2022年高中數(shù)學選擇性必修第二冊綜合測試卷

2第2第#頁共16頁⑵設bn=_^nanam，求數(shù)列｛bn｝的前n項和Sn.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ex(x-l)-2eax2,a<0.2(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；⑵求函數(shù)f(x)的極小值；(3)求函數(shù)f(x)的零點個數(shù).19.(本小題滿分12分)已知數(shù)列｛an｝的前n項和為」2n1(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式;⑵設bn=(an+1)?2%，求數(shù)列｛bn｝的前n項和幾20.(本小題滿分12分)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當年年底資金增長了50%.預計以后每年資金年增長率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元,并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元.用d表示a1,a2，并寫出an+1與an的關系式；若公司希望經(jīng)過m(m$3)年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示).21.(本小題滿分12分)如圖,有一塊半徑為20米,圓心角ZAOB=^的扇形展示臺，該3展示臺分為四個區(qū)域:三角形OCD,弓形CMD，扇形AOC和扇形BOD(其中ZAOC=ZBOD).某次菊花展依次在這四個區(qū)域擺放:泥金香、紫龍臥雪、朱砂紅霜、朱砂紅霜.預計這三種菊花展示帶來的日效益分別是:泥金香50元/米2,紫龍臥雪30元/米2,朱砂紅霜40元/米2.設ZCOD=e,試建立日效益總量y關于0的函數(shù)關系式；試探求0為何值時，日效益總量達到最大值.22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ln(2x+a)(x>0,a>0),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線在y軸上的截距為In3-2.3求a的值；討論函數(shù)g(x)=f(x)-2x(x>0)和h(x)=f(x)^^(x>0)的單調(diào)性；2x1設a=2,a=f(a)，求證:5!^<1-2<0(n^2).15n+1n2na答案全解全析一、單項選擇題C由a+a+a=18,得3a=18,.'.a=6,36966又an=6,.an=a6，又d#0,｛aj為單調(diào)數(shù)列，?:n=6.故選C.C由f(x)=alnx+2得，f(x)=-,X.*.f(e)=-=2，解得a=2e.故選C.eC設等比數(shù)列｛an｝的公比為q,則a4a5=^￡2J￡i=q2=2,a?a3a?a3a6+a7=a4q2+a5q2=(a4+a5)q2=2x2=4.故選C.B設該女子每天分別織布的尺數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛an｝,則數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列，設其首項為a1，公比為q,前n項和為Sn.則q=2,S5=5,陽二色空,解得三,1?131???％=5x22=20.故選B.33131C由S3=S]5得,a4+a5+…+a15=0,..6(a9+a10)=0,即a9+a10=0.又a1>0,.a9>0,a10<0,???S的最大項為s9.故選C.n9Cf'(x)=-e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cosx)=-2e-xsinx.令f(x)=0,得-2e-xsinx=0，解得x=kn,k^Z,從而xn=nn,n^N*,f(xn)=(-1)ne-nn.因為代陥)=-e-n，所以數(shù)列｛f(x)｝是公比為-e-n的等比數(shù)列,其首項f(xl)=(-1)ie-n=-e-n./■每)n1其通項公式為f(xn)=(-1)ne-nn,故選C.D由f(l-m)-f(m)$2[(l-m)3-m3]得，f(1-m)-1(1-m)3f(m)-2m3,構(gòu)造函數(shù)333g(x)=f(x)-1x3,則g'(x)=f(x)-x2<0.故g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞減,由函數(shù)f(x)為奇函數(shù)可3得g(x)為奇函數(shù)，故g(x)在R上單調(diào)遞減，因此原不等式可化為1-mWm,解得m》1,故選D.2A由函數(shù)y=f(x-1)的圖象關于直線x=1對稱知,f(x)是偶函數(shù)，設g(x)=x?f(x),則g(x)是奇函數(shù)，且當x<0時,g'(x)=f(x)+x?f(x)<0,即g(x)是減函數(shù),.??