圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)點(diǎn)與例題

勻速國周運(yùn)動(dòng)知識(shí)點(diǎn)及例題

二、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的描述

1.線速度、角速度、周期和頻率的概念

(1)線速度V是描述質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)快慢的物理量，是矢量，其大小為丫=金=2巴；

其方向沿軌跡切線，國際單位制中單位符號(hào)是m/s;

(2)角速度3是描述質(zhì)點(diǎn)繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量,是矢量,其大小為。=幺=二；

tT

在國際單位制中單位符號(hào)是rad/s;

(3)周期T是質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)一周所用時(shí)間，在國際單位制中單位符號(hào)是S;

(4)頻率f是質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)完成一個(gè)完整圓運(yùn)動(dòng)的次數(shù)，在國際單位制中單位符號(hào)是Hz;

(5)轉(zhuǎn)速n是質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)，單位符號(hào)為r/s,以及r/min.

2、速度、角速度、周期和頻率之間的關(guān)系

線速度、角速度、周期和頻率各量從不同角度描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的快慢，它們之間有關(guān)系v=ru).T=yf,

v=2%^,co=2傅o

由上可知，在角速度一定時(shí)，線速度大小與半徑成正比；在線速度一定時(shí)，角速度大小與半徑成反比.

三、向心力和向心加速度

1.向心力

(1)向心力是改變物體運(yùn)動(dòng)方向，產(chǎn)生向心加速度的原因.

(2)向心力的方向指向圓心，總與物體運(yùn)動(dòng)方向垂直，所以向心力只改變速度的方向.

2.向心加速度

(1)向心加速度由向心力產(chǎn)生，描述線速度方向變化的快慢，是矢量.

(2)向心加速度方向與向心力方向恒一致，總沿半徑指向圓心；向心加速度的大小為

公式：

1.線速度丫=$八=2加7

2.角速度co=O/t=2n/T=2nf

3.向心加速度a=V2/r=co2r=（2出1）2r

4.向心力F心=mV2/r=m（o2r=mr（27r/T）2=m（ov=F合

5.周期與頻率：T=1/f

6.角速度與線速度的關(guān)系：V=（or

7.角速度與轉(zhuǎn)速的關(guān)系（o=2m（此處頻率與轉(zhuǎn)速意義相同）

8.主要物理量及單位：弧長s:米（m）;角度①：弧度（rad）;頻率f:赫（Hz）;周期T:秒（s）;轉(zhuǎn)速

n:r/s;半徑r:米（m）;線速度V:（m/s）;角速度（o:（rad/s）;向心加速度:（m/s2卜

二、向心力和加速度

,，v2

1、大小F=mco2rF=m一

22

向心加速度a:（1）大小：a=：7=&2r=6「=4萬2聲”2）方向：總指向圓心，時(shí)刻變化（3）

物理意義：描述線速度方向改變的快慢。

三、應(yīng)用舉例

（臨界或動(dòng)態(tài)分析問題）

2

提供的向心力需要的向心力加上

=圓周運(yùn)動(dòng)

＞近心運(yùn)動(dòng)

＜離心運(yùn)動(dòng)

=0切線運(yùn)動(dòng)

1、火車轉(zhuǎn)彎

如果車輪與鐵軌間無擠壓力，則向心力完全由重力和支持力提供,〃gtana=m二=＞丫=癡有石,v增加，

外軌擠壓，如果v減小，內(nèi)軌擠壓

問題：飛機(jī)轉(zhuǎn)彎的向心力的來源

2、汽車過拱橋

mgCOS0—N-m—

V

mgsin0=f

如果在最高點(diǎn)，那么

〃zg-N=加L此時(shí)汽車不平衡,mg*Nv

r

說明：F=mv2/r同樣適用于變速圓周運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)和v具有瞬時(shí)意義，F(xiàn)隨v的變傳而變化。

2

補(bǔ)充：N-mg=機(jī)二（拋體運(yùn)動(dòng)）

3、圓錐問題\i/、，

Nsin。=mg

2g

Ncosff=mcorntan6=^—=>G=

例：小球在半徑為/?的光滑半球內(nèi)做水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試分析圖中的8（小球與半球球心連線

