人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪教師用書(shū)：第四章三角函數(shù)

」第四章三角函數(shù)（必修第一冊(cè)）

第1節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

程標(biāo)準(zhǔn)要求

1.了解任意角的概念和弧度制的概念.

2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.

3.理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.

6歸激吻夯實(shí)四基

必備知識(shí)?課前回顧

醫(yī)知識(shí)梳理

1?角的概念的推廣

⑴定義:角可以看成一條射線(xiàn)繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.

（按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.

⑵分類(lèi)（一一一

（按終邊位置不同分為象限角和軸線(xiàn)角.

⑶終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成

一個(gè)集合S={B|B=a+k?360。，k￡Z}.

2.弧度制

（1）定義:長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符

號(hào)rad表示,讀作弧度.正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是一

個(gè)負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是。

⑵角a的弧度數(shù)公式:在半徑為r的圓中，弧長(zhǎng)為1的弧所對(duì)的圓心

角為arad,則|a|3

(3)角度制和弧度制的互化:180°="rad,1°=—rad心0.01745

--180

rad,1rad=(—)°心57.30°=57°18'.

TT

(4)扇形的弧長(zhǎng)公式：1=|a|,吟扇形的面積公式:$=?廠(chǎng)曰a|?r2.

3.任意角的三角函數(shù)

(1)定義

設(shè)a是一個(gè)任意角，a￡R，它的終邊0P與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么

sina=y,cosa=x,tana=^(xW0).

X

(2)三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律

三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

⑶任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)

設(shè)P(x,y)是角a終邊上異于原點(diǎn)0的任一點(diǎn),其到原點(diǎn)0的距離為r,

貝！Jsina=-,cosa=^,tana=-(XTT0).

rrx

匡重要結(jié)論

1.扇環(huán)的面積公式S=1(l+1')(r-r’).其中1,1'是扇環(huán)的兩條弧

長(zhǎng),r,r'是兩條弧所在圓的半徑，且r>r'.

2.面積(周長(zhǎng))一定的扇形,周長(zhǎng)最小(面積最大)時(shí),扇形的弧長(zhǎng)1與

半徑r滿(mǎn)足l=2r,即扇形圓心角等于2rad.

3.若角ae(0,]),則sina<a<tana.

帚點(diǎn)自就

1.角-860°的終邊所在的象限是(C)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解析:-860。=-2X360°-140°,-860°和-140°的終邊相同，故-860°

的終邊在第三象限.故選C.

2.下列與？的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是(C)

A.2kn-45°(keZ)

B.k?360°JI(kez)

+4-

C.k?360°-315°(kez)

D.kJi+—(kez)

4

解析:與F的終邊相同的角可以寫(xiě)成2kn+：(k￡Z),但是角度制與弧

44

度制不能混用，所以只有C正確.故選C.

3.若角。同時(shí)滿(mǎn)足sin且tan。<0,則角B的終邊一定落在

(D)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解析：由sin9<0,可知9的終邊可能位于第三或第四象限，也可能與

y軸的非正半軸重合；由tan9<0,可知0的終邊可能位于第二或第

四象限.故9的終邊只能位于第四象限.故選D.

4.已知角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)為M4y),則sina等于(B)

+

V-3-V-3

22

AC.B.

D.+

VT2-VT2

解析：由題意知d=(/+y2=l,所以y=±f.由三角函數(shù)的定義知sin

a=y=±y.故選B.

5.角-225°=弧度，這個(gè)角在第象限.

答案:丹二

4

6.已知半徑為120mm的圓上,有一條弧長(zhǎng)是144mm,則該弧所對(duì)的圓

心角的弧度數(shù)為rad.

解析：由題意矢口a=-=—rad=l.2rad.

r120

答案：1.2

美》考點(diǎn)旗實(shí)四翼

關(guān)鍵能力?課堂突破

慢考點(diǎn)一象限角及終邊相同的角

1.若角a是第二象限角，則溪（C）

A.第一象限角B,第二象限角

C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角

解析:因?yàn)閍是第二象限角，

所以1+2k<a<JI+2k,keZ,

所以E+kn感G+k無(wú)，k￡Z.

422

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),3是第一象限角；

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),與是第三象限角.

綜上,￡是第一或第三象限角.故選C.

2.-2021°角是第象限角，與-2021°角終邊相同的最小正

角是,最大負(fù)角是.

解析：因?yàn)?2021°=-6X360°+139°,所以-2021°角的終邊與139

角的終邊相同.所以-2021°角是第二象限角，與-2021。角終邊相同

的最小正角是139°.又139°-360°=-221°,故與-2021°角終邊相

同的最大負(fù)角是-221°.

