應用數(shù)學論文-定積分在生活中的應用

.../定積分在生活中的應用引言通過學習了定積分后,我了解到定積分在生活中有很重要的應用。定積分作為大學里很重要的一部分,在生活有廣泛的應用；微積分是與應用聯(lián)系發(fā)展起來的,最初牛頓應用微積分是為了從萬有引力導出行星三定律,此后,微積分極大的推動了數(shù)學的發(fā)展,同時也極大的推動了天文學、物理學、化學、工程學、經濟學等自然科學的發(fā)展,而且隨著人類知識的不斷發(fā)展,微積分正指引著人類走向認知的殿堂。一、定積分的概述1、定積分的定義設函數(shù)在區(qū)間上有界,在中任意插入若干個分點,把區(qū)間分成個小區(qū)間：有且各個小區(qū)間的長度依次為,,…,。在每個小區(qū)間上任取一點,作函數(shù)與小區(qū)間長度的乘積〔,并作出和。記,如果不論對怎樣分法,也不論在小區(qū)間上點怎樣取法,只要當時,和總趨于確定的極限,這時我們稱這個極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分〔簡稱積分,記作,即==,其中叫做被積函數(shù),叫做被積表達式,叫做積分變量,叫做積分下限,叫做積分上限,叫做積分區(qū)間。2．定積分的性質.設函數(shù)和在上都可積,是常數(shù),則和+都可積,并且性質1=;性質2=+=-.性質3定積分對于積分區(qū)間的可加性設在區(qū)間上可積,且,和都是區(qū)間內的點,則不論,和的相對位置如何,都有=+。性質4如果在區(qū)間上1,則==。性質5如果在區(qū)間上,則。性質6如果在上,,則性質7〔積分中值定理如果在上連續(xù),則在上至少存一點使得3．定理及方法1、定理定理1微積分基本定理如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則積分上限函數(shù)=在上可導,并且它的導數(shù)是==.定理2原函數(shù)存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則函數(shù)=就是在上的一個原函數(shù).定理3牛頓-萊布尼茨公式.如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù),則=稱上面的公式為牛頓-萊布尼茨公式.2、方法定積分的換元法假設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),函數(shù)滿足條件<1>,;<2>在<或>上具有連續(xù)導數(shù),且其值域,則有=,上面的公式叫做定積分的換元公式.定積分的分部積分法根據不定積分的分部積分法,有簡寫為=或=.二、定積分的應用㈠計算平面圖形面積、旋轉體體積、曲線弧長上的應用1、利用定積分計算平面圖形的面積〔1設連續(xù)函數(shù)和滿足條件,．求曲線,及直線所圍成的平面圖形的面積．〔如圖1解法步驟：第一步：在區(qū)間上任取一小區(qū)間,并考慮它上面的圖形的面積,這塊面積可用以為高,以為底的矩形面積近似,于是．第二步：在區(qū)間上將無限求和,得到.圖2〔2上面所訴方法是以為積分變量進行微元,再求得所圍成圖形的面積；我們還可以將作為積分變量進行微元,再求圍成的面積。由連續(xù)曲線、其中與直線、所圍成的平面圖形〔圖2的面積為：圖2例1求由曲線,及兩直線,所圍成的圖形的面積A．解〔1作出圖形,如圖所示．易知,在上,曲線與的交點為；〔2取為積分變量,積分區(qū)間為．從圖中可以看出,所圍成的圖形可以分成兩部分；〔3區(qū)間上這一部分的面積和區(qū)間上這一部分的面積分別為,,所以,所求圖形的面積為=+．例2求橢圓的面積.解 橢圓關于軸,軸均對稱,故所求面積為第一象限部分的面積的4倍,即 利用橢圓的參數(shù)方程應用定積分的換元法,,且當時,時,,于是2．求旋轉體體積用類似求平面圖形面積的思想我們也可以求一個立體圖形的體積,例如一個木塊的體積,我們可以將此木塊作分割劃分成許多基本的小塊,每一塊的厚度為,假設每一個基本的小塊橫切面積為,為上連續(xù)函數(shù),則此小塊的體積大約是,將所有的小塊加起來,令,我們可以得到其體積：。