跟豎直方向的夾角）與線速度K周期廠的關(guān)系。

mgtand=--------=mRsinOco~,

Rsin。

由此可得：v=JgRtanOsine,T=2兀/”°°四=2萬,

4、繩桿球

這類問題的特點(diǎn)是：由于機(jī)械能守恒，物體做圓周運(yùn)動(dòng)的速率時(shí)刻在改變，物體在最高點(diǎn)處的速率最

小，在最低點(diǎn)處的速率最大。物體在最低點(diǎn)處向心力向上，而重力向下，所以彈力必然向上且大于重

力；而在最高點(diǎn)處，向心力向下，重力也向下，所以彈力的方向就不能確定了，要分三種情況進(jìn)行討

論。

①彈力只可能向下，如繩拉球。這種情況下有F+mg=">mg

R

即此廊，否則不能通過最高點(diǎn)。

2

②彈力只可能向上，如車過橋。在這種情況下有：，咫-b=把-4機(jī)g,；.v4歷，否則車將離開橋面，

R

做平拋運(yùn)動(dòng)。

③彈力既可能向上又可能向下，如管內(nèi)轉(zhuǎn)（或桿連球、環(huán)穿珠b這種情況下，速度大小1/可以取任意

值。但可以進(jìn)一步討論：①當(dāng)U＞歷時(shí)物體受到的彈力必然是向下的；當(dāng)1，＜?xì)v時(shí)物體受到的彈力

必然是向上的；當(dāng)丫=廊時(shí)物體受到的彈力恰好為零。②當(dāng)彈力大小尺mg時(shí)，向心力有兩解：mff±

F\當(dāng)彈力大小emg時(shí)，向心力只有一解：F+mg;當(dāng)彈力emg時(shí)，向心力等于零。

四、牛頓運(yùn)動(dòng)定律在圓周運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用（圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問題）

u247r2

1.向心力（1）大小：F=ma向=m——=marR=m一寸R=租4兀2f2R

RT~

（2）方向：總指向圓心，時(shí)刻變化

2.處理方法：

一般地說，當(dāng)做圓周運(yùn)動(dòng)物體所受的合力不指向圓心時(shí)，可以將它沿半徑方向和切線方向正交分解，

其沿半徑方向的分力為向心力，只改變速度的方向，不改變速度的大??；其沿切線方向的分力為切向

力，只改變速度的大小，不改變速度的方向。分別與它們相應(yīng)的向心加速度描述速度方向變化的快慢，

切向加速度描述速度大小變化的快慢。

做圓周運(yùn)動(dòng)物體所受的向心力和向心加速度的關(guān)系同樣遵從牛頓第二定律：后=man在列方程時(shí)，根據(jù)

物體的受力分析，在方程左邊寫出外界給物體提供的合外力，右邊寫出物體需要的向心力（可選用

2

篝或3停A等各種形式卜

【例1】如圖所示的裝置是在豎直平面內(nèi)放置光滑的絕緣軌道，處于水平向右

的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，以帶負(fù)電荷的小球從高力的4處靜止開始下滑，沿軌道ABC

運(yùn)動(dòng)后進(jìn)入圓環(huán)內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)。已知小球所受到電場(chǎng)力是其重力的3/4,圓滑

半徑為/?,斜面傾角為8,免c=2/?。若使小球在圓環(huán)內(nèi)能作完整的圓周運(yùn)動(dòng)，力至少為多少？

解析：小球所受的重力和電場(chǎng)力都為恒力，故可兩力等效為一個(gè)力F,如圖所示?？芍狥=1.25mg,

方向與豎直方向左偏下37°,從圖6中可知，能否作完整的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界點(diǎn)是能否通過。點(diǎn)，若恰

好能通過。點(diǎn)，即達(dá)到。點(diǎn)時(shí)球與環(huán)的彈力恰好為零。

22

由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)得：F=m—BP：\.25mg=m—/---、n

RR<2^*^

由動(dòng)能定理：——8w+…）=四

聯(lián)立①、②可求出此時(shí)的高度力。

五、綜合應(yīng)用例析

【例2]如圖所示，用細(xì)繩一端系著的質(zhì)量為M=0.6kg的物體力靜止在水平轉(zhuǎn)盤上，細(xì)繩\\

%\

另一端通過轉(zhuǎn)盤中心的光滑小孔。吊著質(zhì)量為“0.3kg的小球8,4的重心到。點(diǎn)的距）

/n?