答案：二139°-221°

3.終邊在直線(xiàn)y=V3x上，且在［-2n,2弘）內(nèi)的角a的集合

為_(kāi)_________________

解析:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出直線(xiàn)y=V3x,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸

的夾角是泉在［0,2m）內(nèi)，終邊在直線(xiàn)y=V3x上的角有兩個(gè):泉學(xué)在

［-2H,0）內(nèi)滿(mǎn)足條件的角有兩個(gè):-皆,-曰,故滿(mǎn)足條件的角a構(gòu)成的

隹心頭U—里一空二空1

4.已知角a的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)（不包括邊界），則角

a的集合用弧度制可表示為.

y

/

30。八、八45。_

0*

解析:在［0,2）內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為（余乎,

所以所求角的集合為

{a2kn+-<a<2kiT+—,k^Z）.

46

答案：{a2/CTT+-<a<2kn+—,keZ}

46

A題后悟通

1.象限角的判定有兩種方法：

⑴圖象法:在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直

接判斷已知角是第幾象限角.

⑵轉(zhuǎn)化法:先將已知角化為k-360°+a(0°Wa<360°,k￡Z)的形

式，即找出與已知角終邊相同的角a,再由角Q終邊所在的象限判斷

已知角是第兒象限角.

2.由a所在象限判定］所在象限,應(yīng)先確定￡的范圍，并對(duì)整數(shù)k的奇、

偶情況進(jìn)行討論.

3.表示區(qū)間角的三個(gè)步驟：

(1)先按逆時(shí)針?lè)较蛘业絽^(qū)域的起始和終止邊界.

(2)按由小到大的順序分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的-360°?360°

范圍內(nèi)的角a和B,寫(xiě)出最簡(jiǎn)區(qū)間.

⑶起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角a,B再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)間角

集合.

版考點(diǎn)二弧長(zhǎng)公式與扇形的弧長(zhǎng)和面積公式

CUD已知一扇形的圓心角為a,半徑為R,弧長(zhǎng)為1.若aq,R=10cm,

求扇形的面積.

解：由已知得a苫,R=10cm,

所以S扇形=1a?Rz=iXX102~5gK(cm2).

［典例遷移1］若本例條件不變,求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在弓形的面

積.

解:l=a?R=^X10=等(cm),

S弓形二s扇形一s三角形

?1?R--?R2?sin

=lx—X10--X102X—

5011-75^3(cm2)

［典例遷移2］若本例條件改為：“若扇形周長(zhǎng)為20cm”，當(dāng)扇形的圓

心角a為多少弧度時(shí),這個(gè)扇形的面積最大？

解：由已知得，l+2R=20,

即l=20-2R(0<R<10).

所以S=|1R=|(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,所以當(dāng)R=5cm時(shí),S取得

最大值25cm2,此時(shí)1=10cm,a=2rad.

口解題策年

1.應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法

(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度；

⑵求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí),常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題,利用

配方法使問(wèn)題得到解決.

2.求扇形面積的關(guān)鍵是求扇形的圓心角、半徑、弧長(zhǎng)三個(gè)量中的任意

兩個(gè)量.

f考點(diǎn)三三角函數(shù)定義

幅度一三角函數(shù)定義的應(yīng)用

(例匠D已知角a的終邊過(guò)點(diǎn)P(-8m,-6sin30°)，且cosa=t,則m

的值為()

解析：因?yàn)閞=V64m24-9,

r*r*I、I~S1TL4

所以cosa=V-6=47=n2=+9=--5,

所以m>0,所以廣工三,即m="故選B.

647n?+9252

利用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值的方法

(1)已知角a終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r,

然后用三角函數(shù)的定義求解.

⑵已知角a的終邊所在的直線(xiàn)方程,則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo),

求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,然后用三角函數(shù)的定義求解.

。角度二三角函數(shù)值的符號(hào)判定

CMO(2021,山西四校聯(lián)考)已知sin20〈0,且|cos9|=-cos9,

則點(diǎn)P(tan0,sin。)在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解析：由|cos9|=-cos?？芍猚os9W0,由sin20=2sin9cos

0<0可知cos6<0,sin0>0,所以tan0<0,所以點(diǎn)P(tan9,sin

0)在第二象限.故選B.

解題策略:

三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)與角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)密切相

關(guān).sin。在一、二象限為正,cos。在一、四象限為正,tan。在一、

三象限為正.特別地,三角函數(shù)的正負(fù)有時(shí)還要考慮坐標(biāo)軸上的角，如

sin—1>0,cos=~1<0.

2

［針對(duì)訓(xùn)練］

1.已知角0的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸正半軸重合，若A(x,3)是

角。終邊上一點(diǎn)且cos。=-呼,則乂等于()

A.-3V3B.3^3C.1D.-1

解析:cose=-等〈0及A(x,3)是角9終邊上一點(diǎn)=x<0,由三角函數(shù)

10

的定義,得心?手,解得x=-1.故選D.

