第十章-隨機過程的基本知識

第一節(jié)隨機過程的概念和記號隨機過程探討的是隨時間變更的隨機現(xiàn)象例1：(隨機游動)探討一醉漢醉酒后的行走路途，t時刻他所在的位置記作(X(t),Y(t)),則{(X(t),Y(t)),t>0}為一個(二維)隨機過程。特點1：每一時刻t，這個位置是不確定的，有隨機性，是隨機變量。特點2：整個過程隨時間t在不斷變更。第一節(jié)隨機過程的概念和記號例2：信號干擾電子元器件由于內(nèi)部微粒子隨機熱騷動引起的端電壓稱為熱噪聲電壓。記t時刻的熱噪聲電壓為X(t).則{X(t),t>0}是一個隨機過程。特點1：每時刻t,熱噪聲電壓X(t)的取值是隨機的，X(t)是隨機變量特點2：隨時間t的變更，X(t)在持續(xù)變更。V(t)V(t)V(t)ttt例3：股票的價格記t時刻股票的價格為Y(t),則{Y(t),t>0}是一個隨機過程。圖特點1：給定時刻t，股票價格Y(t)不行預(yù)料，可以認(rèn)為是隨機變量。特點2：股票價格Y(t)隨時間t的變更在不斷變更。例4

排隊問題記X(t)表示[0,t)小時內(nèi)通過柜臺的人數(shù)，則{X(t),t>0}是一個隨機過程。特點1：在時刻t通過柜臺的人數(shù)是不確定的，固定t,X(t)是隨機變量。特點2：通過柜臺的人數(shù)X(t)隨時間的增加在變更（增加）。隨機過程的定義隨時間t變更的一族隨機變量{X(t),t屬于T}稱作隨機過程。t稱作時間參數(shù)。T稱作時間參數(shù)集。具體的一次實現(xiàn)稱作一條樣本曲線。t固定,X(t)是隨機變量。隨機過程的分類按時間參數(shù)集進(jìn)行劃分:隨機序列：時間參數(shù)集T為可數(shù)集，則稱{X(t),t屬于T}為時間序列。例:股票價格X(t)的時間參數(shù)集按日、周計算,可以認(rèn)為是時間序列。連續(xù)時間過程：時間參數(shù)集T為連續(xù)統(tǒng)，則稱過程為連續(xù)時間過程。例：熱噪聲電壓隨機過程的分類按隨機變量的類型劃分：1、連續(xù)型隨機過程若{X(t),t屬于T}在t=t0時所取隨機變量X(t0)是連續(xù)型，稱該過程為連續(xù)型隨機過程。例：熱噪聲電壓X(t)聽從(a,b)上勻整分布2、離散型當(dāng)X(t)是離散型，如排隊問題是離散型隨機過程，t時刻通過的人數(shù)X(t)只能取可數(shù)個值。據(jù)探討，X(t)聽從泊松分布。隨機過程的意義孤立地探討一個隨機變量有時不能滿足生活須要?；蛘哒f人們對單個隨機變量駕馭的信息不夠多，須要將全部相關(guān)的歷史信息聯(lián)系在一起考慮。如股票的價格，人們須要了解過去的價格分布，以幫助我們預(yù)料將來。熱噪聲電壓是隨機的，從其歷史分布狀況能夠有助于檢測它、避開它。其次節(jié)隨機過程的統(tǒng)計描述(一)隨機過程的分布函數(shù)族對于固定的t,X(t)是一個隨機變量，考慮X(t)的分布函數(shù)(一維分布)，還可以考慮(X(t1),X(t2))的聯(lián)合分布函數(shù)(二維分布)…定義：稱作隨機過程{X(t),t屬于T}的一個n維分布函數(shù)。n維分布函數(shù)的意義(X(1),X(2))是二維隨機變量，它的分布函數(shù)就是一個二維分布函數(shù)(X(3),X(1/2))也有相應(yīng)的分布函數(shù)二維分布函數(shù)可以有無窮多個一個隨機過程完全取決于它的有限維分布.例1：設(shè)隨機過程X(t)=A+Bt,t>=0.其中A,B是相互獨立的隨機變量，都聽從正態(tài)分布N(0,1)，求X(t)的一維和二維分布。解：1、一維分布固定t,X(t)=A+Bt是正態(tài)隨機變量的線性組合，應(yīng)聽從N(,)E(X(t))=E(A+Bt)=E(A)+tE(B)=0+tx0=0D(X(t))=D(A+Bt)=D(A)+D(tB)=1+t^2x1所以X(t)聽從N(0,1+t^2)分布2、二維分布對于隨意t1,t2,考慮(X(t1),X(t2))是正態(tài)隨機變量的組合構(gòu)成，應(yīng)當(dāng)聽從二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布取決于E(X(t1)),E(X(t2)),以及協(xié)方差矩陣?yán)?：設(shè)隨機過程X(t)=Acos(t),t實數(shù)，其中A是隨機變量，其分布律為：P{A=1}=P{A=2}=P{A=3}=1/3