離為0.2m.若&與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力為｛2N,為使小球8保持靜止，求轉(zhuǎn)盤繞中心/.口：

。旋轉(zhuǎn)的角速度s的取值范圍.

解析：要使8靜止，4必須相對(duì)于轉(zhuǎn)盤靜止——具有與轉(zhuǎn)盤相同的角速度.A需要的向心力由繩拉力

和靜摩擦力合成.角速度取最大值時(shí)，4有離心趨勢(shì)，靜摩擦力指向圓心。；角速度取最小值時(shí)，4

有向心運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，靜摩擦力背離圓心O.

對(duì)于8,T=mg對(duì)于A,T+f=Mrco：T-f=Mrco]

col=6.5rad/sa>2=2.9rad/s所以2.9rad/s<6.5rad/s

【例3】一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為/?（比細(xì)管的半徑大得多）.在圓管

中有兩個(gè)直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）.4球的質(zhì)量為mi,8球的質(zhì)量為m2.它們沿環(huán)

形圓管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度都為4.設(shè)A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，8球恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，

若要此時(shí)兩球作用于圓管的合力為零，那么mi、儂、/?與功應(yīng)滿足的關(guān)系式是

解析：4球通過圓管最低點(diǎn)時(shí)，圓管對(duì)球的壓力豎直向上，所以球?qū)A管的壓力豎直

向下.若要此時(shí)兩球作用于圓管的合力為零，B球?qū)A管的壓力一定是豎直向上的，

所以圓管對(duì)8球的壓力一定是豎直向下的.

最高點(diǎn)時(shí),加,/+m,g?2R-—m

2-2,

根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律

對(duì)于4球，NI-加出=m］對(duì)于8球，N[+m2g=1%—

R

又/Vi=M解得(g-加2),+(叫+5機(jī)2)g=0

［例5］如圖所示，滑塊在恒定外力作用下從水平軌道上的/點(diǎn)由靜止出發(fā)到8點(diǎn)

時(shí)撤去外力，又沿豎直面內(nèi)的光滑半圓形軌道運(yùn)動(dòng)，且恰好通過軌道最高點(diǎn)C,滑塊

脫離半圓形軌道后又剛好落到原出發(fā)點(diǎn)力,試求滑塊在48段運(yùn)動(dòng)過程中的加速度.

2

解析：設(shè)圓周的半徑為N,則在C點(diǎn)：mg=m-①

R

離開C點(diǎn)，滑塊做平拋運(yùn)動(dòng)，則2R=g212②

vet-SAS③

由8到C過程：mv82+2mgR=mv層2④——

_L

由A到8運(yùn)動(dòng)過程：v層=2asAB⑤

VoI

由①②③④⑤式聯(lián)立得到：干5g/4口"。

例6、如圖所示，M為懸掛在豎直平面內(nèi)某一點(diǎn)的木質(zhì)小球，懸線長為L,質(zhì)量為m的子彈以水平速

度Vo射入球中而未射出，要使小球能在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且懸線不發(fā)生松馳，求子彈初速度Vo應(yīng)滿

足的條件。分兩種情況：

(1)若小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則在最高點(diǎn)滿足：(m+M)g4(/〃+MM2/L

2

由機(jī)械能守定律得：^(m+M)V2=1Cm+M)V^-2(/n+M)gL

由以上各式解得：％2竺上竺屈.

m

(2)若木球不能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則上升的最大高度為L時(shí)滿足：

2

-(m+M)V,4(，〃+M)gL解得：Vow"12gL.