VX2+910

2.若sinatana<0,且則角a是()

tana

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

解析：由sinatana〈0可知sina,tana異號(hào)，則a為第二或第

三象限角；由羅<0可知cosa,tana異號(hào)，則a為第三或第四象限

tana

角.綜上可知，a為第三象限角.故選C.

息備選例題

CSD若a=k?180。+45。(k￡Z),則&在()

A.第一或第三象限B.第一或第二象限

C.第二或第四象限D(zhuǎn).第三或第四象限

解析：當(dāng)k=2n(n￡Z)時(shí),a=2n?180°+45°=n-360°+45°,a為第

一象限角.當(dāng)k=2n+l(n￡Z)時(shí)，a

=(2n+l)-180°+45°=n-360°+225°,a為第三象限角.所以a為

第一或第三象限角.故選A.

C1D已知扇形的周長(zhǎng)是4cm,則扇形面積最大時(shí)，扇形的圓心角的弧

度數(shù)是()

1

A.2B.1C.-D.3

2

解析:設(shè)此扇形的半徑為r,弧長(zhǎng)為1,圓心角為a,則2r+l=4,即

l=4-2r(0<r<2).面積S=1r1=1r(4-2r)=-r2+2r=-(r-1)2+1,故當(dāng)r=l

時(shí)，S最大,這時(shí)l=4-2r=2.從而a=-=^=2.故選A.

r1

C?D在平面直角坐標(biāo)系中，若角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(sin=cos學(xué)，則

sin(:n+a)等于()

A.--2B.--2

C.-D.—

22

解析:易知sincos則P喙.

1

由三角函數(shù)的定義可得sina_2

jT)2+C)22

則sin(冗+a)=-sina=彳.故選B.

麗如圖所示,質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),其初始位置為

Po(V2,-V2),角速度為1,那么點(diǎn)P到x軸的距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)

圖象大致為()

D

解析：因?yàn)镻°(魚(yú),-&)，所以NP°Ox=-;.按逆時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)間t后,得/

POx=t--.由三角函數(shù)的定義知，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2sin(t-：),因此

44

d=21sin(t--)].

令t=0,則d=2|sin(-^)|=V2,當(dāng)t三時(shí),d=0.故選C.

已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為1,那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧

長(zhǎng)是，

解析:如圖所示,設(shè)半徑為R,

則1,所以

弧長(zhǎng)1=aR=2R=—.

1.給出下列四個(gè)命題：

①-尊是第四象限角；②;是第三象限角；③-410°是第四象限角;

43

@-300°是第一象限角.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（C）

A.1B.2C.3D.4

解析:一史是第三象限角，故①錯(cuò)誤=冗從而q是第三象限角，②

4333

正確.-410°=-360°-50°,從而③正確.-300°=-360°+60°,從而

④正確.故選C.

2.已知角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（-ay）,則sina?tana等

于（C）

A.B.±—C.--D.±-

3322

解析:由|OP1=；+y2=l,

4

夕日

得y2q3,y_=±IVy3-

當(dāng)y=?時(shí),sina=/,tana=-V3,

3

止匕時(shí),sina?tana

當(dāng)y=一?時(shí),sina=_?,tana=V3,

此時(shí),sina,tana=-|.故選C.

3.已知圓上的一段弧長(zhǎng)等于該圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng),則這段弧所對(duì)圓

心角的弧度數(shù)為（C）

A.—B.—C.V2D.2V2

42

解析:設(shè)圓的半徑為r,則該圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為四r,即這段圓弧

長(zhǎng)為四r,則該圓弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為生=VI故選C.

r

4.已知點(diǎn)M在角9終邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上,且|0M|=2,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

C)

A.(2cos9,2sin9)B.(-2cos9,2sin9)

C.(-2cos9,-2sin9)D.(2cos。，-2sin9)

解析：由題意知,M的坐標(biāo)為(2cos(n+e),

2sin(ii+9)),gp(-2cos9,-2sin。).故選C.

5.在(0,2n)內(nèi)，使sinx>cosx成立的x的取值范圍為(D)

A.(HB.(李n)

C.(；,n)U(y,y)D.(李y)

解析:如圖所示,找出在(0,2h)內(nèi)，使sinx=cosx成立的x的值,

sin%cos:告sin詈cos斗=咚.滿(mǎn)足題中條件的角x￡(：，￥).

44244244

故選D.

6.(多選題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a以O(shè)x為始邊,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)

P(-l,m)(m>0),則下列各式的值一定為負(fù)的是(CD)

A.sina+cosaB.sina-cosa

Cc.si.nacosanD.-si-n-a

tana

解析:由已知得r=|OP|=Vm24-1,則sina=~罟=〉0,cosa

vmz+l

二一焉〈°，

tana=-m〈0,所以sina+cosa的符號(hào)不確定，sina-cosa>0,

sinQcosa<0,^^=cosa<0.故選CD.

tana

7.已知扇形的圓心角為g面積為三,則扇形的弧長(zhǎng)等于

63

解析:設(shè)扇形的半徑為r,弧長(zhǎng)為1,

fl_TI

則卜一&;解得%

-lr=-,（r=2.

