人教版導與練總復習數(shù)學一輪教師用書：第十章第7節(jié)　二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布

第7節(jié)二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布

課程標準要求

1.通過具體實例，了解伯努利試驗,掌握二項分布及其數(shù)字特征,并能

解決簡單的實際問題.

2.了解超幾何分布,理解超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系，并能

解決簡單的實際問題.

3.通過誤差模型，了解正態(tài)分布的意義,理解正態(tài)曲線的性質(zhì)，會用正

態(tài)分布解決實際問題.

①館激材夯實四基

必備知識?課前回顧

臉知識梳理

1.兩點分布

對于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗,用A表示“成功”，彳表示“失敗”,

定義巾答

如果P(A)=p,則P(1)=l-p,那么X的分布列如表所示.

X01

P1-pP

我們稱X服從兩點分布或0—1分布.

一般地,如果隨機變量X服從兩點分布,那么E(X)=p,D(X)=p(l-p).

2.二項分布

(l)n重伯努利試驗

①我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗.

②我們將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱

為n重伯努利試驗.顯然,n重伯努利試驗具有如下共同特征：

同一個伯努利試驗重復做n次;各次試驗的結(jié)果相互獨立.

⑵二項分布

一般地,在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為

p(0<p<l),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為

P(X=k)=C^pk(l-p)nk,k=0,1,2,n.

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機變量X服從二項

分布，記作X?B(n,p).

(3)二項分布的均值與方差

如果X?B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(l~p).

■釋疑

⑴兩點分布是二項分布的特殊情況.

⑵二項分布是放回抽樣問題(獨立重復)]

3.超幾何分布

⑴超幾何分布

一般地,假設一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機

抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布

列為

P(X=k)J"0*,k=m,m+1,m+2,r.

CN

其中n,N,M￡N*,MWN,nWN,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機

變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布.

(2)超幾何分布的均值

設隨機變量X服從超幾何分布,則X可以解釋為從包含M件次品的N

件產(chǎn)品中，不放回地隨機抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù).令p得,則p是N

件產(chǎn)品的次品率,而日是抽取的n件產(chǎn)品的次品率,則E(四)=p,即

nn

E(X)=^=np.

■釋疑

超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,隨機變量為抽到的某類個體的

個數(shù).超幾何分布的特征：

⑴考察對象分兩類.

⑵已知各類對象的個數(shù).

⑶從中抽取若干個個體,考查某類個體數(shù)X的概率分布.超幾何分布

主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型,其實質(zhì)是古典概

E

4.正態(tài)分布

(1)連續(xù)型隨機變量

隨機變量不是離散型的，它們的取值往往充滿某個區(qū)間甚至整個實軸,

但取一點的概率為0,我們稱這類隨機變量為連續(xù)型隨機變量.

(2)正態(tài)密度函數(shù)

1一(工一〃)2

①f(X)=77菰e2。2,X￡R,其中p￡R,o>0為參數(shù).

對任意的X￡R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方.我們稱f(x)為正態(tài)密

度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線.

②若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機變量X服從正

態(tài)分布,記為X~N(u,。9.特別地，當口=0,。=1時,稱隨機變量X服

從標準正態(tài)分布.

③若X?N(u,。9,則如圖所示,X取值不超過x的概率P(XWx)為圖

中區(qū)域&的面積，而P(aWXWb)為區(qū)域里的面積.

⑶正態(tài)曲線的特點

①曲線是單峰的,它關于直線x=u對稱；

②曲線在x=u處達到峰值表；

③當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸；

④當。取固定值時,正態(tài)曲線的位置由P確定,且隨著U的變化而沿x

軸平移,如圖所示.

曲線與x軸圍成的面積總為1.因此當。較小時,峰值高，曲線“瘦高”,

表示隨機變量X的分布比較集中;當。較大時,峰值低，曲線“矮勝”，

表示隨機變量X的分布比較分散,如圖所示.

(4)正態(tài)分布的均值與方差

若X?N(u,。2),貝jjE(x)嗎D(X)=°i

⑸正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間內(nèi)的概率

P(R-oWXWu+。)^0.6827,

P(U-2oWXWP+2。)■().9545,

P(U-3。WX<u+3。)口0.9973.

在實際應用中,通常認為服從于正態(tài)分布N(P,。9的隨機變量X只

?。跼-3。，P+3。］中的值，這在統(tǒng)計學中稱為3。原則.

匡重要結(jié)論

對于X?N(u,。2),由X=R是正態(tài)曲線的對稱軸知

⑴對任意的a有P(X<u-a)=P(X>n+a);

(2)P(X<Xo)=l-P(X^xo);

(3)P(a<X<b)=P(X<b)-P(XWa).

《對點自測+

1.(選擇性必修第三冊P59例1改編)設一隨機試驗的結(jié)果只有A和A,

且P(A)=m,令隨機變量€發(fā)生’則自的方差D(&)等于

不發(fā)生，

(D)

A.mB.2m(l-m)

C.m(m-l)D.m(l-m)

解析:隨機變量€的分布列為

(01

P1-mm

所以E(g)=0,(1-m)+1,m=m,

所以D(g)=(0-m)2,(1-m)+(1-m)2,m=m(l-m).故選D.

