(完整)09川大高等代數(shù)及答案

經(jīng)典word整理文檔，僅參考，雙擊此處可刪除頁眉頁腳。本資料屬于網(wǎng)絡整理，如有侵權(quán)，請聯(lián)系刪除，謝謝！一、解答下列各題.(x)2f(x)不可能是的根.1.（5分）設(shè)f是數(shù)域F上次數(shù)為的多項式，證明：2008F為有理數(shù)域該命題成立(x)如題：設(shè)f是有理數(shù)域上一個次多項式（m是大于的正整數(shù)，證明：Q0mnm2()不可能是fx的根.n(x)(x2)(x2)證明：反證法：假設(shè)是f的根，有2nnn對于xn2，存在素數(shù)p2pa,a,,a、p不能整除a、p不能整除a201n10n(xf(x)2在有理數(shù)域不可約，則有由艾森斯坦判別法，有xnn則(f(x))n與題設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，即不可能是2f(x)的根.n2.(10分)用代數(shù)基本定理證明，實數(shù)域R上的任意不可約多項式只能是一次多項式或滿4ac0的二次多項式：axbxc.足b22證明：由代數(shù)基本定理，任意多項式在復數(shù)域都可以分解為一次多項式的乘積(x)k(xa)(xa)(xa)aC0）Rk則令多項式為f（，k且12niRRxa是實數(shù)域R上的一次不可約多項式當a當a時，則ii()時，有a也是fx的根，有xaxaxaaxaa()()()2iiiiiiiix(aa)xaa滿足b4ac022iiii(aa)aaRx(aa)xaa是實數(shù)域R上的二次不可約多項式由，，則2iiiiiiii故實數(shù)域R上的任意不可約多項式只能是一次多項式或滿足b24ac0的二次多項式：axbxc.21分）設(shè)是數(shù)域F上的階方陣.要求不用Hamilton-Caylay定理，證明：存在FAn(x)上的多項式f使得f()O.()EA證明：取的特征多項式gA()(EAEAEgE)()A設(shè)B為E的伴隨矩陣，有B()(B())n1由B的元素是EA各個代數(shù)余子式，則()BBB有Bn1n201n1()aag()EEaEaE①令g，得nn1nn11n1nB()(EAB)(BBA)(BBABBABA②)()nn1n201021n1n2n1BEBA0Ann0BBAaEBAaABA1BAn1nn1n210BBA1aE01BAaAn2n1212212比較①、②，有，得BBAaEBABAaA2n1n2BAn1aEn1n2n1BAaEn1nn1n()EOg()0左邊和右邊全部相加，有g(shù)，即(x)q(x)g(x)，則有f()O任取ff(x)3x2x1的全部根.求下式的值4.（10分）設(shè)、、是多項式3123)()()212223231312解:由根與系數(shù)的關(guān)系得23130、、121323123123111)()())()()2122232122232313121232119((())313233313233313231333233313233271232811())31323133323331323①2439932811111()()332324324391331323311313231333233()31323②933323312812439)0，則原式由①、②得，313233313231333233())()1由313233312312312132312355得原式243二、解答下列各題.1（10分）敘述并證明線性方程組的克萊默（Cramer）法則.K2（5分）設(shè)F，K都是數(shù)域且F，設(shè)AX是數(shù)域F上的線性方程組.在K上有解.AX證明：AX在F上有解當且僅當n證明：令A為矩陣m必要性：nn在F上的解，有XF，由FK，得XK令為AXX也為AX在K上的解X充分性：AX在K上有解，有r()r()M(F)()()，則在F上，也有rArA，故AX在F上有解由A，Amn3222A2143.設(shè)24分）在任意數(shù)域F上，A能否相似于一個對角陣？說明理由.分）求A的極小多項式.(X)X'AX(,,f(X)，其中Xxxx是列向量.求的一個標準型.