（23

答案《

8.若a=l560°,角。與角a終邊相同，且-360°<9<360°,

貝I」9=.

解析：因?yàn)閍=1560°=4X360°+120°,

所以與a終邊相同的角為360°Xk+120°,keZ,

令k=T或k=0,可得。=-240°或0=120°.

答案：120°或-240°

B級(jí)綜合運(yùn)用練

9.AABC為銳角三角形,若角0的終邊過(guò)點(diǎn)P（sinA-cosB,cosA-sinC）,

則的值為（）

人」sin磯|cos0）tan?"J-八B）

A.1B.-lC.3D.-3

解析：由aABC為銳角三角形,可知A+B>p即Am-B,又A,Be（0,.

所以sinA>cosB,所以sinA-cosB>0,同理cosA-sinC<0,所以9

為第四象限角，所以sin0<0,cos0>0,tan0〈0,所以普+=+

sinO|cos6

4-=-1+1-1=-1.故選B.

）tan。

10.已知角a的終邊上有一點(diǎn)坐標(biāo)是（~|,爭(zhēng)，則cosa=,

tana=.

解析：因?yàn)榻莂的終邊上有一點(diǎn)坐標(biāo)是P（4平），

所以10P|=］（—}2+（當(dāng)

cosa=T^=--,tana=-=-V=-2V2.

\OP3%-i

3

答案:q-2V2

11.頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊在x軸的正半軸上的角a,B的終邊與單位圓交

于A(yíng),B兩點(diǎn)，若a=30°,B=60°,貝IJ弦AB的長(zhǎng)為.

解析：由三角函數(shù)的定義得A(cos30°,sin30°),

B(cos60°,sin60°)，即A鳥(niǎo)爭(zhēng).

所以IAB|2(y-1)2=72X哼

+

答案:更出

12.若兩個(gè)圓心角相同的扇形的面積之比為1:4,則這兩個(gè)扇形的周

長(zhǎng)之比為.

解析:設(shè)兩個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為a,半徑分別為r,R(其中r<R),

12

則所以r：R=1：2,兩個(gè)扇形的周長(zhǎng)之比為薩：2.

-aR242R+aR

2

答案：1：2

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a與角B均以O(shè)x為始邊,它們的終邊

關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).若sina=|,貝ijsinB=.

解析：由已知可得,sinB=sin(2kn+n-a)=sin(8-a)=sina=

1(kez).

答案§

14.分別以邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)B,C為圓心，1為半徑作圓

弧爬,前交于點(diǎn)E,則曲邊三角形ABE的周長(zhǎng)為.

解析:如圖，連接BE,EC.因

為兩圓半徑都是1,正方形邊

長(zhǎng)也是1,所以4BCE為正三角形，圓心角NEBC,ZECB都是泉

，余三義17，NEBAWTW，l=p所以曲邊三角形ABE的周長(zhǎng)是

DC33236Ht66

1+―+-1+—.

362

答案:1+1

15.割圓術(shù)的核心思想是將一個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形等分成n個(gè)等腰三

角形,如圖所示，當(dāng)n變得很大時(shí)一,這n個(gè)等腰三角形的面積之和近似

等于圓的面積，則運(yùn)用割圓術(shù)的思想得到sin60的近似值是.

解析:設(shè)圓的半徑為r,則圓的面積為S=Jir2,

將一個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形等分成n個(gè)等腰三角形,則每個(gè)等腰三角形

的頂角為也，

n

即n個(gè)等腰三角形的面積為S'=nX；Xr2sin出一，

2n

根據(jù)題意知n^^nXiX/sin出一，

2n

當(dāng)n=60時(shí)，sin6°^―.

30

答案琮

C級(jí)應(yīng)用創(chuàng)新練

16.已知圓0與直線(xiàn)1,相切于點(diǎn)A,點(diǎn)P,Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā),P沿著直

線(xiàn)1'向右,Q沿著圓周按逆時(shí)針以相同的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A

時(shí)一，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng),連接0Q,0P（如圖），則陰影部分面積S?S2的大小

關(guān)系是.

解析：因?yàn)橹本€(xiàn)「與圓0相切,所以0A1AP,設(shè)磚的長(zhǎng)為1,

所以S扇形AOQ=5?1?r=-?1?0A,

SAAOP=|?0A-AP,

因?yàn)?=AP,

所以S扇形AOQ=SziAOP,

即S扇形AOQ-S扇形AOB=S/iAOp—S扇形AOB,

所以S1=S2.

