圓夢高考助力未來2022年高考學業(yè)質(zhì)量模擬監(jiān)測數(shù)學試卷含答案解析

圓夢高考助力未來2022年高考學業(yè)質(zhì)量模擬監(jiān)測

數(shù)學(試題卷)

注意事項：

1.答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上.

2.第I卷(選擇題)選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試卷上.

3.第n卷(非選擇題)請用0.5毫米黑色簽字筆在相應(yīng)位置處答題，如需改動，用"\”

劃掉重新答題.

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|X,l},集合3={幻/+3%+2=0},則AC|8=()

A.空集B.(—co,l]C.(-2,-1)D.{-2,-1)

2.已知a,夕，/是三個不同的平面，?？谑?，=〃.則下列命題成立的是()

A.若mMn,則a〃/B.若a〃y,則加〃〃

C.若加_1_力，則a_1_/口.若=_Ly,則相_LK

3.已知函數(shù)〃'*,0,設(shè)"1)=。，則f(a)=()

x-2,x>0

A.2B.gC.—D.—

222

C.22

4.己知曲線/(x)=4/在點(i,/⑴)處的切線的傾斜角為1,則_sma-cosa,=

32sinacosa+cosa

()

133

A.-B.2C.-D.--

258

5.中醫(yī)是中國傳統(tǒng)文化的瑰寶.中醫(yī)方劑不是藥物的任意組合，而是根據(jù)中藥配伍原則，總

結(jié)臨床經(jīng)驗，用若干藥物配制組成的藥方，以達到取長補短、辨證論治的目的.中醫(yī)傳統(tǒng)名

方“八珍湯”是由補氣名方“四君子湯”(由人參、白術(shù)、茯苓、炙甘草四味藥組成)和補血名

方“四物湯”（由熟地黃、白芍、當歸、川號四味藥組成）兩個方共八味藥組合而成的主治氣

血兩虛證方劑.現(xiàn)從“八珍湯''的八味藥中任取四味，取到的四味藥剛好組成“四君子湯'’或"四

物湯”的概率是（）

11

A.B.—D.----

35708401680

6.已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為6,頂點都在一個球面上，則該球的表面

積為（）

A.36%B.84〃C.132萬D.180〃

7.如圖，直線x=m（根>1）依次與曲線y=log“x、

>=log?x及x軸相交于點A、點8及點C,若B是線段AC

的中點，則（）

A.\<h<2a—\B.b>2a—l

C.［<b<2aD.b>2a

8.已知偶函數(shù)/（x）滿足/（3+x）=/（3—x）,且當xe［0,3］時，〃力=比后，若關(guān)于X

的不等式/2（.*）一/（幻>0在［-150,150］上有且只有150個整數(shù)解，則實數(shù)f的取值范圍是

()

__1__3>(_31、

A.0,e5B.e2,3e*C,3e2,2e'D.e2,2/

/

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.正方體ABC。—。的棱長為1，E,F,G分別為5C,CC.,BB1的中點.則

（）

A.直線與直線AF垂直

B.直線AG與平面AE尸平行

C.平面AEF截正方體所得的截面面積為‘

8

D.點C與點G到平面AEF的距離相等

己知函數(shù)/（x）=sin（3x+0）（-的圖象關(guān)于直線x=（對稱，則（

10.)

4

A.0=一?B.若|/（王）一/（々）|=2,則上一百的最小值為?

C.將/（x）圖象向左平移專個單位得到g（X）=Sin（3x+的圖象

D.若函數(shù)/（x）在［0,向單調(diào)遞增，則，"的最大值為?

22

11.已知耳，尸2是雙曲線E:5-＞=1（。＞0力＞0）的左、右焦點，過耳作傾斜角為30

的直線分別交y軸與雙曲線右支于點下列判斷正確的是（）

A.ZPF2F｝=^B.\MF^PF\

C.￡的離心率等于石D.E的漸近線方程為y=±0x

Y~+X—1

12.已知函數(shù)/（x）=-------，則下列結(jié)論正確的是（）

e

A.函數(shù)/（x）存在兩個不同的零點

B.函數(shù)/（x）既存在極大值又存在極小值

C.當一e（人＜0時?，方程/（x）=%有且只有兩個實根

D.若xeh+8）時，/（x）max=41則r的最小值為2

e

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.