2.若隨機變量&服從正態(tài)分布N(2,。)］在區(qū)間(4,+8)上取值的

概率是0.2,則1在區(qū)間(0,2)上取值的概率為(A)

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.8

解析：因為隨機變量之服從正態(tài)分布N⑵。,

所以正態(tài)曲線關于直線x=2對稱，

又P(&>4)=0.2,所以P(&<0)=0.2,

所以所求概率P(0<&<2)=-—P^=0.3.故選A.

3.箱中有標號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個球,從箱中一次摸出

2個球,記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數(shù),則獲獎.若有

4人參與摸獎,恰好有3人獲獎的概率是.

解析：由題意知，獲獎的概率p=44,記獲獎的人數(shù)為&,則目?

5

B(4,|),所以4人中恰好有3人獲獎的概率為

p=c?e)3x三絲.

455625

答案:未

625

4.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽,則所選3人中女

生人數(shù)不超過1人的概率是.

解析:設所選女生人數(shù)為X,則X服從超幾何分布,其中N=6,M=2,n=3,

一我以第鬣

則P(XW1)=P(X=O)+P(X=1)_4

一CfC<5'

答案：g

美小考點氣窠四鬟

關鍵能力?課堂突破

感考點一n重伯努利試驗與二項分布

am(2021?安徽合肥模擬)某地歷史文化積淀深厚，民俗和人文景

觀豐富，科教資源眾多，自然風光秀美，成為中小學生“研學游”的理

想之地.為了將來更好地推進“研學游”項目，某旅游學校一位實習生

在某旅行社實習期間，把“研學游”項目分為科技體驗游、民俗人文

游、自然風光游三種類型,并在前幾年該旅行社接待的全省高一學生

“研學游”的學校中，隨機抽取了100所學校，統(tǒng)計如下:

研學游類型科技體驗游民俗人文游自然風光游

學校數(shù)404020

該實習生在明年省內(nèi)有意向組織高一“研學游”的學校中，隨機抽取

了3所學校,并以統(tǒng)計的頻率代替學校選擇“研學游”類型的概率(假

設每所學校在選擇研學游類型時僅選擇其中一類,且不受其他學校選

擇結(jié)果的影響).

⑴若這3所學校選擇的“研學游”類型是“科技體驗游”和“自然

風光游”，求這兩種類型都有學校選擇的概率;

⑵設這3所學校中選擇“科技體驗游”的學校數(shù)為隨機變量X,求X

的分布列與數(shù)學期望.

解：(1)依題意,學校選擇“科技體驗游”的概率為|,選擇“自然風光

游”的概率為點

所以若這3所學校選擇“研學游”類型為“科技體驗游”和“自然風

光游”，則這兩種類型都有學校選擇的概率為

P芯*(|)權沁義(泌|=焉

(2)由題意知X?B(3,|),

貝!JP(X=0)嗎X守備

p(x=i)=cjx|x

P(X=2)=第X(|)2乂3―36

5125

38

J5125

所以X的分布列為

X0123

2754368

P

125125125125

所以E(X)=OX強+1X卷+2義裁+3X^4

解題策略

與二項分布有關的期望、方差的求法

⑴求隨機變量&的期望與方差時,可首先分析€是否服從二項分布，

如果€?B(n,p),則用公式E(€)=np,D(€)=np(l-p)求解,可大大減

少計算量.

⑵有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關系的另一隨

機變量服從二項分布,這時,可以綜合應用E(a€+b)=aE(&)+b以及

E(C)=np,求出E(a€+b),同樣還可求出D(a€+b).

［針對訓練］

(2021?四川遂寧高三三模)某校數(shù)學教研組,為更好地提高該校高三

學生《圓錐曲線》的選擇填空題的得分率,對學生《圓錐曲線》的選

擇填空題的訓練運用最新的教育技術做了更好的創(chuàng)新,其學校教務處

為了檢測其質(zhì)量指標，從中抽取了100名學生的訓練成績(總分50分),

經(jīng)統(tǒng)計質(zhì)量指標得到如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴求所抽取的樣本平均數(shù)M(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作

代表)；

⑵將頻率視為概率,從該校高三學生中任意抽取4名學生,記這4名

學生《圓錐曲線》的選擇填空題的訓練的質(zhì)量指標值位于(10,30］內(nèi)

的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可得質(zhì)量指標值位于

［0,10］的頻率為0.010X10=0.1,

(10,20］的頻率為0.020X10=0.2,

(20,30］的頻率為0.030X10=0.3,

(30,40］的頻率為0.025X10=0.25,

(40,50］的頻率為0.015X10=0.15,

所以±二5X0.1+15X02+25X0.3+35X0.25+45X0.15=26.5.