答案:S1二S2

17.一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個(gè)單位圓（半徑為1的圓）上爬動(dòng),

若兩只螞蟻均從點(diǎn)A（1,0）同時(shí)逆時(shí)針勻速爬動(dòng),若紅螞蟻每秒爬過(guò)a

角，黑螞蟻每秒爬過(guò)B角（其中00<a<p<180°）,如果兩只螞蟻都

在第14秒時(shí)回到A點(diǎn)，并且在第2秒時(shí)均位于第二象限，則a=:

B.

解析:根據(jù)題意可知14a,14B均為360°的整數(shù)倍,故可設(shè)14a=

m?360°,m￡Z,14B=n?360°,n￡Z,從而可知Q?180°

7

6苫?180°,m,nez.

又由兩只螞蟻在第2秒時(shí)均位于第二象限,則2a,2B在第二象限.

又0°<a<0<180°，從而可得0°<2a<23<360°,

因此2a,26均為鈍角,即90°<2a<20<180°.

于是45°<a<90°,45°<P<90°.

所以45。<--180°<90°,45°<--180°<90°，即々mG,2<n2

774242

又因?yàn)閍〈B,所以m<n,從而可得m=2,n=3.即a=,,B羅二.

較生.360°540。

e、?77

第2節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

西裸程標(biāo)準(zhǔn)要求

1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin%+cos2a=1,空巴=tana.

cosa

2.借助單位圓的對(duì)稱(chēng)性,利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式0土a,n土a的

正弦、余弦、正切).

⑹依雙材芬集田條

必備知識(shí)?課前回顧

的知識(shí)梳理

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

(1)平方關(guān)系:sin2a+cos2a=_1.

(2)商數(shù)關(guān)系:tana=獨(dú)^(aW^+kJi,k￡Z).

cosa2

2.誘導(dǎo)公式

組

—

二三四五八七八

序

2kJt+a

71,31T

角Jl+Q-aJT-aH-a一+a--a—+a

22

(kGZ)22

正一sin-sinsinCOSCOS-COS-cos

sina

弦aaaaaaa

余-coscos-cossin-sin-sinsin

cosa

弦aaaaaaa

X

正tanatan-tan-tanXXX

切aaaXXX

口

函數(shù)名不變,符號(hào)看象限函數(shù)名改變,符號(hào)看象限

訣

ffWI

誘導(dǎo)公式的記憶口訣可以概括為“奇變偶不變,符號(hào)看象限”這里的

奇、偶指的是k叫土a(k￡Z)中k是奇數(shù)還是偶數(shù)，“符號(hào)看象而

指的是把a(bǔ)看成銳角時(shí),k-§Ta(k￡Z)的三角函數(shù)值的符號(hào)，艮詬

三角函數(shù)值的符寫(xiě)

?對(duì)點(diǎn)自測(cè)，-

1.化簡(jiǎn)sin870°的值是(A)

A.-B.--C.—D.--

2222

解析：sin870°=sin(720°+150°)=sin(180°-30°)=.故選A.

2.已知a是第三象限角，sin&=-亮,則cosa等于(B)

A.--5B,-1-2C.—5D,—12

13131313

解析:因?yàn)閟in。=-卷，&是第三象限角，

所以cosa=-Vl-sin2a=-1|.故選B.

3.已矢口sinacosa=-,jl,—<a<—,貝！Jcosa-sina的值

842

為

解析:因?yàn)榘搿碼〈？,

42

所以cosa<0,sina<0,且cosa>sina,

所以cosa-sina>0.

13

又(cosa-sina)L，=l-2sinacos”卜2義夫

所以cosa-sina=^.

2

答案片

4.已矢口cosaa<0,貝！J

cos(^+a)

的值為_(kāi)_______

tan(a+ir)cos(-a)tana

解析:因?yàn)榕ca<0,

所以sina2二一辿

5

所以tana=-2y/6.

則cos?+a)__sina

、tan(a+it)cos(-a)tanatana?cosa?tana

_1_1_V6

tana2A/612*

答案喑

美中溶點(diǎn)砥實(shí)四翼

關(guān)鍵能力?課堂突破

值考點(diǎn)一同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用

口角度一“知一求二”問(wèn)題

（SO已知Ti）,tana=—條貝I」cos（-a—'等于（）

解析:因?yàn)閠ana=吧=-：，

cosa3

一3

所以cosa=-sina,

4

所以sin2a+cos?a=sin?a+—sin2a=^sin2a=1,

1616

所以sin2a=1^.

又a￡§R),所以sina

所以cos(~a-^)=cos(1+a)=-sina=-^.故選C.

口解題策略I

已知sina,cosa,tana中的一個(gè)求另外兩個(gè)的值.解決此類(lèi)問(wèn)題

時(shí)，直接套用公式sir?a+cos2a=1及tana=包吧即可，但要注意a的

cosa

取值范圍，即三角函數(shù)值的符號(hào).