13.求（爐一：）展開式中/的系數(shù)為.

「乙1cos2a

14.已知tana=—,則-----=________.

2sin2a

15.設(shè)點P是曲線丁=靖+%2上任一點，則點p到直線x-y-l=0的最小距離為

16.若數(shù)列｛??｝對任意正整數(shù)〃，有an+m=anq（其中根6N*，＜?為常數(shù)，q豐0且q豐1）,

則稱數(shù)列｛4｝是，"以為周期，以4為周期公比的“類周期性等比數(shù)列若“類周期性等比數(shù)

列''的前4項為1,1,2,3,周期為4,周期公比為3,則數(shù)列｛4｝前21項的和為

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）在條件①（a+Z?）（a-b）=（c-，）c,②sinA=cosA+,

③sin=sinA中任選一個，補充到下面問題中，并給出問題解答.

2

在AABC中，角A,B，C的對邊分別為b,c,b+c=6,a=2瓜.

求AABC的面積.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）

18.（本小題滿分12分）已知等比數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，滿足4=32,%+為=80.

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）設(shè)2=k）g2a,,若6“為數(shù)列｛%｝的前“項積，證明：1+-=1.

19.（本小題滿分12分）已知四棱錐P—ABCQ中，24，平面鉆。。，且Q4=a,底面

ABCD是邊長為〃的菱形，NA8C=60°.

（1）求證：平面PBDJ.平面PAC；

（2）設(shè)AC與8。交于點。，/為OC中點，若二面角

0-加一。的正切值是2指，求a:。的值.

B

20.(本小題滿分12分)某種子公司培育了一個

豌豆的新品種，新品種豌豆豆莢的長度比原來

有所增加，培育人員在一塊田地(超過1畝)種植

新品利J采摘后去掉殘次品，將剩下的豆莢隨

機按每20個一袋裝袋密封.現(xiàn)從中隨機抽取5

袋，測量豌豆豆莢的長度(單位：dm),將測量

結(jié)果按[060.8),[0.8,1.0),[1.0,1.2),

[1.2,1.4),[14,1.6]分為5組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求。的值并估計這批新品種豌豆豆莢長度的平均數(shù)x(不含殘次品，同一組中的數(shù)據(jù)用

該組區(qū)間的中點值作代表)；

(2)假設(shè)這批新品種豌豆豆莢的長度X服從正態(tài)分布其中〃的近似值為豌豆

豆莢長度的平均數(shù)；，cr=0.23,試估計采摘的100袋新品種豌豆豆莢中，長度位于區(qū)間

(0.88,1.57)內(nèi)的豆莢個數(shù)；

(3)如果將這批新品種豌豆中豆莢長度超過1.4dm的豆莢稱為特等豆莢，以頻率作為概率,

隨機打開一袋新品種豌豆豆莢，記其中特等豆莢的個數(shù)為求的概率和4的數(shù)學期

望.

附:?0.046,若隨機變量X?NJ,"),則PQ/—o<X<畔o)=0.6827,

一2bvXv〃+2b)=0.9545.

21.(本小題滿分12分)己知橢圓二+二=\{a>b>0)的一個頂點為A(。,—3),右焦點為產(chǎn)，

a'b"

且|1=|OFI，其中。為原點.

(1)求橢圓的方程；

(2)已知點。滿足3花=礪，點B在橢圓上(8異于橢圓的頂點)，直線A6與以C為

圓心的圓相切于點尸，且尸為線段A3的中點，求直線的方程.

22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.

(1)當。=1時，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當xNO時，f(x)>^x3+\,求。的取值范圍.