當x>0時,g(x)也是減函數(shù).又0<sini<i<ln2<log.i=2,22142.\g(sini)>g(ln2)>g(logxi).2^42即(sin?f(sin2)>(ln2)f(ln2)>(logi1)f(log±i).2424a>b>c.故選A.解題模板構(gòu)造函數(shù),利用單調(diào)性解決比較大小的問題中,掌握一些基本的大小關系可幫助解題，如本題中，當0<x<n時,sinx<x,ln2>lnVe=1等.22二、多項選擇題9.ABDJS^=16(aiai6)>0,162a+a=a+a^>0,AB正確.89116又S17=17(^i^i7)=17a9<0,Aa9<0,2a>>0,Ad=a-a<0,Aa>0,AA>D正確.TOC\o"1-5"\h\z8981易知S8是S的最大值,s9不是S的最大值,AC錯誤.故選ABD.8n9n10.AC由題意得,f(x)的定義域為(0,+s),且f'(x)=ex-1,設h(x)=f(x)，則h'(x)=ex+丄>0,XX2Ah(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，=e=e1-2=Ve-2<0,h(1)=e1-1>0,??.h(x)存在唯一零點，設為x0,當0<x<x0時，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，當x>x0時，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，???f(x)有唯一極小值點x0，???A正確.令f(x0)=e%=0，得e%=1，000x0=ln1=-lnx0.0%0???嘰)=%-ln%-2=++X。-2無0上2[—?%0-2=0(當且僅當x0=1時等號成立),又1<x0<l，心00020???f(x0)>0,即[f(X)監(jiān)>0,???f(x)無零點,?B錯誤.由f(xo)=1+x0-2,1<x0<1，0可設g(x)=i+x-2，則g'(x)=-±+l.XX2當2<x<1時,g'(x)<0,??g(x)在(Z,1)上單調(diào)遞減.22???g(l)<g(x)<g(1),即0<f(x0)<1,?C正確，D錯誤.故選AC.11.BD設等差數(shù)列｛an｝的公差為d,由題意得必=a2a8，即(l+3d)2=(l+d)(l+7d),d2-d=0,解得d=0或d=1.當d=0時,a=a=1,n1?*.b=aQan=q,nn?:{bn}的前n項和為nq,B正確.當d=1時,an=n,.*.bn=n?qn(qH0,l).Sn=1xq+2xq2+…+nqn,

q-qn1nqn2-nqn11q.??qSn=lxq2+???+(n-l)qnq-qn1nqn2-nqn11q(l-q)S=q+q2+—+qn-nqn+i=q(1-qn)-nqn+in1q又qH1,???S=qnqn2-nqnl~qnl,D正確.故選BD.n(1-q)212.BCDf(x)=ex?x3,f(x)=ex(x3+3x2).令f(x)=0,得x=0或x=-3.當x<-3時，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，當x>-3時，f(x)$0,f(x)單調(diào)遞增,A錯誤.又0<log52<i<e-21<1<lnn,f(log52)<f(e-2)<f(lnn),B正確.3???f(0)=0,f(-3)=e-3?(-3)3=-(3)<-1,e??.f(x)=-1有實數(shù)根,C正確.設f(x)=kx,顯然x=0是方程的根，當x#0時,k=住^=ex?X2,設g(x)=ex?X2,貝g'(x)=x(x+2)ex,X令g'(x)=0,得x=0或x=-2.當x發(fā)生變化時,g'(x),g(x)的變化情況如下表:x3,-2)x3,-2)-2(-2,0)0g'(x)+0-04g(x)/e2\0(0,+s)+/畫出畫出y=g(x)的大致圖象,如圖,-20-20???當0<k<4時,g(x)=k有3個實數(shù)根,???D正確.故選BCD.e2三、填空題答案6解析設等差數(shù)列｛an｝的公差為d.則3d=a6-a3=6，解得d=2.所以a10-a7=3d=6.答案768解析由a1=3S，得S1-S=3S，即S1=4S，又S1=a1=1,所以數(shù)列｛S｝是首項為1,n+1nn+1nnn+1n11n公比為4的等比數(shù)列，所以S=4n-1，所以a=S-S=45-4仁3x4仁768.n665答案x-y-1=0解析Tf(x)=xg(x)，Af(x)=g(x)+xg'(x).?.?曲線y=f(x)在(1，f(1))處的切線方程是x-y-1=0，r1-/(1)-1=0,?jf(l)=O,??｛廣(1)=1,??｛廣(1)=1?