2m

所以，要使小球在豎直平面內(nèi)做懸線不松馳的運(yùn)動(dòng)，Vo應(yīng)滿足的條件是：

..m+Mrr~~—57772+Mrr~~7

匕N-----屈或匕TW------屈

mm

1.

圖4-2-11

在觀看雙人花樣滑冰表演時(shí)，觀眾有時(shí)會(huì)看到女運(yùn)動(dòng)員被男運(yùn)動(dòng)員拉著離開冰面在空中做水平方向的

勻速圓周運(yùn)動(dòng).已知通過目測(cè)估計(jì)拉住女運(yùn)動(dòng)員的男運(yùn)動(dòng)員的手臂和水平冰面的夾角約為45。，重力加

速度為g=10m/s2,若已知女運(yùn)動(dòng)員的體重為35kg,據(jù)此可估算該女運(yùn)動(dòng)員()

受到的拉力約為

A.350^2NB.受到的拉力約為350N

向心加速度約為2

C.向心加速度約為10m/s2D.1(h\%m/s

解析：本題考查了勻速圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析.以女運(yùn)動(dòng)員為研究對(duì)象，受力分析如圖.。根

據(jù)題意有G=mg=350N;則由圖易得女運(yùn)動(dòng)員受到的拉力約為35叭%N,A正確；向心加速度約為

10m/s2,C正確.

答案:AC

2.

圖4-2-12

中央電視臺(tái)《今日說法》欄目最近報(bào)道了一起發(fā)生在湖南長沙某區(qū)湘府路上的離奇交通事故.

家住公路拐彎處的張先生和李先生家在三個(gè)月內(nèi)連續(xù)遭遇了七次大卡車側(cè)翻在自家門口的場(chǎng)面，第八

次有輛卡車沖進(jìn)李先生家，造成三死一傷和房屋嚴(yán)重?fù)p毀的血腥慘案.經(jīng)公安部門和交通部門協(xié)力調(diào)

查，畫出的現(xiàn)場(chǎng)示意圖如圖4-2-12所示.交警根據(jù)圖示作出以下判斷，你認(rèn)為正確的是（）

A.由圖可知汽車在拐鸞時(shí)發(fā)生側(cè)翻是因?yàn)檐囎鲭x心運(yùn)動(dòng)

B.由圖可知汽車在拐鸞時(shí)發(fā)生側(cè)翻是因?yàn)檐囎鱿蛐倪\(yùn)動(dòng)

C.公路在設(shè)計(jì)上可能內(nèi)（東）高外（西）低

D.公路在設(shè)計(jì)上可能外（西）高內(nèi)（東）低

解析：由題圖可知發(fā)生事故時(shí)，卡車在做圓周運(yùn)動(dòng)，從圖可以言出卡車沖入民宅時(shí)做離心運(yùn)動(dòng)，故選

項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；如果外側(cè)高，卡車所受重力和支持力提供向心力，則卡車不會(huì)做離心運(yùn)動(dòng),

也不會(huì)發(fā)生事故，故選項(xiàng)C正確.

答案：AC

3.

04-2-13

（2010?湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考）如圖4-2-13所示，質(zhì)■為m的小球置于正方體的光滑盒子中，盒子

的邊長略大于球的直徑.某同學(xué)拿著該盒子在豎直平面內(nèi)做半徑為/?的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知重力加速

度為g,空氣阻力不計(jì)，要使在最高點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間恰好無作用力，貝弘）

A.該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期一定小于2兀\/一

B.該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期一定等于2兀\/一

C.盒子在最低點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間的作用力大小可能小于2mg

D.盒子在最低點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間的作用力大小可能大于2儂

"7戶

解析：要使在最高點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間恰好無作用力，則有mg=--,解得該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的

r\

I—2TT/?芻選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；在最低點(diǎn)

速度該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為r=—=2n

m廬

時(shí)，盒子與小球之間的作用力和小球重力的合力提供小球運(yùn)動(dòng)的向心力，由F-mg=--,解得F=

F\

2mg，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤.

