-模態(tài)分析理論基礎(chǔ)

模態(tài)分析理論基礎(chǔ)是20世紀30年代機械阻抗與導(dǎo)納的概念上發(fā)展起來。吸取了振動理論、信號分析、數(shù)據(jù)處理、數(shù)理統(tǒng)計、自動控制理論的有關(guān)營養(yǎng)，形成一套獨特的理論。

模態(tài)分析的最終目標是識別出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動分析、振動故障診斷和預(yù)報、結(jié)構(gòu)動力特性的優(yōu)化設(shè)計提供依據(jù)。

解析模態(tài)分析可用有限元計算實現(xiàn)，而試驗?zāi)B(tài)分析則是對結(jié)構(gòu)進行可測可控的動力學(xué)激勵，由激振力和響應(yīng)的信號求得系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣，再在頻域或轉(zhuǎn)到時域采用多種識別方法求出模態(tài)參數(shù)，得到結(jié)構(gòu)固有的動態(tài)特性，這些特性包括固有頻率、振型和阻尼比等。

模態(tài)分析定義為：將線性時不變系統(tǒng)振動微分方程組中的物理坐標變換為模態(tài)坐標，使方程組解耦，成為一組以模態(tài)坐標及模態(tài)參數(shù)描述的獨立方程，坐標變換的變換矩陣為振型矩陣，其每列即為各階振型。

有限元分析軟件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在結(jié)構(gòu)設(shè)計中被普遍采用,但在設(shè)計中,由于計算模型和實際結(jié)構(gòu)的誤差,而且受到邊界條件很難準確確定的影響,特別是結(jié)構(gòu)的形狀和動態(tài)特性很復(fù)雜時，有限元簡化模型和計算的誤差較大。通過對結(jié)構(gòu)進行實驗?zāi)B(tài)分析，可以正確確定其動態(tài)特性，并利用動態(tài)實驗結(jié)果修改有限元模型，從而保證了在結(jié)構(gòu)響應(yīng)、壽命預(yù)計、可靠性分析、振動與噪聲控制分析與預(yù)估以及優(yōu)化設(shè)計時獲得有效而正確的結(jié)果。a.獲得結(jié)構(gòu)的固有頻率,可避免共振現(xiàn)象的發(fā)生當外界激勵力的頻率等于振動系統(tǒng)的固有頻率時，系統(tǒng)發(fā)生共振現(xiàn)象。此時系統(tǒng)最大限度地從外界吸收能量，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)過大有害振動。結(jié)構(gòu)設(shè)計人員要設(shè)法使結(jié)構(gòu)不工作在固有頻率環(huán)境中。相反，共振現(xiàn)象并非總是有害的：振動篩、粉末碾磨機、打夯機和滅蟲聲發(fā)射裝置等等就是共振現(xiàn)象的利用。結(jié)構(gòu)設(shè)計人員此時要設(shè)法使這種器械工作在固有頻率環(huán)境中，可以獲得最大能量利用率。試驗?zāi)B(tài)分析的典型應(yīng)用b.為了應(yīng)用模態(tài)疊加法求結(jié)構(gòu)響應(yīng)，確定動強度,和疲勞壽命

分析告訴我們?nèi)魏尉€性結(jié)構(gòu)在已知外激勵作用下他的響應(yīng)是可以通過每個模態(tài)的響應(yīng)迭加而成的。所以模態(tài)分析另一主要的應(yīng)用是建立結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)的預(yù)測模型，為結(jié)構(gòu)的動強度設(shè)計及疲勞壽命的估計服務(wù)。c.載荷(外激勵)識別由激勵和模態(tài)參數(shù)預(yù)測響應(yīng)的問題稱為動力學(xué)正問題，反之由響應(yīng)和模態(tài)參數(shù)求激勵稱為反問題。原則上只要全部的各階模態(tài)參數(shù)都求得,由響應(yīng)就可以求出外激勵（稱為載荷識別）。d.振動與噪聲控制

既然結(jié)構(gòu)振動是各階振型響應(yīng)的迭加，只要設(shè)法控制相關(guān)頻率附近的優(yōu)勢模態(tài)（改設(shè)計和加阻尼材料等或使用智能材料）就可以達到控制結(jié)構(gòu)振動的目的。對汽車車廂內(nèi)或室內(nèi)輻射噪聲的控制，道理也一樣。車廂座艙或室內(nèi)輻射噪聲與其結(jié)構(gòu)的振動特性（模態(tài)）關(guān)系密切，由于輻射噪聲是由結(jié)構(gòu)振動“輻射”出來的?？刂屏私Y(jié)構(gòu)的振動，也就是實現(xiàn)了輻射噪聲的控制。e.為結(jié)構(gòu)動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計提供目標函數(shù)或約束條件