⑵根據(jù)題意得質(zhì)量指標值位于(10,30］內(nèi)的概率為0.2+0.3=0.5,所

以X?B(4,|),X的所有可能取值為0,1,2,3,4,

P(X=o)=CJX(|)4*

P(X=l)=CjX(i)4=i

4=3

4=1

4，

4,1

16’

所以X的分布列為

X01234

11311

P

1648416

所以E(X)=0X/lx[+2X表3X；+4><a2?

慢考點二超幾何分布

CSD在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對

人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接

受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對比這兩組志愿者

接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿

者AbA2,A3,AbA5JA6和4名女志愿者B?B2,B3,B.b從中隨機抽取5人接

受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.

⑴求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A,但不包含B,的概率；

⑵用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列.

解:(1)記“接受甲種心理暗示的志愿者中包含Ai但不包含BJ為事件

M,則P(M)

So18

⑵由題意知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,則

P(X=0)=魯=1，P(X=l)=等=/，

Jo42JoZ1

P(X=2)=害紅UP(X=3)=畢=三，

第02/第02T

P(X=4)=^=-.

嗪42

因此X的分布列為

X01234

151051

p

4221212142

[典例遷移1](變結(jié)論)在本例第⑵問，若用X表示接受乙種心理暗

示的男志愿者人數(shù),求X的分布列.

解：由題意可知X的所有可能取值為1,2,3,4,5,則

P(X=l)等*,P(X=2)=等梯

P(X=3)=警琮,P(X=4)=普除

JoziJo

P(X=5)=f*

因此X的分布列為

X12345

151051

P

4221212142

［典例遷移2］（變結(jié)論）在本例第⑵問，若用X表示接受乙種心理暗

示的女志愿者人數(shù)與男志愿者人數(shù)之差,求X的分布列.

解：由題意知X的所有可能取值為3,1,-1,-3,-5,

貝！JP（X=3）=^=->P（X=l）

%42，421；

p（X=T）P（x=-3）=等q,

Jo5o21

p（Y=-5）=C^

9b）442.

因此X的分布列為

X31-1-3-5

151051

P

4221212142

辭題策略1

求超幾何分而亍的分布列的步驟

第一步,驗證隨機變量服從超幾何分布,并確定參數(shù)N,M,n的值；

第二步,根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值

時的概率；

第三步,用表格的形式列出分布列.

啜考點三正態(tài)分布

口角度-正態(tài)分布的計算

（2021?安徽合肥高三二檢）為了解A市高三學生的數(shù)學復習備

考情況,該市教研機構組織了一次檢測考試,并隨機抽取了部分高三

學生的數(shù)學成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率/組距

（1）根據(jù)頻率分布直方圖,試估計該市參加此次檢測考試的學生的數(shù)

學平均成績U。；（精確到個位）

⑵研究發(fā)現(xiàn),本次檢測考試的數(shù)學成績X近似服從正態(tài)分布N（LX,。

2）,其中u=Uo,0=19.3.

①按以往的統(tǒng)計數(shù)據(jù),數(shù)學成績能達到升一本分數(shù)要求的學生約占

46%,據(jù)此估計在本次檢測考試中達到升一本的數(shù)學成績是多少

分？（精確到個位）

②已知A市高三學生約有10000名，某學生在此次檢測考試中數(shù)學成

績?yōu)?07分,則該學生在全市的排名大約是多少？

[說明:P（x2xJ=l-①（衛(wèi)）表示xNxi的概率，①（衛(wèi)）用來將非標準

aa

正態(tài)分布化為標準正態(tài)分布，即X?N（0,1）,從而利用標準正態(tài)分布表

（（Xo）,求X》X1時的概率P（x2xJ,這里Xo=（也2）.相應于Xo的值①

a

（X。）是指總體取值小于X。的概率，即中（x0）=P（x〈x。）.

參考數(shù)據(jù):①（0.7054）=0.54,O（0.6772）=0.46,中（0.21）=0.583

2]

解：（1）由題意估計該市參加此次檢測考試的學生的數(shù)學平均成績?yōu)?/p>

o=65XO.05+75X0.08+85X0.12+95X0.15+105X0.24+115X0.18+1

25X0.1+135X0.05+145X0.03=103.2^103（分）.

⑵①記在本次檢測考試中達到升一本的數(shù)學成績?yōu)閄I分,根據(jù)題意,

P(x2x)=1-①(^2-^0)=1-0(^122)=0.46,即中(^-^)=0.54.

。19.3193

由①(0.7054)=0.54得，且%二0.7054nx1~116.6七117,

19.3

所以在本次檢測考試中達到升一本的數(shù)學成績約為117分.

②P(x2107)=l-①(1°7一1。3)-『①(0.21)=1-0.5832=0.4168,

19.3

所以10000X0.4168=4168,

所以數(shù)學成績?yōu)?07分的該學生在全市的排名大約是第4168名.

解題策略

⑴利用3。原則求概率問題時,要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變

量的u,o進行對比聯(lián)系,確定它們屬于[以-。，u+O],[U-2O,u

+2o],[u-3o,u+3o]中的哪一個.