求(1)X(t)的一維分布函數(shù)

(2)二維分布函數(shù)分布函數(shù)1231D1D2D3D4(1,1/2)(2,1)(3,3/2)X1X2(二)隨機過程的數(shù)字特征1、稱作隨機過程{X(t),t屬于T}的均值函數(shù)。例：設(shè)隨機過程X(t)=Acos(t),t實數(shù)，其中A是隨機變量，其分布律為：P{A=1}=P{A=2}=P{A=3}=1/3求X(t)的均值函數(shù)解：E(X(t))=E(Acos(t))=cos(t)E(A)E(A)=1x(1/3)+2x(1/3)+3x(1/3)=2所以E(X(t))=2cos(t)數(shù)(二)隨機過程的數(shù)字特征均值函數(shù)E(X(t))均方值函數(shù)方差函數(shù)均方差函數(shù)(二)隨機過程的數(shù)字特征自相關(guān)函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)作業(yè)P315.1、(二)隨機過程的數(shù)字特征例設(shè)隨機過程X(t)=Acos(t),t實數(shù)，其中A是隨機變量，其分布律為：P{A=1}=P{A=2}=P{A=3}=1/3求X(t)的均方值函數(shù)、方差函數(shù)以及均方差函數(shù)。解：=E(X(t)X(t))=E{AAcos(t)cos(t)}=cos^2(t)E(A^2)=cos^2(t)(1x1+2x2+3x3)/3=例：設(shè)隨機過程X(t)=Acos(t),t實數(shù)，其中A是隨機變量，其分布律為：P{A=1}=P{A=2}=P{A=3}=1/3

求X(t)的自相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)。解：R(t1,t2)=E(X(t1)X(t2))=E(Acos(t1)Acos(t2))=cos(t1)cos(t2)E(A^2)=14cos(t1)cos(t2)/3C(t1,t2)=Cov(X(t1),X(t2))=E(X(t1)X(t2))-E(X(t1))E(X(t2))=R(t1,t2)-E(X(t1))E(X(t2))=14cos(t1)cos(t2)/3-2cos(t1)x2cos(t2)=2cos(t1)cos(t2)/3例2：隨機相位正弦波

其中a,是大于零的常數(shù)，隨機變量聽從

上的勻整分布，求X(t)的均值函數(shù)以及自相關(guān)函數(shù)。解：連續(xù)型隨機變量特征函數(shù)有什么用？在某些隨機過程中，只要知道特征函數(shù)，就能夠確定這個過程。二階矩過程與正態(tài)過程定義1、若隨機過程{X(t),t屬于T}的二階矩都存在，則稱該過程為二階矩過程。E{X^2(t)}存在E{[X(t)-E(X(t))]^2}存在定義2、假如一個隨機變量的每一個有限維分布都是正態(tài)分布，則稱此過程是正態(tài)過程。對于正態(tài)過程只要知道均值函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)，這個過程就確定了。例：設(shè)X(t)=,t是實數(shù)，其中A,B相互獨立，都聽從N(0,)分布，試說明X(t)是正態(tài)過程，并求其均值函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)。解：對于隨意的t1,t2,…,tn,考慮隨意的實數(shù),證聽從一維正態(tài)分布是獨立正態(tài)隨機變量的線性組合，聽從正態(tài)分布.故，(X(t1),X(t2),…,X(tn))聽從n維正態(tài)分布。X(t)是正態(tài)隨機過程。二維隨機過程設(shè)X(t),Y(t)是定義于同一個樣本空間S和同一個參數(shù)集T上的隨機過程，則稱(X(t),Y(t))是一個二維隨機過程。1、二維隨機過程的分布函數(shù)稱作二維隨機過程(X(t),Y(t))的n+m維分布函數(shù)。X(t)與Y(t)的獨立性兩個隨機過程X(t),Y(t)相互獨立的充要條件隨意一個n+m維聯(lián)合分布函數(shù)=n維X(t)的分布函數(shù).m維Y(t)的分布函數(shù)二維隨機過程的數(shù)字特征1、相互關(guān)函數(shù)2、互協(xié)方差函數(shù)3、互協(xié)方差函數(shù)=0，則稱兩個過程不相關(guān)例：X(t),Y(t)已知，設(shè)W(t)=X(t)+Y(t),試求W(t)的均值函數(shù)及自相關(guān)函數(shù)。