分）設(shè)f123222EA214((2241336A的特征值為，，1221223EA244000244000當3時，r(3E)2(4,'('、基礎(chǔ)解系由n個線性無關(guān)的向量構(gòu)成8222546EA254099245000當6時，基礎(chǔ)解系由nr(6E)1個向量構(gòu)成3故A對應個線性無關(guān)的特征向量，A可對角化401P112，則有P取1112,CMQ)、又6Q，則A在有理數(shù)域可以對角化由A3由任何數(shù)域都包含有理數(shù)域，故在任意數(shù)域F上，A都能相似于一個對角陣4()(A3E)(A6E)O（2）A的特征多項式為f2由(A3E)(A6E)O，有A的極小多項式為m()(413032112C3，C為正交矩陣（3）把P的列向量單位化，得3221123322(X)X'AXY'C'ACY3y3y6y令X，有f212223210100A100B1104.（10分）證明：在任意數(shù)域F上矩陣與都不相似.111011210EA10(3111有A的特征值為，，證明：111110110EA1100001時，110000基礎(chǔ)解系有nr(E)2個線性無關(guān)的向量構(gòu)成①100EB110(3111有B的特征值為，，011000EB1000101時，基礎(chǔ)解系有nr(EB)1個向量構(gòu)成②5由①、②，得在任意數(shù)域F上矩陣A與B都不相似分A是Ak，nA也是正定的.k證明：必要性：,nA的特征值為令A的特征值為（ikkii00A是正定矩陣，，則，有A為正定矩陣kkii充分性：00，由k的任意性，有，故A是正定矩陣A的特征值為，有kkikii(F)15分）設(shè)M是數(shù)域F上的全體階方陣組成的集合.對任意可逆矩陣nnAM(F)，定義集合{XM(F)AXAX}.1nAn，即V是所有可能的的交集（V和V的一個基.A設(shè)V解：取MM(F):A0AAn(F)E,E,E()，令Aa()、Xx的一個基ijnnijnnn1112nnaEaEaE有A11111212nnnnX，則EX由A1，有ijijxixEX2i有xx1xijijj1j1jxni列行0（ij）且xxx，故XkE為數(shù)量矩陣nn得x1122ijL(E)有，則V由數(shù)量矩陣和全體對角元素為零的矩陣構(gòu)成A6n令BV，有BkEkE（ijVn2ndim1i,j1jE與全體（i）構(gòu)成VEij2OOMOOE(F)21四M是數(shù)域F上的全體r階方陣組成的集合.設(shè)是分塊rOEO2r1r{XM(F)X'MMX}E是階單位陣.設(shè)Br'XX表示的轉(zhuǎn)2r1r1e，設(shè)XX()k.已知：eMF.B置矩陣.進一步XXk!2r1k01.（15分）求B和B的一個基.B)1都有行列式e2.（15分）證明：對任意XX(,)，3.（10分）設(shè)列向量空間F上的一個雙線性函數(shù)2r1在它的基1'下的度量矩陣為上述.證明：對任意XB和M22r1列向量,ee(,),)F2r1都有.XXxXXXXXX1.解：令XXX（X、X為維行向量，X、X為維列向量，、X、X、X為階方陣）rrrX2x2X2X2xX'X'MXXXXXX(MX)'2X'X'X'有，有2''XXXX'MO(，又M為對稱矩陣，有MXMXO由X74xX2XX2X2XXXXXXO0，有x則XXXX2XX自由變量有X、X、、X、X且X、X為反對稱矩陣Xrrrr22dimBrrr2rr有2222det(e)e2.證明：根據(jù)矩陣指數(shù)的性質(zhì)，有X(X)ee()e()e()e(tr(X)XtrXtrX)(')trX('X)trXtrXtrX2233223322332233XO1)1，則ee33由X，有etr(X'X)0X222233det(e)e注：關(guān)于的證明X(X)***1**P12由存在可逆矩陣，使得*Pn***k1**kXPkP12有*kn1***kk!1e1***k01kk21***1**ePP2XP!P1k1k!*k0k0enk!knk0e)eeeeen有nXtrX()121283.證明：上的任意nF的冪的線性組合.證明：由任何一個次元多項式都可以唯一的表示成mnfmff，其中f是元i次齊次多項式niii0,x,,xkC由f是i次齊次多項式,那么xi有種組合方式i12nni1b1bfbxbxxbx(x,xx,,x)ii121ii1i11i2i令112kn2nbk,g,,gg,g,,g取k個一次齊次多項式g，它們的i次方為i1i2i12kk,a,,a,k）令的k個系數(shù)為a（jgi1j2jkjja1jagaxaxxa