口角度二sina,cosa的齊次式問(wèn)題

已知叩a+3cos05,則2&l

cos+sin2a的值是()

3cosa-sina2

33

A.-B.--C.-3D.3

55

解析:由M3c°sa=5,得巴巴3=5,

3cosa-sina3-tana

可得tana=2,則cos2a+|sin2a=cos-a+sinacosa

cos2a+sinacosa1+tana3故選卜

cos2a+sin2a1+tan2a5

解題策略

1.分式中分子與分母是關(guān)于sina,cosa的齊次式,往往轉(zhuǎn)化為關(guān)

于tana的式子求解.

2.關(guān)于sina,cosa的二次齊次式，要用到“1”代換，即l=sin2a

+cos2a.

口角度三"sina+cosa,sinacosa”之間的關(guān)系

已知與a<O,sina+cos*

(1)求sina-cosa的值;

⑵求tana；

⑶求1的值.

cos2a-sin2a

解：(1)因?yàn)閟ina+cosa=-,

所以(sina+cosa)2=(1)2,

即l+2sinacosa噌，所以2sinacosa=_||.

因?yàn)?sina-cosa)~=sin2a-2sinacosa+cos2a=l-2sina

cosa=1,,+2—4=—49

2525

又因?yàn)?%a<0,所以sina<0,cosa>0,

所以sina-cosa<0.

7

所以sina-cosa

(2)由已知條件及⑴可知

(-3

sina+cosa=|Isina=一

解得145

sina-cosa=(cosa=-,

所以tana

4

(3)由(1)可得

1_1

cos2a-sin2a(cosa+sina)(cosa-sina)

所以125

-X-7cos2a-sin2a7

55

解題策略

對(duì)于sina+cosa,sina-cosa,sinacosa這三個(gè)式子，利用

(sina+cosa)2=1+2sinacosa,可以知一求二.

［針對(duì)訓(xùn)練］

1.若a￡(1,JI),sin(冗-a)=1，則tana等于()

A4「4八3r\3

A.—B.-C.—D.-

3344

解析：因?yàn)閍￡G，兀)，sina=j,所以cosa=-±所以tana=-：.故

2554

選c.

2.已知tana=-三,則sina?(sina-cosa)等于()

4

A.-B.-C.-D.-

252154

解析：sina?(sina-cosa)=sin2*49a-sina?cosa

_sin2a-sina?cosa_tan2a-tana

sin2a+cos2atan2a+l'

將tana=-：代入，

4

得原式一(?、喂.故選A.

彳考點(diǎn)二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

1.若COS(1-a)等，則COS(n-2a)等于(D)

A.-B.-C.--D.--

9999

解析:由cos(1-a)=y,得sina=y.

所以cos(JI-2a)=-cos2a=-(l-2sin"a)=2sin2a-1=2X--l=--.故

99

選D.

2.已矢口sin(a+^)=!|,貝！Jcos(，一a)=.

解析:因?yàn)?a+$+(?_a)q.

所以cos(--a)=cos[--(Q+-)]=sin(a+-)=—

答案噌

tan(ir+a)cos(2n+a)sin(a一等)

3.化簡(jiǎn):

cos(-a-3n)sin(-3n-a)

■匚tanacosasin［-2-n+(a+^)］

解析：原式=―-——77-zo―臺(tái)

cos(3n+a)L_sin(3Ti+a)J

_tanacosasin(^+a)^tanacosacosa

(-cosa)sina(-cosa)sina

——.t.a..n...a..c...o..s..a..=--s--i--n--a--?---c--o---s-a--二一］.

sinacosasina

答案:T

一題后悟通:

誘導(dǎo)公式用法的一般思路

(1)化負(fù)為正，化大為小，化到銳角為止.

(2)角中含有加減］的整數(shù)倍時(shí),用公式去掉與的整數(shù)倍.

慢考點(diǎn)三兩類(lèi)公式在化簡(jiǎn)與求值中的應(yīng)用

例2已知a為銳角，且2tan(JI-a)-3cos(1+B)+5=0,tan(冗+

a)+6sin(式+B)T=0,則sina的值是()

.3V53^7?3V10n1

A?----D.n-------C.------1J.-

57103

解析：由已知可得-2tana+3sinB+5=0,tana-6sinBT=0,解得

tana=3,又a為銳角，故sina衛(wèi)”.故選C.

10

解題策略

(1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí),關(guān)鍵是尋求

條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形.

(2)注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響.

［針對(duì)訓(xùn)練］

已知aG(y,2n),sin(^+a)=|,貝!Jtan(五+2a)等于()

.472?,25/2,4V2口272

A?----D.士----rC.士D.-----

7575

解析:因?yàn)閍e(y,2JI),sin(］+a)三，

所以cosasina=--tana=sma-2V2.