泊松過程第三節(jié)泊松過程與維納過程1、獨立增量過程例：記尋呼臺在[0,t)時間內(nèi)收到的尋呼次數(shù)為N(t),則[0,2)、[2,5)、[5,9)時間段內(nèi)收到的尋呼次數(shù)應(yīng)當(dāng)相互獨立。即N(2)-N(0),N(5)-N(2),N(9)-N(5)相互獨立。這類過程稱作獨立增量過程。定義：假如隨機過程{X(t),t>=0}是二階矩過程，對于隨意n,及0<=t0<t1<…<tn,都有X(t1)-X(t0),X(t2)-X(t1),…X(tn)-X(tn-1)相互獨立,則稱X(t)是獨立增量過程。2、時齊性定義：若對于隨意的h,s,t,0<=s+h<=t+h,都有X(t+h)-X(s+h)與X(t)-X(s)分布相同，則稱X(t)是增量平穩(wěn)過程。3、計數(shù)過程設(shè)N(t)表示到時刻t為止已發(fā)生的“事務(wù)”個數(shù),則N(t)滿足：(1)N(t)>=0(非負(fù))取整數(shù)值(2)s<t時，N(s)<=N(t)(3)s<t時，N(t)-N(s)等于(s,t]時間段內(nèi)發(fā)生的事務(wù)數(shù)。稱滿足以上條件的過程為計數(shù)過程。前面尋呼臺收到的尋呼次數(shù)是計數(shù)過程。4、獨立增量過程的協(xié)方差設(shè)X(t)是獨立增量過程且X(0)=0,求Cx(s,t)解:記,則Y(t)也具有獨立增量,且當(dāng)0<=s<t時作業(yè)P3152、3、5、6、5、泊松過程的兩個定義定義1、一個計數(shù)過程{N(t),t>=0}稱為泊松過程，假如存在參數(shù)，使得N(t)滿足：(1)N(0)=0(從0起先計數(shù))(2)過程具有獨立增量(3)(短時間內(nèi)發(fā)生一次事務(wù)的概率與時間間隔成比例)(4)(短時間內(nèi)發(fā)生2次以上事務(wù)的概率特別小)則稱N(t)是強度為的泊松過程，相應(yīng)質(zhì)點出現(xiàn)的時刻稱作泊松流。定義2、一個計數(shù)過程{N(t),t>=0}稱為泊松過程，假如存在參數(shù),使得N(t)滿足：(1)N(0)=0(從0起先計數(shù))(2)過程具有獨立增量(3)隨意s,t,6、兩個定義的一樣性由定義2推定義1：由定義1推定義2證：設(shè)t0(拆項)0t<1為解方程，對n作數(shù)學(xué)歸納6、泊松流通常記錄到某一數(shù)量的質(zhì)點所需的時間Wn,如W1表示一個質(zhì)點到達(dá)的時間，W2表示兩個質(zhì)點到達(dá)所需的時間,…{Wn>t}={n個質(zhì)點到達(dá)的時間>t}={[0,t)時間內(nèi)到達(dá)的質(zhì)點數(shù)<n}={N(t)<n}Fwn(t)=P{Wn<=t}=1-P{Wn>t}=1-P{N(t)<n}=求導(dǎo)，得定理1、強度為的泊松過程的點間間距是相互獨立的隨機變量,且聽從同一個指數(shù)分布。定理2、假如隨意相繼出現(xiàn)的兩個質(zhì)點的點間間距相互獨立，且聽從同一個指數(shù)分布，則質(zhì)點流構(gòu)成了強度為的泊松過程。維納過程維納過程是布朗運動的數(shù)學(xué)模型。設(shè)W(t)表示運動微粒從t=0時刻到t時刻位移的橫坐標(biāo)。(1)具有平穩(wěn)的獨立增量(2)對于隨意t>s>=0,W(t)-W(s)