⑵利用正態(tài)密度曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要

是正態(tài)曲線關于直線x=P對稱,及曲線與x軸之間的面積為1.注意下

面結(jié)論的活用：

①正態(tài)曲線關于直線x=u對稱,從而在關于x=P對稱的區(qū)間上概率

相同.

②P(X<a)=l-P(XPa),P(XWP-a)=P(X2口+a).

解此類問題的關鍵是利用正態(tài)曲線的對稱性,把待求區(qū)間內(nèi)的概率向

已知區(qū)間內(nèi)的概率轉(zhuǎn)化.解題時要充分結(jié)合圖形進行分析、求解,要注

意數(shù)形結(jié)合思想及化歸思想的運用.

口角度二正態(tài)分布的應用

(SO(2021?山西太原模擬)某紡織廠為了生產(chǎn)一種高端布料，準備

從A農(nóng)場購進一批優(yōu)質(zhì)棉花.廠方技術人員從A農(nóng)場存儲的優(yōu)質(zhì)棉花

中隨機抽取了100份棉花，分別測量了其纖維長度（單位:mm）的均值,

得到100個樣本數(shù)據(jù),并制成頻數(shù)分布表如表：

長度/[23,[25,[27,[29,[31,[33,[35,[37,

mm25)27)29)31)33)35)37)39]

頻數(shù)4916241814105

⑴求這100個樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)土和樣本方差s2（同一組數(shù)據(jù)取

該組區(qū)間的中點值為代表）；

⑵由得到的數(shù)據(jù)可以認為這批棉花的纖維長度X服從正態(tài)分布，即

X?N（u,。）其中R近似為樣本平均數(shù)元。2近似為樣本方差s2.

①利用該正態(tài)分布,求P（X2u-2。）；

②紡織廠將A農(nóng)場送來的這批優(yōu)質(zhì)棉花進行二次檢驗,從中隨機抽取

20份測量其纖維長度的均值Yi（i=l,2,…,20）,得到的數(shù)據(jù)如表：

YYYYYYY

Yi23匕56789Y10

24.131.832.728.228.434.329.134.837.230.8

Y16Y17Y19Y,20

Y”Y12Y13Y14Y15Y18

30.625.232.927.135.928.933.929.535.029.9

若這20個樣本中纖維長度的均值Y2u-2。的頻率不低于①中的P（X

2R-2。），則可判斷該批優(yōu)質(zhì)棉花合格,否則認為A農(nóng)場送來的棉花

摻雜了次品，判斷該批棉花不合格,按照此依據(jù)判斷A農(nóng)場送來的這

批棉花是否為合格的優(yōu)質(zhì)棉花,并說明理由.

附:若Z?N（u,。之），則P（u—。WZWu+o）^0.6827,P（u-2oWZ

Wu+2。)^0.9545;V12.28^3.504.

解：⑴秒擊X(4X24+9X26+16X28+24X30+18X32+14X34+10X3

6+5X38)=31,

s三總X(4X72+9X52+16X32+24X12+18Xl2+14X32+10X52+5X72)=l

2.28.

⑵棉花的纖維長度X?N(u,。2),其中u=31,丁而仁3.504.

0P(X^n-2o)^l-|x(1-0.9545)=0.97725.

②A農(nóng)場送來的這批棉花是合格的優(yōu)質(zhì)棉花,理由如下：

u-2。=31-2X3.504=23.992,故P(Y2口-2。)=P(Y2

23.992)=1>0,97725,

所以A農(nóng)場送來的這批棉花為合格的優(yōu)質(zhì)棉花.

解題策略I

事件在［P-3。，u+3。］之外的為小概率事件,一旦發(fā)生,則說明生產(chǎn)

存在問題,則要調(diào)整生產(chǎn).

［針對訓練］

(2021?山東濰坊模擬)為了嚴格監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)

過程,某企業(yè)每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取10000個零件,并測量其內(nèi)

徑(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的

零件的內(nèi)徑X服從正態(tài)分布N(u,。9.如果加工的零件內(nèi)徑小于P-3

。或大于P+3。均為不合格品，其余為合格品.

(1)假設生產(chǎn)狀態(tài)正常,請估計一天內(nèi)抽取的10000個零件中不合格

品的個數(shù)；

(2)若生產(chǎn)的某件產(chǎn)品為合格品則該件產(chǎn)品盈利;若生產(chǎn)的某件產(chǎn)品

為不合格品，則該件產(chǎn)品虧損.已知每件產(chǎn)品的利潤L(單位:元)與零

‘-5,X<3。，

4,<X<

件的內(nèi)徑X有如下關系:L=<

6,。<X</J.+3c,

<-5,X>林+3cr.

求該企業(yè)一天從生產(chǎn)線上隨機抽取10000個零件的平均利潤.

附:若隨機變量X服從正態(tài)分布N(u,。2),有P(L。wxwu+。)能

0.6827,P(P-2。WXWU+2。)-0.9545,P(P-3。WXWP+3。)

心0.9973.