335cosa

所以tan(it+2a)=tan2a=-2-n?-=—出.故選A.

l-tan2a1-(-2^2)7

E備選例題

C?D已知ae(0,n)，且cos01=譚,則sin(1-a)?tana等于

()

12S12s

A.--B.--C.-D.-

13131313

解析:因?yàn)閍￡(0…)，且cosa=*，所以sina=!|,由誘導(dǎo)公式及

同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系知sin(2-a)?tana=cosa?"￡=sin

2cosa

a=i|,故選C

例2已矢口sinacosa=^,且工<a<-,貝!Jcosa-sina的值為

842

()

A1「11c1、1

A.—B.±一C.——D.——

2242

3,

解析：因?yàn)閟inacosa=-,所以(cosa-sina)2=cos2a-2sina

8

cosa+sin%=l-2sinacosa=l-2義|三,因?yàn)?a《,所以cos

a<sina,即cosa-sina<0,所以cosa-sina=-g.故選D.

2COS(y-0)+COS0

C?若角。滿(mǎn)足=3,則tan0的值為

2sin(TT+J)-3cos(n?

2cos(^-0)+cos0

解析：由

2sin(7i+0)-3cos(n-0)

4日2sin6+cos6_

付-------------=oo,

-2sin6+3cos6

等式左邊分子分母同時(shí)除以cose,

2tan0+l

得=3,解得tan9=1.

-2tan6+3

答案:1

C?）已知sina+cosa=」,且.a＜兀，則--+——-的值

sin(n-a)cos(n-a)

為

解析：由sina+cosa=-［平方得sinacosa=-蓑因?yàn)閍<JI,

I27

所以sinQ-cosa=J（sina4-cosa）-4sinacosa=-,所以

_7

111_1cosa-sinag35

sin（7i-a）cos（7i-a）sinacosasinacosa--12

25

答案冷

l.sin600°的值為（B）

1理1

cV3

-----

2B.22D.2

解析：sin600°=sin（360°+240°）=sin240°=sin（180°+60°解

-sin60°=-日.故選B.

2.已知tanaq,且a金（71,當(dāng)），貝！Jcos（a-］）等于（A）

AV5nV5?2V5n2V5

A.-——D.—C.1J.-

5555

解析:由a￡（冗，爭(zhēng)知a為第三象限角，

sina1一

-_

anacosa2,得sina

（siMa+cos2a=1,

故cos（a-］）=sina=-?.故選A.

3.已知直線(xiàn)2x+y-3=。的傾斜角為。，則黑鬻的值是（C）

A「3B.-2C.|D.3

解析：由已知得tan9=-2,所以嗎1注=段?=-14三.故選C.

sm0-cosOtan0-l-2-13

4.已知sin(53°-a)=*且-270°<a<-90°，則sin(37°+a)等于

D)

A.iB.-lC.辿D.-步

5555

解析:設(shè)53。-a貝l」a=53°-8,所以sin(37°+a)=sin(90°一

B)=cosB.又因?yàn)?270°<a〈一90°,所以143°<B<323°,所以

cosB=-11-5皿20=-誓.故選D.

l+sin2a+cos2a

5.已矢口tana=2,貝I」等于（D）

sin2a-2cos2a

35

A.-B.-C.4D.5

22

l+sin2a+cos2a

解析:

sin2a-2cos2a

_sin2a+2sinacosa+2cos2a

sin2a-2cos2a

2

_tana+2tana+2■=5

tan2a-2

故選D.

6.已矢口sin(]—a)=-[,貝ijcosa)等于(A)

A.".」C"D.-叱

8888

解析:因?yàn)閟in0-a)=-|,所以cos(2°^1TC-2a)=cos[673n+(y-2a)]=

cos[n+(亨-2a)]=-cos(等一2a)=2sin?(；-a)-1=2X

故選A.

7.（多選題）已知x￡R,則下列等式恒成立的是（CD）

A.sin(-x)=sinx

B.sin（皆上COSX

C.cos（-+x）=-sinx

D.cos（x-冗）=-cosx

解析:sin（-x）=-sinx,故A不成立;

sin（--x）=-cosx,故B不成立；

cos（^+x）=-sinx,故C成立；

cos（x-冗）=-cosx,故D成立.故選CD.

8.已矢口a為鈍角，sin（；+a）=|,貝！Jsin（：一a）=,

解析:因?yàn)閍為鈍角，所以cos（；+a）=-?,

所以sina）=cosa）］=cos（^+a）=一

答案:哼

4

9.已知sin（3弘+a）=2sin（史+a）,則包巴"竺二

25sina+2cosa-----------

sin2a=.