當x>i+V5或i-V5<x<i,f(x)<o,f(x)單調(diào)遞減，當i<x<i+V5或x<i-V5時，f(x)>o,f(x)單調(diào)遞增.又當Xfg時，f(x)<0,f(l+V5)=f(l-V5)=16,?：f(x)的最大值為16.四、解答題17.解析(1)設等差數(shù)列｛an｝的首項為a1,公差為d.=3,a5=6,(a{(a{1a1:4d==；解得需J2分)an=a1+(n-1)d=n+1.(4分)⑵由⑴知a=n+1,?：b—1=——1一=丄-丄,(6分)nn?n?n+1(n+1)(n+2)n+1n+2.*.S—b+b+…+b—1-i+1-i++^—^^^(8分)n12n2334n+1n+2—丄-丄—^^.(10分)2n+22(n+2)18.解析(1)由已知得，f(x)的定義域為R,f'(x)—ex(x-1)+ex-eax—x(ex-ea),f'(0)—0.又f(0)--1,???切點坐標為(0,-1).???曲線y—f(x)在點(0,-1)處的切線方程為y--1.(4分)⑵由(1)知f(x)—x(ex-ea).令f(x)—0,得x—0或x—a(a<0).當x發(fā)生變化時，f(x),f(x)的變化情況如下表：(0,+s)+/x(-s,a)a(0,+s)+/f'(x)+0-0f(x)/極大值'極小值???f(x)在(?,a),(O,+x)上單調(diào)遞增,在(a,0)上單調(diào)遞減.???f（x）在x=0處取得極小值，且極小值為f（0）=-l.（8分）⑶由(2)知f(x)的極大值為f(a)=ea(a-1)-1eaa2=(a-1-2fl2)ea<0(a<0),22f(0)=-1<0,f(2)=e2-2ea.*.*a<0,A0<ea<1,Af(2)>0.???函數(shù)f（x）的零點個數(shù)為1.（12分）19.解析（1）設等差數(shù)列｛an｝的首項為a1,公差為d,令n=1,得D,所以a1a2=3.①（1分）口1口23令n=2,得丄+丄=5,a1a2a2a35所以a2a3=15.②（3分）由①②得a1=1,d=2，所以an=2n-1.（5分）(2)由(1)矢口bn=2n?22n-i=n?4n,所以T=1?4i+2?42+???+n?4n,n所以4Tn=1?42+???+(n-1)?4n+n?4n+1,(7分)兩式相減，得-3Tn=41+42+???+4n-n?4n+1(9分)=4(14町-n?4n+1=i^^?4n+1-4,(11分)1433所以T=込1?4n+1+4=43-1)?4初.(12分)n999解析(1)由題意得a=2000(1+50%)-d=3000-d,a=a(1+50%)-d=3a-d=412121500-5d,(2分)2a尸a(1+50%)-d=3a-d.(5分)n+1n2n⑵由⑴得an=|an.1-d=|?(|%2可缶(|)2?玄“工尹缶…弋廣1a"1+2+(3)2+???+(|廣2,(7分)整理得an=(|)n"1(3000-d)-2d?(尹1-1電廣力000-3d)+2d.(9分)由題意知am=4000,所以(2)m_1(3000-3d)+2d=4000,亦/曰1(3)m-2X1000解得d=(瀘1_1000(3叫2如)(ii分3m-2m故該企業(yè)每年上繳資金d的值為1000(3心⑷)萬元時，經(jīng)過m(m$3)年企業(yè)的剩余資3m-2m金為4000萬元.(12分)解析(1)依題意得,ZAOC=3M=n2(2分)232則y=ix(n--)x202x40x2+ix202xsin0^50+Ix0x202-ix202xsin0^x302>32丿222=16000x(n--)+10000sin0+60000-6000sin0=i6000n+4000sin0-20000,0<0<2n.(6分)33(2)由(1)得,y'=4000cos0-2000,令y'=0,得cos0=2,2又0<0<空,所以0=n,(8分)33當0<0<n時,y'>0,當￥<0<竺時,y'<0,(10分)333所以0=n是函數(shù)的極大值點，且唯一；3所以當0=呼寸，日效益總量達到最大值.(12分)3解析(1)由f(x)=ln(2x+a),得f(x)二「，因此f(1)=丄.(1分)2%a2a又因為f(1)=ln(2+a),所以曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為y-ln(2+a)=-J(x-1),2a即y=_^x+ln(2+a)--^.(2分)2a2a由題意得,ln(2+a)--^=ln3-2,2a3易得a=1，符合上式.(3分)令申(a)=ln(2+a)--^(a>0),2a貝H0@)=丄+—2—>0,2a(2a)2所以嘰a)為單調(diào)遞增函數(shù)，故a=1是唯一解.(4分)(2)由(1)可知,g(x)=ln(2x+l)-2x(x>0),h(x)=ln(2x+l)--^(x>0),2x1則g'(x)=—-2二-旦<0,2x12x1所以g(x)=f(x)-2x(x>0)為單調(diào)遞減函數(shù).(6分)因為h'(x)=—^-—2—=——>0,2x1(2x1)2(2x1)2所以h(x)=f(x)-王(x>0)為單調(diào)遞增函數(shù).(8分)2x1⑶證明:由a=2,a=f(a)=ln(2a+1),易得a>0.15n+1nnn所以込竺<丄2等價于a<竺.(9分)2池％n5由⑵可知,g(x)=f(x)-2x=ln(2x+1)-2x在(0,+s)上為單調(diào)遞減函數(shù).因此，當x>0時,g(x)<g(0)=0,即f(x)<2x.令％=%-1@上2),得f(an-1)<2an-1,即a<2a.nn-1因此，當n$2時,a<2a<22a<^<2n-1?a=^.nn-1n-215所以52上l<丄-2成立.(10分)2nan下面證明:—-2<0.an由⑵可知,h(x)=f(x)--?^=ln(2x+1)--在(0,+s)上為單調(diào)遞增函數(shù),2x12x1因此，當x>0時,h(x)>h