吉林省長(zhǎng)春市農(nóng)安縣靠山鎮(zhèn)2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)一個(gè)經(jīng)典問題及其變式（無(wú)答案）

PAGEPAGE4一個(gè)經(jīng)典問題及其變式一、根本結(jié)論1如圖，E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，且角EAF=45度。求證:EF=BE+DF。2如圖正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且BE+DF=EF；求證：∠EAF=45°．

二、變式運(yùn)用3〔2022綿陽(yáng)〕如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°，△ECF的周長(zhǎng)為4，那么正方形ABCD的邊長(zhǎng)為〔〕．

4如圖正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且∠EAF=45°．

〔1〕求證：BE+DF=EF；〔2〕假設(shè)BE=3，DF=2，求AB的長(zhǎng)．5.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn),且∠EDF=45°.將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到△DCM.〔1〕求證：EF=FM〔2〕當(dāng)AE=1時(shí)，求EF的長(zhǎng)．6圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AB、AD上各有一點(diǎn)P、Q，如果△APQ的周長(zhǎng)為2，求∠PCQ的度數(shù)。7如圖,正方形ABCD中,AB=,點(diǎn)E,F分別在BC,CD上,且∠BAE=30°,∠DAF=15°.求△AEF的面積.8(2022十堰〕如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E、F分別在AB，AD上，假設(shè)CE=3，且∠ECF=45°，那么CF的長(zhǎng)為()三、模型區(qū)別9如圖,點(diǎn)E,F分別是正方形ABCD的邊BC,CD上一點(diǎn),且AE平分∠BEF,連AF.〔1〕求證:∠EAF=45°(2)假設(shè)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),AB=6,求S△AEF.10如圖,正方形ABCD中,E為AD上一點(diǎn),BF平分∠EBC交DC于點(diǎn)F.求證：BE=AE+CF四、提高運(yùn)用11如圖，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠DAB．試猜測(cè)DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜測(cè)．12在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點(diǎn)，滿足∠EAF=∠DAB試猜測(cè)當(dāng)∠B與∠D滿足什么條件時(shí)，可使得DE+BF=EF13如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=45度．那么有結(jié)論EF=BE+FD成立；

〔1〕如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF是∠BAD的一半，那么結(jié)論EF=BE+FD是否仍然成立？假設(shè)成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)說明理由．

〔2〕假設(shè)將〔1〕中的條件改為：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，那么結(jié)論EF=BE+FD是否仍然成立？假設(shè)成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．14〔2022德州〕問題背景：如圖1：在四邊形ABC中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)．且∠EAF=60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．

小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是EF=BE+DF；

探索延伸：如圖2假設(shè)在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心〔O處〕北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