解：(1)抽取的一個零件的尺寸在［P-3。，口+3。］之內(nèi)的概率為

0.9973,從而抽取一個零件為不合格品的概率為0.0027,因此一天

內(nèi)抽取的10000個零件中不合格品的個數(shù)約為10000X0.0027=27.

⑵結(jié)合正態(tài)分布曲線和題意可知，

P(X<u-3o)^0.00135,

P(U-3o^X<u-o)^|x(0.9973-0.6827)=0.1573,

P(u-oWX<u+3。)梃0.9973-0.1573=0.8400,

P(X>u+3o)^0.00135,

故隨機抽取10000個零件的平均利潤為

10000L=10000X(-5X0.00135+4X0.1573+6X0.8400-5X0.001

35)=56557(元).

昌備選例題

CBD為了拓展網(wǎng)絡市場，某公司為手機客戶端用戶推出了多款應用，

如“農(nóng)場”“音樂”“讀書”等.市場調(diào)查表明，手機用戶在選擇以上

三種應用時，選擇“農(nóng)場”“音樂”“讀書”的概率分別為現(xiàn)

236

有甲、乙、丙三名手機客戶端用戶獨立任意選擇以上三種應用中的一

種進行添加.

⑴求三人所選擇的應用互不相同的概率;

(2)記€為三人中選擇的應用是“農(nóng)場”與“音樂”的人數(shù),求己的分

布列.

解:記“第i名用戶選擇的應用是‘農(nóng)場'‘音樂''讀書’”分別

為事件為B”為i=l,2,3.由題意知A?A2,A3相互獨立,B?為B3相互獨

立，Ci,C2,C3相互獨立，A“B”Ck(i,j,k=l,2,3且i,j,k互不相同)相互

獨立,且P(A)=；,P(B,)4P(C)4-

236

⑴他們選擇的應用互不相同的概率為

P=3!?P(ABC3)=6P(AJP(B)P(C)=-.

236

⑵設3名用戶選擇的應用是“讀書”的人數(shù)是n,由已知得n?B⑶；),

6

且€=3-n,

所以P(&=0)=P(n=3)=禺XC)J上,

6216

P(g)=P(n=2)=底xG)②x|=裝得

P(€=2)=P(n=l)=Cjx|x/5x2_75_25

621672

3.125

P(C=3)=P(r]=0)=C?X(-)

216,

故€的分布列為

自0123

1525125

P

2167272216

C?D(2021?江蘇徐州一模)近日，某調(diào)查小組在一家大型超市進行

了一項關于顧客使用移動支付情況的調(diào)查,調(diào)查人員從年齡在20歲

到60歲的顧客中隨機抽取了200人,得到如表統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

年齡段

個數(shù)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

類型

使用移動支付45402515

不使用移動支付0102045

⑴現(xiàn)從這200人中隨機依次抽取2人，在第1次抽到的人使用移動支

付的條件下,求第2次抽到的人不使用移動支付的概率；

⑵現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法從使用移動支付的人中抽取25人做

進一步的問卷調(diào)查.再從這25人中隨機選出3人頒發(fā)參與獎,設這3

人中年齡在［40,50)中的人數(shù)為X,求X的分布列.

解：(1)由題意可知，使用移動支付的人數(shù)為125,不使用移動支付的人

數(shù)為75.記事件A為“第1次抽到的人使用移動支付"，事件B為“第

2次抽到的人不使用移動支付”，所以P(B|A)當焉.

n［A)125x199199

(2)在年齡段［40,50)中抽取的人數(shù)為六X25=5,則X的所有可能取值

為0,1,2,3,所以

P(X=0)=^=—,P(x=l)=^i=—,P(X=2)=^i=—,P(X=3)=^^=—,

?5115C1546%23禺5230

則X的分布列為

X0123

571921

P

1154623230

C?從某公司生產(chǎn)線生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取1000件,測量這些產(chǎn)品

的一項質(zhì)量指標，由檢測結(jié)果得如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴求這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標的樣本平均數(shù)%和樣本方差s2(同一

組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；

⑵由直方圖可以認為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值Z服從正態(tài)分布N(u,

。9,其中u近似為樣本平均數(shù)五。,近似為樣本方差s2.

①利用該正態(tài)分布，求P(175.6WZW224.4);

②已知每件該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為10元,每件合格品(質(zhì)量指標值Ze

[175.6,224.4])的定價為16元;若為次品(質(zhì)量指標值Z陣

[175.6,224.4]),除了全額退款外,每件次品還須賠付客戶48元.若

該公司賣出100件這種產(chǎn)品,用Y表示這100件產(chǎn)品的利潤，求E(Y).

附:2.若Z?N(u,o2),貝！Jp(u-。WZWu+o)^0.682

7,P(u-2oWZWP+2。)^0.9545.

解：(1)由題意得

x=170X0.02+180X0.09+190X0.22+200X0.33+210X0.24+220X0.