動力學(xué)設(shè)計，即對主要承受動載荷而動特性又至關(guān)重要的結(jié)構(gòu)，以動態(tài)特性指標作為設(shè)計準則，對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計。它既可在常規(guī)靜力設(shè)計的結(jié)構(gòu)上，運用優(yōu)化技術(shù)，對結(jié)構(gòu)的元件進行結(jié)構(gòu)動力修改；也可從滿足結(jié)構(gòu)動態(tài)性能指標出發(fā)，綜合考慮其它因素來確定結(jié)構(gòu)的形狀，乃至結(jié)構(gòu)的拓撲（布局設(shè)計、開孔、增刪元件）。動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計就是在結(jié)構(gòu)總體設(shè)計階段就應(yīng)對結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)提出要求，避免事后修補影響全局。f.有限元模性修正與確認

當今工程結(jié)構(gòu)計算采用最廣泛的計算模型就是有限元模型。再好的算法和軟件都是建立在理想的結(jié)構(gòu)物理參數(shù)和邊界條件假設(shè)上的。結(jié)構(gòu)有限元計算結(jié)果和試驗往往存在不小差距。此時在模態(tài)試驗可信的前提下，一般是以試驗結(jié)果來對有限元模型進行修正和確認。經(jīng)過修正和確認的有限元模型具有優(yōu)化概念下的與試驗結(jié)果最大的接近。可以進一步用于后繼的響應(yīng)、載荷和強度計算。單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)分析粘性阻尼系統(tǒng)阻尼力（與振動速度成正比）：強迫振動方程及其解解的形式（s為復(fù)數(shù)）及拉氏變換：阻尼比范圍（0－1）內(nèi)為欠阻尼無阻尼固有頻率實部：衰減因子，反映系統(tǒng)阻尼虛部：有阻尼系統(tǒng)的固有頻率

自由振動結(jié)構(gòu)阻尼（滯后阻尼）系統(tǒng)阻尼力：與位移成正比，相位比位移超前90度結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)運動方程及拉氏變換g—

為結(jié)構(gòu)阻尼比或結(jié)構(gòu)損耗因子傳遞函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)用實部和虛部表示與粘性阻尼系統(tǒng)相比頻響函數(shù)形式相同和相互置換即可得各自表達式（1＋jg）k—

復(fù)剛度位移、速度和加速度傳遞函數(shù)位移、速度和加速度頻率響應(yīng)函數(shù)三者之間的關(guān)系動剛度（位移阻抗）動柔度（位移導(dǎo)納）質(zhì)量阻抗、阻尼阻抗、剛度阻抗（位移、速度、加速度）質(zhì)量導(dǎo)納、阻尼導(dǎo)納、剛度導(dǎo)納（位移、速度、加速度）左至右阻抗除，導(dǎo)納乘單自由度頻響函數(shù)的特性曲線Bode圖(幅頻圖和相頻圖)幅頻圖:頻響函數(shù)的幅值與頻率的關(guān)系相頻圖:相位與頻率的關(guān)系阻尼愈大，在固有頻率附近相位曲線的陡度越小

時曲線始點約為1/k，為彈簧的導(dǎo)納線；低頻時外力主要由彈簧力來平衡；時，產(chǎn)生共振，幅值為此時慣性力與彈簧力平衡，激勵力與阻尼力平衡時幅值下降，最后趨向于漸近線極值為0，高頻時系統(tǒng)激勵力主要由慣性力來平衡實頻圖（結(jié)構(gòu)阻尼）（粘滯阻尼）兩個極值點半功率帶寬半功率帶寬反映阻尼大小阻尼越大，半功率帶寬越大，反之亦然虛頻圖

（結(jié)構(gòu)阻尼）

（粘性阻尼）

以結(jié)構(gòu)阻尼為例：系統(tǒng)共振時虛部達到最大值系統(tǒng)共振時實部為零半功率點處的值半功率的概念是針對功率（而非幅值）而言，在半功率點處，虛部正好為其最大值的一半，但幅值卻為最大幅值的有效值。Nyquist圖－頻響函數(shù)矢端軌跡圖結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)Nyquist圓（導(dǎo)納圓）》特點起始點(頻率為零)非原點，約在(1/k,-g/k)處，圓心坐標（0，-1/2kg）初相角為arctan(-g)圓的直徑為虛部最大值1/(kg)半徑為實部最大值1/(2kg)直徑處對應(yīng)半功率帶寬兩個頻率點共振頻率點粘滯阻尼系統(tǒng)Nyquist圖特點

