；〔D.2．C是正向圓周,如果函數(shù)〔A,則．〔A；〔B；〔C；〔D.3．如果級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂,則級(jí)數(shù)在<C>〔A點(diǎn)條件收斂；〔B點(diǎn)絕對(duì)收斂；〔C點(diǎn)絕對(duì)收斂；〔D點(diǎn)一定發(fā)散．４．下列結(jié)論正確的是<C>〔A如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),則在點(diǎn)一定解析；<B>如果,其中C復(fù)平面內(nèi)正向封閉曲線(xiàn),則在C所圍成的區(qū)域內(nèi)一定解析；〔C函數(shù)在點(diǎn)解析的充分必要條件是它在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)一定可以展開(kāi)成為的冪級(jí)數(shù),而且展開(kāi)式是唯一的；〔D函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是、在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)．5．下列結(jié)論不正確的是〔C．〔A是復(fù)平面上的多值函數(shù)；〔B是無(wú)界函數(shù)；〔C是復(fù)平面上的有界函數(shù)；〔D是周期函數(shù)．得分三．按要求完成下列各題〔每小題10分,共計(jì)40分得分〔1求使是解析函數(shù),解：因?yàn)榻馕?由C-R條件,給出C-R條件6分,正確求導(dǎo)給2分,結(jié)果正確2分。〔2．．其中C是正向圓周；解：本題可以用柯西公式\柯西高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算也可用留數(shù)計(jì)算洛朗展開(kāi)計(jì)算,僅給出用前者計(jì)算過(guò)程因?yàn)楹瘮?shù)在復(fù)平面內(nèi)只有兩個(gè)奇點(diǎn),分別以為圓心畫(huà)互不相交互不包含的小圓且位于c內(nèi)〔3．計(jì)算,其中C是正向圓周；解：設(shè)在有限復(fù)平面內(nèi)所有奇點(diǎn)均在：內(nèi),由留數(shù)定理〔5分〔4函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面上有什么類(lèi)型的奇點(diǎn)？,如果有極點(diǎn),請(qǐng)指出它的級(jí).給出全部奇點(diǎn)給5分。其他酌情給分。得分得分四、〔本題14分將函數(shù)在以下區(qū)域內(nèi)展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)；〔1,〔2,〔3〔1,〔2,〔3解：〔1當(dāng)而6分〔2當(dāng)=10分〔3當(dāng)