08+230X0.02=200,

所以

s2=(170-200)2xo.02+(180-200)2xo,09+(190-200)2XO.22+(200-20

0)2X0.33+(210-200)2X0.24+(220-200)2XO.08+(230-200)2XO.02=

150,

即樣本平均數(shù)為200,樣本方差為150.

(2)①由(1)可知，LI=200,o=V150^12.2,

所以Z?N(200,12.22),

所以P(175.6WZW224.4)=P(u-2。WZWR+2。)心0.9545.

②設X表示100件產(chǎn)品的正品數(shù)，

由題意得X?B(100,0.9545),

所以E(X)=100X0.9545P95,

所以E(Y)=16E(X)-48X5-100X10=280.

靈活方強方致提必

課時作業(yè)

G選題明細表

知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創(chuàng)新練

二項分布1,2,4,6,1012

超幾何分布3,5,1114,15

正態(tài)分布7,8,913

概率分布模型的綜合應用16,1718

A級基礎鞏固練

1.設袋中有兩個紅球，一個黑球，除顏色不同，其他均相同，現(xiàn)有放回

地抽取,每次抽取一個,記下顏色后放回袋中，連續(xù)抽三次,X表示三次

中紅球被抽中的次數(shù),每個小球被抽取的概率相同，每次抽取相對獨

立,則方差D(X)等于(C)

A.2B.1C.-2D.3-

34

解析：每次取球時，取到紅球的概率為|,取到黑球的概率為:所以取

出紅球的概率服從二項分布，即X?B(3,|),所以D(x)=3x|x(1-|)=|.

故選C.

2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，規(guī)定正面向上得1分,反面向上得-1分，

則得分X的均值與方差分別為(A)

A.E(X)=O,D(X)=1

B.E(X)=->D(X)=-

22

C.E(X)=O,D(X)=|

D.E(X)=1,D(X)=1

解析：由題意知，隨機變量X的分布列為

X-11

11

P

22

所以E(X)=(-1)X-+1X-=O,

22

D(X)=-X(-1-0)2+-X(1-OF.故選A.

22

3.口袋中有5個形狀和大小完全相同的小球,編號分別為0,1,2,3,4,

從中任取3個球，以X表示取出球的最小號碼，則E(X)等于(B)

A.0.45B.0.5C.0.55D.0.6

解析：易知隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,由古典概型的概率計

算公式得P(X=0)=萼=/=0.6,

P(X=l)=^=^=0.3,P(X=2)=M().1,所以

C5C5L5

E(X)=0X0.6+1X0.3+2X0.1=0.5.故選B.

4.已知隨機變量X,Y滿足X?B(2,p),Y=2X+1,且P(X21)=|,則D(Y)

等于(C)

4門7廠16nl7

AA.-B,-C.—D.—

9399

解析：因為X?B(2,p),

所以P(X2l)=l—P(X=0)=『(l-p)2V，

解得P三,

所以D(Y)=4D(X)=4義2義工義衛(wèi)王.

339

故選c.

5.（多選題）（2021?山東煙臺質(zhì)檢）某人參加一次測試，在備選的10

道題中，他能答對其中的5道.現(xiàn)從備選的10道題中隨機抽出3道題

進行測試，規(guī)定至少答對2題才算合格，則下列選項正確的是

（CD）

A.答對0題和答對3題的概率相同，都為；

8

B.答對1題的概率為：

C.答對2題的概率為總

D,合格的概率為：

解析:設此人答對題目的個數(shù)為&,則&的所有可能取值為0,1,2,3,

P(之=0)=孥=三,P(&=1)=￥=三,P(&=2)=摯=工P(&=3)=卑=三

412'412'412'112

則答對0題和答對3題的概率相同，都為之,故A錯誤;答對1題的概

率為*故B錯誤;答對2題的概率為*故C正確;合格的概率為P=

P(g=2)+P(g=3)*+晝故D正確.故選CD.

6.(多選題)袋子中有2個黑球,1個白球,現(xiàn)從袋子中有放回地隨機取

球4次,取到白球記0分,黑球記1分，記4次取球的總分數(shù)為X,則

(ACD)

A.X?B(4,|)

B.P(X=2)=^-

81

C.X的數(shù)學期望E(X)1

D.X的方差D(X)]

解析:從袋子中有放回地隨機取球4次,則每次取球互不影響，并且每

次取到的黑球概率相等,又取到黑球記1分，

取4次球的總分數(shù),即為取到黑球的個數(shù)，

所以隨機變量X服從二項分布X?B(4,|),故A正確；

X=2,記其概率為P(X=2)=第X(|)之義(1)2=|1,故B錯誤；

因為X?B(4,|),所以X的數(shù)學期望為E(X)=4X|=*故C正確；

因為X?B(4,3，所以X的方差為D(X)=4X：X故D正確.故選ACD.