(是變的，所以不是圓)桃子形，阻尼比越小軌跡圓越大在固有頻率附近，曲線接近圓，仍可利用圓的特性速度與加速度頻響函數(shù)特性曲線關(guān)系回顧幅頻圖實頻圖與虛頻圖Nyquist圖不同激勵下頻響函數(shù)的表達式要點頻響函數(shù)反映系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系表示系統(tǒng)的固有特性線性范圍內(nèi)它與激勵的型式與大小無關(guān)在不同類型激勵力的作用下其表達形式常不相同簡諧激勵激勵力響應(yīng)位移頻響函數(shù)

周期激勵非正弦周期力，如方波、鋸齒波，周期為T響應(yīng)的傅氏展開頻響函數(shù)（定義為各頻率點上的值）均包含幅值與相位兩個量瞬態(tài)激勵一般瞬態(tài)輸入傅氏變換相應(yīng)輸出傅氏變換相應(yīng)頻響函數(shù)單位脈沖激勵頻響函數(shù)隨機激勵輸入自相關(guān)函數(shù)輸入自功率譜密度輸入輸出互相關(guān)函數(shù)互功率譜密度函數(shù)頻響函數(shù)多自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)分析兩類系統(tǒng)約束系統(tǒng)自由系統(tǒng)約束系統(tǒng)2自由度運動方程（無阻尼）傅氏變換頻響函數(shù)矩陣原點頻響函數(shù)第i點的響應(yīng)與第i點的激勵之間的頻響函數(shù)跨點頻響函數(shù)第i點的響應(yīng)與第j點的激勵之間的頻響函數(shù)原點頻響函數(shù)特性原點頻響函數(shù)曲線及特性兩個共振頻率點（對應(yīng)于分母為零）一個反共振點（分子為零）

反共振是局部現(xiàn)象（僅僅振幅為零，因為此時頻響函數(shù)的其他項均不為零）。機架線一般多自由度約束系統(tǒng)N自由度約束系統(tǒng)有N個共振頻率,（N－1）個反共振頻率對原點函數(shù)共振反共振交替出現(xiàn)對跨點頻響函數(shù)無此規(guī)律一般兩個距離遠的跨點出現(xiàn)反共振的機會比較近的跨點少機架線自由系統(tǒng)兩自由度系統(tǒng)運動方程（無阻尼）頻響函數(shù)矩陣曲線及特性時系統(tǒng)產(chǎn)生剛體運動零頻為剛體模態(tài)反共振點一個共振點高頻時以高階質(zhì)量線為漸進線，趨向于零零階等效質(zhì)量機架線一般多自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線一般總結(jié)共振于反共振頻率滿足以下關(guān)系（如果有零頻則算第一階）機架線M、C、K均為N×N矩陣方程包含物理坐標為耦合方程多自由度系統(tǒng)模態(tài)分析與模態(tài)參數(shù)（基本理論及方法）比例阻尼線定常系統(tǒng)物理坐標下的運動方程

傳遞函數(shù)和頻響函數(shù)矩陣

拉氏變換

模態(tài)坐標下的運動方程-任意l點的響應(yīng)為各階模態(tài)響應(yīng)的線性組合振型矩陣（模態(tài)矩陣）第r階振型（模態(tài)向量)模態(tài)坐標-模態(tài)坐標下的運動方程無阻尼自由振動特征方程全部模態(tài)第r階模態(tài)模態(tài)正交性主模態(tài)：各階模態(tài)主空間：各階模態(tài)向量所組成的空間主坐標：相應(yīng)的模態(tài)坐標第r階模態(tài)的慣性力對第s階模態(tài)位移所做的功為零；或第r階模態(tài)的彈性力對第s階模態(tài)位移所做的功為零

模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度-模態(tài)剛度

特定歸一化情況（模態(tài)質(zhì)量歸一)它們的具體值沒有太大的意義，取決于振型歸一化，這是因為振型只是振動形態(tài)，沒有振幅的意思。這三個振型（模態(tài)向量）是等價的-模態(tài)質(zhì)量0000