答案：B

4.

圖4-2-14

如圖4-2-14所示，半徑為/?=20cm的兩圓柱體力和兄靠電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)按相同方向均以角速度e=

8rad/s轉(zhuǎn)動(dòng)，兩圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)軸互相平行且在同一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)動(dòng)方向已在圖中標(biāo)出，質(zhì)?均勻的木棒

水平放置其上，重心在剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)恰在8的正上方，棒和圓柱間動(dòng)摩擦因數(shù)"=0.16,兩圓柱體中

心間的距離s=1.6m,棒長/>2m,重力加速度取10m/s2,求從棒開始運(yùn)動(dòng)到重心恰在A正上方需多

長時(shí)間？

解析：棒開始與48兩輪有相對(duì)滑動(dòng)，棒受向左摩擦力作用，做勻加速運(yùn)動(dòng)，末速度/=fy/-=8X0.2

v1

m/s=1.6m/s,加速度a="g=1.6m/s2,時(shí)間ty=-=1s此時(shí)間內(nèi)棒運(yùn)動(dòng)位移si=&a#=0.8m.此

后棒與48無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，棒以，=”/?做勻速運(yùn)動(dòng)，再運(yùn)動(dòng)a=28-&=0.8m,重心到/正上方時(shí)

S2

間質(zhì)=—=0.5s,故所求時(shí)間f=G+質(zhì)=1.5s.

答案:1.5s

5.

在一次抗洪救災(zāi)工作中，一架直升機(jī)4用長〃=50m的懸索（重力可忽略不計(jì)）系住一質(zhì)量加=50kg

的被困人員8,直升機(jī)2和被困人員8以4=10m/s的速度一起沿水平方向勻速運(yùn)動(dòng)，如圖4-2-

15甲所示.某時(shí)刻開始收懸索將人吊起，在5s時(shí)間內(nèi)，48之間的豎直距離以/=50-汽單位：m）

的規(guī)律變化，取g=10m/s2.

(1)求這段時(shí)間內(nèi)懸索對(duì)被困人員8的拉力大小.

(2)求在5s末被困人員8的速度大小及位移大小.

(3)直升機(jī)在f=5s時(shí)停止收懸索但發(fā)現(xiàn)仍然未脫離洪水圍困區(qū)，為將被困人員8盡快運(yùn)送到安全處，

飛機(jī)在空中旋轉(zhuǎn)后好止在空中尋找最近的安全目標(biāo)，致使被困人員B在空中做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖乙所

示.此時(shí)懸索與豎直方向成37。角，不計(jì)空氣阻力，求被困人員8做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度以及懸索對(duì)被

困人員8的拉力.(sin37°=0.6,cos37°=0.8)

解析：(1)被困人員在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上被困人員的位移/=//-/=50-(50-

的=￡,由此可知，被困人員在豎直方向上做初速度為零、加速度a=2m/s2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛

頓第二定律可得F-mg=ma,解得懸索的拉力F=m(g+a)=600N.

(2)被困人員5s末在豎直方向上的速度為vy-a/=10m/s,合速度噸+.=m/s,豎直方

向上的位移y=&ag=25m,水平方向的位移*=vbt-50m,合位移s=\J*+尸=25\^m.

(3)/=5s時(shí)懸索的長度f=50-y=25m,旋轉(zhuǎn)半徑r=/'sin37°,

15r

由=m函n37°,解得/=萬、/2m/s.此時(shí)被困人員9的受力情況如右圖所示，

mg

由圖可知7tos37°=mg,解得T=——=625N.

cos37°

答案：⑴600N(2)10^2m/s253m(3)625N

6.