7.如圖是當。取三個不同值。I,。2,。3時的三種正態(tài)曲線,那么。I,

。2,。3的大小關系是(D)

A.oi>o3>o2>0B.0<oi<o3<o2

C.oi>o2>o3>0D.0<oi<o2<o3

解析：由題圖可知,三種正態(tài)曲線的U都等于0.當U一定時，。越小,

曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中，。越大，曲線越“矮胖”，

表示總體的分布越分散,則0<o,<o2<o3.故選D.

8.(多選題)某農(nóng)戶承包了一個新型溫室鮮花大棚,種植銷售紅玫瑰和

白玫瑰.若這個大棚的紅玫瑰和白玫瑰的日銷量分別服從正態(tài)分布

N(R,309和N(280,40,則下列選項正確的是(附:若隨機變量X服從

正態(tài)分布N(u,小)，則p(u—o〈x〈ix+o)^0.6826)(ABD)

A.若紅玫瑰日銷售量范圍在(U-30,280)的概率是0.6826,則紅玫瑰

日銷售量的平均數(shù)約為250

B.紅玫瑰日銷售量比白玫瑰日銷售量更集中

C.白玫瑰日銷售量比紅玫瑰日銷售量更集中

D.白玫瑰日銷售量范圍在(280,320)的概率約為0.3413

解析:對于選項A口+30=280,口=250,A正確;對于選項B,C,利用。越

小越集中，30<40,B正確，C不正確;對于選項D,P(280<X<320)=P(u<

X<u+o)^0.6826X|=O.3413,D正確.故選ABD.

9.對一個物理量做n次測量,并以測量結(jié)果的平均數(shù)作為該物理量的

最后結(jié)果.已知最后結(jié)果的誤差￡0?N(0,與，為使誤差￡.在

n

（-0.5,0.5）的概率不小于0.9545,至少要測量_______次（若X-

N（u,。2）,則p（|x-1l|<2o）^0.9545）.

解析:根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性知,要使誤差￡”在（-0.5,0.5）的概率不

小于0.9545,貝!）（口一2。，口+2。）彳（一0.5,0.5）且口=0,。=R所以

7n

0.522Rnn232,所以至少要測量32次.

7n

答案：32

10.（2021?重慶模擬）中國某科技公司生產(chǎn)一批同型號的光纖通信儀

器，每臺儀器的某一部件由三個電子元件按如圖所示的方式連接而成.

已知元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作，則該部件正常工作.

由大數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，三個電子元件的使用壽命（單位:h）均服從正態(tài)分

布N（10000,10%且各個元件能否正常工作相互獨立.現(xiàn)從這批儀器

中隨機抽取1000臺,檢測該部件的工作情況（各部件能否正常工作相

互獨立），那么這1000臺儀器中該部件的使用壽命超過10000h的

臺數(shù)的均值為.

解析：由正態(tài)分布可知,每個元件的使用壽命超過10000h的概率為去

則該部件的使用壽命超過10000h的概率為x1=1.

由題意知1000臺儀器中該部件的使用壽命超過10000h的臺數(shù)服

從二項分布，所以臺數(shù)的均值為1000xf=375.

答案：375

11.(2021?天津武清區(qū)高三模擬)已知一個袋子中裝有1個紅球,3個

綠球，1個黃球.從袋中隨機取球,每次取3個,則取出的3個球顏色各

不相同的概率為;記取出的球顏色種數(shù)為€,則E(€)=.

解析：由題意,共有5個球,從中取出3個球,則有髭=10種不同的取法.

取出的3個球顏色各不相同，則紅球、綠球、黃球各取1個，有的=3

種不同的取法，

所以取出的3個球顏色各不相同的概率為奈

取出的球顏色種數(shù)€的可能取值為1,2,3,

P(?3)■P(1)味

p/￡=2)--c，c：+c1c￡63

10105’

所以己的分布列為

123

133

P

10510

所以E(g)=lX-+2X-+3X—=^.

105105

容案.311

口耒工05

B級綜合運用練

12.(多選題)為弘揚我國古代“六藝”文化,某研學旅行夏令營主辦單

位計劃在暑假開設“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六門體驗課程,若甲、

乙、丙三名同學每人只能體驗其中一門課程，則(BCD)

A.甲、乙、丙三人選擇課程方法有120種

B.恰有三門課程沒有被三名同學選中的概率為高

C.已知甲不選擇課程“御”的條件下，乙、丙也不選擇課程“御”的

概率為II

36

D.設三名同學選擇課程“禮”的人數(shù)為€,則E（^）=|

解析：甲、乙、丙三名同學每人只能體驗其中一門課程,則選擇方法有

6:i=216種，故A錯誤;恰有三門課程沒有被三名同學選中，表示三名同

學每個人選擇了不重復的一門課程，所以概率為歲咨《，故B正確；

o-52169

已知甲不選擇課程“御”的概率為I甲、乙、丙都不選擇課程“御”

6

3125

的概率為黑黑,所以條件概率為故C正確;三名同學選擇課程

60216-36

6

“禮”的人數(shù)為，則之服從二項分布B（3,9，則E（之）=3義衿，故D

662

正確.故選BCD.