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數(shù)學參考答案與評分標準

1.D2.B3.A4.C5.A6.B7.B8.B

\(1A--

8.【解析】當xe［0,3］時，x/'(x)=e22=［I-/》卜2,

當xw(2,3］時，)'(x)<。當xe［0,2)時，/'(x)>0,

所以函數(shù)/(x)在Xe(2,3］單調(diào)遞減，在xe(0,2］單調(diào)遞增，

/(0)=0,/⑶=3e《>(P又/(3+X)=/(3—X),函數(shù)〃x)關(guān)于尤=3對稱，且是偶

函數(shù)，所以f(x)=/(—x),所以/(3+x)=/(3—x)=/(x-3),

所以函數(shù)周期T=6,關(guān)于％的不等式/20)一丁(幻>0在［-150,150］上有且只有150個整

數(shù)解，即/(x)>t在［-150,150］上有且只有150個整數(shù)解，所以每個周期內(nèi)恰有三個整數(shù)

B【詳解】由于函數(shù)f(x)=ex+x,對于曲線y=f(x)上橫坐標成等差數(shù)列的三個點A,B,

C,且橫坐標依次增大，由于此函數(shù)是一個單調(diào)遞增的函數(shù)，故由A到B的變化率要小于由

B到C的變化率.可得出角ABC一定是鈍角故①對，②錯,由于由A到B的變化率要小于

由B到C的變化率，由兩點間距離公式可以得出AB<BC,故三角形不可能是等腰三角形，

由此得出③不對，④對.故選B

9.BC10.ABD

11.BCD【解析】???］尸即M為一耳中點,。為耳■中點，??.OM/P5,

jr

-.■OMYFXF2,：.PF2±F,F2,：.ZPF2F}=^,

|MB|=g|P娟，A錯誤，B正確；

由尸弱"1_耳6知：|尸周=一,

b2

/o

又|耳閭=2c,NP4居=30。,tan30°=-^-=—,

2c3

即yj3b2=G.2-a?)=2ac,...&2-2e—8=o,解得e=g,c正確:

'：e=—=\!3,c2=3a2>:.h2=cr-a2=2a2>:.-=y/2,

aa

.?.￡的漸近線方程為曠=±&》，D正確.

故選BCD.

12.ABC

3「

13.-8；14.-；15.V2；16.1090.

4

15?【解析】由題意，過點尸作曲線y=/+%2的切線，則y=e'+2x,

設(shè)點P（x0,%），則左=*+2%，

當切線與直線X-y-1=0平行時點尸到該直線距離最小，則產(chǎn)"+2%=1,即/=0,

所以點P為（0,1），則點P到直線x-y—1=0的最小距離為,故答案為近.

16.【解析】法一：由題意可知根=4,q=3,且?！?4=3?！?，故

+

S21=(4+。5+。9+。13+%7+。21)+(02+。6+%0%4+。18)

+(1

+(?3+/+《5+69)+(包+%\2+46+420)

1.(1-36)1(1-35)2-(1-35)3-(1-35)

=-------------H------------------F--------------H----------------

1-31-31-31-3

=364+121+242+363

=1090.

4841281612

法二：=7，Z6=3工4=3x7，Z4==3?x7，Z《=3Zq=3,x7,

i=\i=5i=\/=9i=5/=13i=9

2016

42

'at=3yat=3x7,%]=3aI7=3al3=…=3’4=243,

/=17i=13

21]_W

故S21=工%=7(1+3+32+33+34)+243=7X----+243=1090.

;=11-3

17.解：若選①：+=(c—b)c,BPa1—b2=c2—he?