例2求由曲線,直線,,繞軸旋轉一周而形成的立體體積.解先畫圖形,因為圖形繞軸旋轉,所以取為積分變量,的變化區(qū)間為[1,4],相應于[1,4]上任取一子區(qū)間[,+]的小窄條,繞軸旋轉而形成的小旋轉體體積,可用高為,底面積為的小圓柱體體積近似代替,即體積微元為==,于是,體積==1616=12.求曲線的弧長〔1設曲線在上有一階連續(xù)導數(shù)〔如下圖,利用微元法,取為積分變量,在上任取小區(qū)間,切線上相應小區(qū)間的小段的長度近似代替一段小弧的長度,即.得弧長微元為：,再對其積分,則曲線的弧長為：〔2參數(shù)方程表示的函數(shù)的弧長計算,設曲線上一段的弧長.這時弧長微元為：即則曲線的弧長為：例3<1>求曲線上從0到3一段弧的長度解由公式=〔知,弧長為=====.<2>求擺線在上的一段弧的長度〔．解取為積分變量,積分區(qū)間為．由擺線的參數(shù)方程,得,,．于是,由公式〔16-13,在上的一段弧的長度為㈡、定積分在物理中的應用1、求變速直線運動的路程我們知道,作變速直線運動的物體所經過的路程s,等于其速度函數(shù)v=v<t><v<t>≥0>在時間區(qū)間[a,b]上的定積分,即例1、一輛汽車的速度一時間曲線如圖所示．求汽車在這1min行駛的路程．解：由速度一時間曲線可知：因此汽車在這1min行駛的路程是：答：汽車在這1min行駛的路程是1350m.2、定積分在變力作功的應用例1一物體在恒力F〔單位：N的作用下做直線運動,如果物體沿著與F相同的方向移〔單位：m>,則力F所作的功為W=Fs.探究如果物體在變力F<x的作用下做直線運動,并且物體沿著與F<x>相同的方向從x=a移動到x=b<a<b>,那么如何計算變力F<x所作的功W呢？與求曲邊梯形的面積和求變速直線運動的路程一樣,可以用"四步曲"解決變力作功問題．可以得到例2設40N的力使一彈簧從原長10cm拉長到15cm．現(xiàn)要把彈簧由15cm拉長到20cm,需作多少功？解以彈簧所在直線為軸,原點為彈簧不受力時一端的位置．根據胡克定律,當把彈簧拉長m時,所需的力為, 〔1其中為彈性系數(shù),是常數(shù)．根據題意,當把彈簧由原長10cm拉長到15cm時,拉伸了0.05m,把代入式〔1,得,,所以 ．因此當把彈簧由15cm拉長到20cm,即從變到時,所需作的功為．3、定積分在在電學中的應用例1、有一均勻帶電圓盤,其半徑為,電荷面密度為〔如下圖,求圓盤軸線上與盤心O相距為的任一給定點處的場強？分析：因為圓盤帶電均勻分布,所以把圓盤分成許多同心的細圓環(huán)。分成的細圓環(huán)同樣也是均勻帶電的,要知道各細圓環(huán)在點處的場強,我們可以同樣利用微元法在細圓環(huán)上任取微小的電荷元,求出每一電荷元在點的場強,那么由場強疊加原理,最后即可求出圓盤在點處的總場強。解：從圓盤上任取一半徑為,寬度為的細圓環(huán),因為圓盤的面密度,則細圓環(huán)所帶的電荷量為.那么我們先來計算一下這個圓環(huán)<假設帶電量為>在點激發(fā)的場強。如下圖所示,在圓環(huán)上任取長度元,電荷線密度,則上所帶的電荷量為：在點處所激發(fā)的場強為：式中是從指向點的矢量,其大小,由于圓環(huán)上各電荷元在點激發(fā)的場強的方向各不相同,為此把分解為平行于軸線的分量和垂直于軸線的分量。根據對稱性,各電荷元的場強的分矢量相互抵消。所以點的合場強是平行于軸的那些分矢量之和,即從而,帶電細圓環(huán)在點激發(fā)的場強為：那么,帶電圓盤就是這些帶電細小圓環(huán)所激發(fā)的場強的矢量和,即場強的方向與圓盤相垂直,其指向則視的正負而定,,的方向與同向；,與反向。3總結從上面的論述中可以看出,定積分的應用十分的廣泛,利用定積分來解決其他學科中的一些問題,是十分的簡潔、方便,由此可見是學習、思維的妙處.因此我們要學會橫向學習,各個學科之間都是有聯(lián)系的,若我們能夠在學習中把這些聯(lián)系找出來并加以分析、總結并應用,則不僅能加深對知識的理解,貫通了新舊知識,還能拓寬知識的應用范圍、活躍思維,無論從深度上還是廣度上都是質的飛躍.參考文獻：[1]《數(shù)學分析》上冊〔第二版復旦大學數(shù)學系編.高等教育出版社