13.（多選題）（2021?江蘇徐州高三模擬）已知某校有1200名同學參

加某次模擬考試,其中數(shù)學考試成績X近似服從正態(tài)分布N（100,225）,

則下列說法正確的有（BD）

（參考數(shù)據(jù):①P"。WXWR+Q）-0.6827;

②P"2。P+2。）^0.9545;

③P（口-3。WXWu+3o）^0.9973）

A.這次考試成績超過100分的約有500人

B.這次考試分數(shù)低于70分的約有27人

C.P（115<X^130）=0.0514

D.從中任取3名同學,至少有2人的分數(shù)超過100分的概率為羨

解析：由題意可知，對于選項A,P=100,。=15,則P(X>100)=T，則成績

超過100分的約有1200X|=600(人)，所以選項A錯誤；

對于選項B,P(X270)=P(70WXW100)+P(X>100)=1p(100-2X15WXW

100+2X15)+0.5^X0.9545+0.5=0.97725,所以P(X〈70)=l-P(X2

70)=l-0.97725=0.02275,所以分數(shù)低于70分的人數(shù)約為

0.02275X1200=27.3,即約為27人，所以選項B正確;

對于選項C,P(X^115)=P(X<100)+|P(100-15^X^100+15)^0.5+

-X0.6827=0.84135,P(X130)=P(X<100)+-P(100-2X15X

22

100+2X15)^0.5+|x0.9545=0.97725,所以P(115〈XW130)=P(XW

130)-P(X^115)=0.97725-0.84135=0.1359,所以選項C錯誤;

對于選項D,因為P(X>100)g,且至少有2人的分數(shù)超過100分的情況

如下:①恰好有2人時概率為髭X②3人均超過100分時的

228

概率為9%則至少有2人的分數(shù)超過100分的概率為|+導所以選

項D正確.故選BD.

14.某商場迎新游園摸彩球贏積分活動規(guī)則如下：已知箱子中裝有1

個紅球,3個黃球,每位顧客有放回地依次取出3個球,則摸到1個紅

球,2個黃球的概率為,若摸到1個紅球得2積分,則顧客獲

得積分的數(shù)學期望為.

解析:根據(jù)題意,一次摸到紅球的概率為摸到黃球的概率為:，

44

所以每位顧客有放回地依次取出3個球，

則摸到1個紅球,2個黃球的概率為P=CJXlx

4464

設每位顧客有放回地依次取出3個球,摸到紅球的個數(shù)為X,則X?

4

設該顧客獲得積分為Y,則Y=2X,

所以E(Y)=E(2X)=2E(X)=2X3X號

所以顧客獲得積分的數(shù)學期望為|.

答案噌?

642

15.(2021?天津南開區(qū)高三模擬)一個袋中共有10個大小相同的黑

球、白球和紅球.已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是|；從

袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是3則白球的個數(shù)

為；從袋中任意摸出3個球,記得到白球的個數(shù)為&,則隨機

變量&的數(shù)學期望E(€)=.

解析:設白球的個數(shù)為y,又從袋中任意摸出2個球,至少得到1個白

球的概率是3

則曳用三,解得y=5.

L1O9

由題設知己的所有可能取值是0,1,2,3,

「小2)=等雜『3)號*

則隨機變量&的分布列為

0123

1551

P

12121212

答案：5|

16.（2021?河北唐山模擬）由商務部和北京市人民政府共同主辦的

2020年中國國際服務貿(mào)易交易會（簡稱服貿(mào)會）于9月4日開幕,主題

為“全球服務,互惠共享”.某高校為了調(diào)查學生對服貿(mào)會的了解情況,

決定隨機抽取100名學生進行采訪.根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果,采訪的學生中男

女比例為3:2,已知抽取的男生中有10名不了解服貿(mào)會,抽取的女生

中有25名了解服貿(mào)會,請解答下面所提出的相關問題.

⑴完成2X2列聯(lián)表,并回答“是否有99%的把握認為學生對服貿(mào)會

的了解情況與性別有關”.

了解情況

性別合計

了解不了解

男生

女生

合計100

⑵若從被采訪的學生中利用分層隨機抽樣的方法抽取5人,再從這5

人中隨機抽取3人在校內(nèi)開展一次“介紹服貿(mào)會”的專題活動，記抽

取男生的人數(shù)為，求出&的分布列及數(shù)學期望.

2

附鬻喘為n=a+b+c+d.

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

解：⑴2X2列聯(lián)表如表:

性別了解情況合計

了解不了解

男生501060

女生251540

合計7525100

2

2100X(50X15-25X10)Lr>

x=------------------------^5.556<6.63o5r,

60X40X75X25

所以沒有99%的把握認為學生對服貿(mào)會的了解情況與性別有關.

⑵根據(jù)題意,抽取的5人中男生有3人，女生有2人.

從這5人中隨機抽取3人,則男生人數(shù)€的所有可能取值為1,2,3,

則P(&=1)甯磊P(&=2)=等喙

P『3毋

所以自的分布列為

12