解偶后的運動方程運動方程比例阻尼模態(tài)阻尼M、K對稱，所以C也對稱，也具有正交性

解偶后的運動方程解偶運動方程（模態(tài)坐標下）對第r階模態(tài)模態(tài)頻率、模態(tài)向量、模態(tài)質(zhì)量模態(tài)剛度、模態(tài)阻尼總稱模態(tài)參數(shù)多自由度系統(tǒng)實模態(tài)分析實模態(tài)條件各點振動相位差為零，或為180度與無阻尼和比例阻尼系統(tǒng)等價實模態(tài)下響應(yīng)模態(tài)坐標物理坐標測點l的響應(yīng)單點激勵頻響函數(shù)單點p激勵l點響應(yīng)測量l點與激勵點p之間的頻響函數(shù)頻響函數(shù)與激勵力大小無關(guān)幾個概念等效剛度等效質(zhì)量等效質(zhì)量與等效剛度的關(guān)系等效剛度與測點與激勵點有關(guān)幾個概念等效剛度等效質(zhì)量等效質(zhì)量與等效剛度的關(guān)系等效剛度與測點與激勵點有關(guān)剩余柔度認為是與頻率無關(guān)的常數(shù)也可認為是頻率的線性函數(shù)模態(tài)截斷頻響函數(shù)的合成頻響函數(shù)為單個模態(tài)之疊加模態(tài)截斷只關(guān)心前幾階和十幾階模態(tài)忽略高階模態(tài)的影響所截模態(tài)數(shù)一般大于被分析模態(tài)數(shù)的兩倍頻響函數(shù)多自由度系統(tǒng)復(fù)模態(tài)分析特點各點相位差不一定是0度或180度（與實模態(tài)不同）振型系數(shù)為復(fù)數(shù)結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)結(jié)構(gòu)阻尼材料內(nèi)部阻尼滑移阻尼（接頭、螺釘、鉚釘、襯墊等）運動方程及拉氏變換R為結(jié)構(gòu)阻尼矩陣傳遞函數(shù)和頻響函數(shù)矩陣一般表達特征解的正交性G為結(jié)構(gòu)損耗因子矩陣GK＝R(I＋jG)K為復(fù)剛度矩陣模態(tài)矩陣（振型矩陣）模態(tài)質(zhì)量矩陣、模態(tài)剛度矩陣都是復(fù)數(shù)振型向量正則化頻響函數(shù)矩陣具體表達一般粘性阻尼系統(tǒng)運動方程狀態(tài)向量和狀態(tài)方程阻尼矩陣不能在N維主空間解偶，需采用狀態(tài)空間法引入狀態(tài)向量狀態(tài)方程擴展為2N空間自由振動特征方程方程特征值(2N個）特征向量2N維空間系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)頻率和復(fù)振型向量，共軛成對模態(tài)正交性矩陣表示正交性矩陣表達模態(tài)坐標下的解利用正交性解偶后的方程振型疊加解模態(tài)坐標t＝0時的模態(tài)坐標向量l點的瞬時位移

復(fù)模態(tài)特性復(fù)共軛特性特征值與特征向量均為復(fù)數(shù)，共軛成對，共2N個復(fù)模態(tài)的正交性復(fù)特征向量在2N維空間中正交；而實模態(tài)在N維空間中正交復(fù)模態(tài)解偶性系統(tǒng)運動方程在2N維狀態(tài)空間解偶，而實模態(tài)在N維空間解偶；復(fù)模態(tài)運動特征系統(tǒng)各點有無規(guī)律的相位差，而實模態(tài)則為0或180度各點不同時通過平衡點，而實模態(tài)則同時通過平衡位置各點的振動頻率和周期仍相同，由決定，對一定模態(tài)它是常數(shù)系統(tǒng)振動無一定振型，節(jié)點也不是固定的，而作周期性移動，這與實模態(tài)截然不同自由振動時衰減振動，各點衰減率相同，由決定，這點與實模態(tài)相同復(fù)模態(tài)傳遞函數(shù)表達式模態(tài)坐標下運動方程傳遞函數(shù)矩陣頻率響應(yīng)矩陣內(nèi)容總結(jié)模態(tài)分析理論基礎(chǔ)是20世紀30年代機械阻抗與導(dǎo)納的概念上發(fā)展起來。動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計就是在結(jié)構(gòu)總體設(shè)計階段就應(yīng)對結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)提出要求，避免事后修補影響全局。當今工程結(jié)構(gòu)計算采用最廣泛的計算模型就是有限元模型。此時在模態(tài)試驗可信的