從而b1-vc1-cr=bc，2分

.h2+c2-a2be1

/.cosA=--------------=-----=—，

2bc2hc2

TT

又???Aw(0,萬)，A=—....................5分

3

又?/a2=h2-i-c2-be=(h-^~c)2-3bc,

且。=2A/^，。+。=6，bc=4f.....................................................................8分

?.Sy,=-/7csinA=—x4xsin—=V3.................................................................10分

VA8RCr223

若選②：sinA=cos(A+7],化簡得sinA=^^cosA-」sinA,........................2分

I22

即tanA=—，

3

IT

又?jAe(0,乃)，A=—........................................................................................5分

6

又er=Z?2+c2-2/7CCOS—=(b+c)2-bc(2+A/3),

6

且〃=2遙，。+c=6,be=4,

222212

7(b+c)-a6-(2V6)

bc=F^~=F^~-----廣=24—12\/3?.8分

2+6

.-.S=|fecsinA=^x(24-12V3)xl=6-3>/3.

AABC10分

若選③：sin'*°=sinA,

2

.乃一A..

?.?5+C="一A,/.sin-------=smA,..............................................................2分

2

/.cos—A=c2si?n—AcosA—，

222

Ae(0,7r),—G(0,—),/.cos—0,

222

5分

又,,,a2=b2+c2-be=(b+c)2-3bc,

且〃=2幾，0+c=6,/.bc=4.....................................................................8分

/.SyABC=gbesinA=；x4xsin《=g.

..........................................................10分

18.［解答］解；（1）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為式9>1）,由/=32，得/+%=—+32q=80.W

q

得q=2或q=1（舍去）.所以。，=?！?”4=2向.

(2)證明:由勿=log,an=n+It得q=偽=2,

當”..2時，qG.....c?=?+1?,C]-c2..........%_1=〃②，由①②得c"=史」(〃..2)，當”=1時,

n

===2滿足上式，故c“="+I,/.—+—=—!—?--——1.

1nbncnzz+1n+\

19.法一:

(1)證明：QP4_L平面ABC￡>,BDu平面ABC。，.?.Q4_L8。.............1分

因為ABC。為菱形，所以2分

又因為ACIPA^A,所以8D_L平面B4C,3分

因為區(qū)Ou平面PBD,.?.平面平面PAC..........4分

D

(2)解：過。作OTJ.PM交尸M于T,連接QT,…5分

QOD_L平面尸AC,:.OD±PM,

B

：.ODIPM,:.PM±平面0￡>T,:.DT±PM,

所以N07曾是。一刊0—￡)的平面角.7分

1Q1

OTAP

又。。=OM」,AM=—，且

44

從而CT=^友=-曲,

9分

J2b24Ji6y

V16

,/n-rn0D6a6/+9〃、匕

tanNOTD==——b------------=276,.11分

OT2ab

.".—=3:4..........................................................................................................................12分

b

法二：

(1)證明：過。作OQ〃PA,

Q24,平面ABC。，；.OQJ?平面ABC。

因為ABC。為菱形，所以O(shè)CLOO,

以O(shè)Q,OC,OD為軸建立空間直角坐標系，

A(—g,O,O),C(g,O,O),B0,-學,0),D0,號,0

P1-g,O,a),M(5,O,O].............................3分

u

(2)解：設(shè)平面尸BD的法向量為〃z=(x,y,z),

uurUllll/廠、ULillUUUU

QPB=BD=(0,y/3b,QJ,且tn_LPB,m上BD,

x=2

y=0fm=(2,0,21...................................................5分

gby=0b

z二一

a

設(shè)平面PAC的法向量為n=(x,y,z),

因為平面PAC即為xOz平面，.?.；2=(O,l,O)................................................................6分

...加?"=(),.?.平面PBO,平面P4c............................................................................7分

1m

(2)平面的一個法向量為〃=(0,1,0),設(shè)平面尸MD的法向量為〃=(%,%,z0),

uim(b6b)uuirbs[3b\

QPD=,MD

2下,0

/

設(shè)二面角O-PM-O的平面角為8,則tan6?=2?,可得cos6=,，

5

20.解：(1)由頻率分布直方圖可得(0.5+1+2+24)*0.2=1,解得a=0.75..........1分

估計新品種豌豆豆莢長度的平均數(shù)

x=(0.7x0.5+0.9xl+1.1x2+1.3x0.75+1.5x0.75)x0.2=1.11..........................3分

(2)由(1)知新品種豌豆豆莢長度的平均數(shù)約為1.11,則〃=1.11,

又cr=0.23,所以〃-cr=0.88,〃+2cr=1.57...........................................................4分