解析:因?yàn)閟in（3Ji+a）=2sin（y+a）,

所以-sina=-2cosa,即sina=2cosa.

sina-4cosa_2cosa_4cosa_-2__l

5sina+2cosa10cosa+2cosa126*

因?yàn)閟ina=2cosa,所以tana=2,

所以sin*2a+sin2asin2a+2sinacosa_tan2a+2tana_4+4_8

sin2a+cos2atan2a+l4+15

答案：《8

65

B級(jí)綜合運(yùn)用練

10.已知sina+cosaae（0,五），則1tana等于（A）

21+tana

A.-V7B.V7C.V3D.-V3

解析：因?yàn)閟ina+cosa=|,

所以(sina+cosa)2=l+2sinacosa

4

所以sinacosa=《又因?yàn)閍￡(0,n),

所以sina>0,cosa<0,所以cosa-sina<0,

因?yàn)椋╟osa-sina)2=l-2sinacosa=1-2X(-3=：

V7

所以cosa-sina=--,

2

sina_y/7

所以山￡上藕一。salina午一夜故選卜.

l+tana1+衛(wèi)&cosa+sina一

cosa2

11.已知tan6+4,則sin'8+cos'8等于(D)

tan6

A.-3B.1-C3.-D7.-

8248

22

解析:tan9+■——1=-s-i-n-6-+,--c-o-s-?-=-s-i-n---0-+--c--o-s---0=------1:4,

tan。cos0sin。sin0cos0sin0cos0

所以sin9cos9=?

所以sin19+cos'9=(sinJ9+cos29)2-2sin29cos29=1-2X(?、*

故選D.

12.已知a￡(0,E),a=(sina)sin",b=(cosa)sin",c=(tana)sin

6

則(B)

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.c<a<b

解析：由三角函數(shù)性質(zhì)知，

當(dāng)a￡(0,7)時(shí),sina,cosa,tanae(0,1),

6

22

cosa-tana=-co-s--cr--s-i-na=-l--s-in--a--s-i-n-a,

cosacosa

當(dāng)Q￡(0，m)時(shí),Sinae(o,,

62

ni.i工l-sm2a-sina

貝I]cosa-tana=--------->x0n,

cosa

1

故tana<cosa,tana-sina=sina(----1)>0,

cosa

則tana>sina,

則(sina)si-〈(tana)sina<(cosa)小。，即a<c〈b.

故選B.

13.已知sina)cosa)=||,且。<a貝!Jsina=,

cosa=.

解析:sin(￡-a)cos(~^+a)=(-cosa)?(-sina)=sinacosa=

12

25,

因?yàn)?〈aG,所以0<sina<cosa.

4

又因?yàn)閟in2a+cos2a=1,

所以sina=|,cosa=*

答案|

14.已知sin9+cos0=*9G(0,n),則sin0cos(Jt-

0)=,

tan9=.

解析：因?yàn)閟in9+cos0=|,所以(sin9+cos6)2=l+2sin9cos0=

域，所以sin6cos。=-II.所以sin0cos(n-0)=-sin0cos0

_12

25，

(sin9-cos9)2=l-2sin0cos0勇，因?yàn)?￡(0,加)，所以sin

0>0,

cos9<0,即sin9-cos9>0,所以sin9-cos9=1.聯(lián)立

sin0+cos。=.

75解得sin0=-,cos8二-|.所以tan9=-1.

sin0-cos0=5

答案：n4

15.已知1^2,化簡(jiǎn):.s/y-WR

sinL(k+1)n+ajcos(kir+a)

解析：當(dāng)k=2n(neZ)時(shí),

原式_sin(2nii-a)cos[(2n-l)ir-a]

sin[(2n+l)n+a]cos(2nir+a)

_sin(-a)?cos(-ir-a)

sin(n+a)?cosa

-sina(-cosa)1

=-----------=-l;

-sina?cosa

當(dāng)k=2n+l(n￡Z)時(shí),

sin[(2n+l)Tt-a]?cos[(2n+1-1)n-a\sin(n-a)?cosasina?cosa

原式:?=-1.

sin[(2n+l+l)7i+a]?cos[(2n+l)n4-a]sina?cos(7i+a)sina(-cosa)

綜上,原式=T.

答案:T

16.已知為a3tana--￡=-|

(1)求tana的值；

⑵求』詈誓的值.

sin(--a)

解：⑴令tana=x,貝！Jx-^=-|,

整理得2X2+3X-2=0,解得x=：或x=~2,

因?yàn)橛謅<n,所以tana<0,故tana=-2.

cos(芋+a)-cos(ir-a)_sina+cosa

⑵

sin(--a)cosa

tana+l=-2+l=-l.

C級(jí)應(yīng)用創(chuàng)新練

17.是否存在ae(-p=),Be(0,Ji),使等式sin(3Ji-a)=

V2cosB),V3cos(-a)=-V2cos(弘+B)同時(shí)成立？若存在，求出a,

B的值;若不存在,