所以P(0.88<X<1.57)=X<〃+2b)

=P(〃_2b<X<〃+2b)+Pb<X<〃+b)=08]86..........................6分

2

所以100袋豌豆豆莢中，長度位于區(qū)間(0.88,1.57)內(nèi)的豆莢個數(shù)為

100x20x0.8186=1637.2?1637m..........................................................................7分

(3)在新品種豌豆豆莢中隨機抽取一個，豆長度超過L4dm的頻率為

3

0.75x0.2=0.15=—,

20

所以隨機打開一袋新品種豌豆豆莢，再從中隨機抽取一個豆莢，

3

這個豆莢為特等豆莢的概率為P=—.......................................8分

20

依題意，J的所有可能取值為0,1,2,3,20,且《?6(20,三］.............9分

(17V0，3(17Y9，3、

所以P(￡l)=尸信=0)+P(舁l)=《。布X-+c；o-X-

、ZUy\NUJyNUyyZU)

77(17Y977

——x——?—x0.046=0.1771；................................11分

20U0；20

3

J的數(shù)學期望￡?)=20x——=3........................................12分

72

Y

21.解：(1)?.?橢圓r+y=1(。>〃>0)的一個頂點為4(0,—3),二/?=3,

a"

由儂=|O耳,得c=0=3,

又由。2="2+。2,得4=32+32=18,

22

所以橢圓的方程為三+匯=1;.........................................3分

189

(2)?.?直線A6與以。為圓心的圓相切于點P，所以CP_LAB,

根據(jù)題意可知，直線和直線CP斜率均存在，

設(shè)直線46的斜率為我,則直線A8的方程為y+3=區(qū)，即>=自一3,........4分

y=kx-3

由(尤2y2,消去y,可得(2爐+1*一]2日=o,

---1---=1

〔189

解得尤=0或x=..........................6分

2k2+1

6k2-3

將x=代入丁=依-3,得…__3

2^+1-2^+12k2+1

'12k6女2一3]

所以，點8的坐標為、2k2+1'2公+1)7分

因為P為線段AB的中點，點A的坐標為(0,—3),

6k-31

所以點P的坐標為2左2+1'2女2+1J'8分

由3反=方,得點C的坐標為(1,0)，

—----03

所以，直線CP的斜率為28=餐尹一J2)」..................9分

6k2k2-6k+l

3

又因為CPLAB，所以=，=-1，............................10分

2k2-6k+l

整理得2%2一3%+1=0,解得G=g或攵=1................................11分

所以，直線A8的方程為y=；x-3或y=x—3..............................12分

22.解：(1)當a=l時，/(x)=ex+x2-x,f'(x)-ex+2x-l................1分

故當xe(-oo,0))時，f'(x)<0；當xe(0,+co)時，f'(x)>0..................2分

所以/(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0,+oo)單調(diào)遞增...............................3分

(2)/(x)zgd+i等價于(g/一奴2+x+i)e-，4I.

設(shè)函數(shù)g(x)=(gx'一加+x+l)e-*(xN0),...............................4分

則g'(x')=-^x2-(2a+3)x+4a+2]e~x

=-^x(x-2a-1)(x-2)e~x........................................6分

①若2a+lW0,即“4—g,則當xe(0,2)時，g'(x)>0.

所以g(x)在(0,2)單調(diào)遞增,而g(0)=l,

故當(0,2))時，g(x)>l,不符合題意.......................................7分

②若0V2Q+1V2,即一

22

則當x￡(0,2a+1)時，g'(x)v0；當x￡(2a+1,2)時,gf(x)>0；

當無￡(2,+8)時，gf(x)<0.

所以g(x)在(0,2。+1),(2,+8)單調(diào)遞減，在