如圖4-2-26所示，小球從光滑的圓弧軌道下滑至水平軌道末端時(shí)，光電裝置被觸動(dòng)，控制電路會(huì)使

轉(zhuǎn)筒立刻以某一角速度勻速連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)起來.轉(zhuǎn)筒的底面半徑為/?,已知軌道末端與轉(zhuǎn)筒上部相平，與

轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)軸距離為L,且與轉(zhuǎn)筒側(cè)壁上的小孔的高度差為力；開始時(shí)轉(zhuǎn)筒靜止，且小孔正對(duì)著軌道方

向.現(xiàn)讓一小球從圓弧軌道上的某處無初速滑下，若正好能鉆入轉(zhuǎn)筒的小孔(小孔比小球略大，小球視

為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為功，求：

(1)小球從圓弧軌道上釋放時(shí)的高度為H;

(2)轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度

1

解析：(1)設(shè)小球離開軌道進(jìn)入小孔的時(shí)間為t,則由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得力,

1

小球在軌道上運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒，故有

2h(L-R)2

聯(lián)立解得：/=

(2)在小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間內(nèi)，圓筒必須恰好轉(zhuǎn)整數(shù)轉(zhuǎn)，小球才能鉆進(jìn)小孔,

即(ot=2nn(n=1,2,3—).所以co("=1,2,3…)

(dA)22g

答案：(1)R一(2)的—(n=1,2,3-)

n

圓周運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用專題

知識(shí)簡析一、圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題

1.圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問題的分析方法

首先明確物理過程，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行正確的受力分析，然后確定向心力，根據(jù)向心力公式列出方程，

由方程中的某個(gè)力的變化與速度變化的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而分析找到臨界值.

2.特例（1）如圖所示，沒有物體支撐的小球，在豎直平面做圓

周運(yùn)動(dòng)過最高點(diǎn)的情況：

注意：繩對(duì)小球只能產(chǎn)生沿繩收縮方向的拉力

①臨界條件：繩子或軌道對(duì)小球沒有力的作用：mg=mv2/R-v臨界=屈（可理解為恰好轉(zhuǎn)過或恰好轉(zhuǎn)

不過的速度）

注意：如果小球帶電，且空間存在電、磁場(chǎng)時(shí)，臨界條件應(yīng)是小球重力、電場(chǎng)力和洛倫茲力的合力作

為向心力，此時(shí)臨界速度V臨*屈

②能過最高點(diǎn)的條件：VN屆，當(dāng)V>如時(shí)，繩對(duì)球產(chǎn)生拉力，軌道對(duì)球產(chǎn)生壓力.

③不能過最高點(diǎn)的條件：V〈V臨界（實(shí)際上球還沒到最高點(diǎn)時(shí)就脫離了軌道）

（2）如圖（a）的球過最高點(diǎn)時(shí)，輕質(zhì)桿（管）對(duì)球產(chǎn)生的彈力情況：

注意：桿與繩不同，桿對(duì)球既能產(chǎn)生拉力，也能對(duì)球產(chǎn)生支持力.

①當(dāng)v=0時(shí)，N=mg（N為支持力）

②當(dāng)0<v<屈時(shí)，N隨v增大而減小，且mg>N>0,N為支持力

③當(dāng)時(shí)，N=0

①當(dāng)v>瘋■時(shí)，N為拉力，N隨v的增大而增大（此時(shí)N為拉

力，方向指向圓心）

注意：管壁支撐情況與桿子一樣

若是圖（b）的小球，此時(shí)將脫離軌道做平拋運(yùn)動(dòng).因?yàn)檐壍缹?duì)小球不能產(chǎn)生拉力.

注意：如果小球帶電，且空間存在電場(chǎng)或磁場(chǎng)時(shí)，臨界條件應(yīng)是小球所受重力、電場(chǎng)力和洛侖茲力的

合力等于向心力，此時(shí)臨界速度匕/廂。要具體問題具體分析，但分析方法是相同的。

水流星模型（豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)）

豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是典型的變速圓周運(yùn)動(dòng)研究物體幗過最高熱癡應(yīng)贏贏，并且經(jīng)常出現(xiàn)臨界狀態(tài)。（圓周

運(yùn)動(dòng)實(shí)例）①火車轉(zhuǎn)彎②汽車過拱橋、凹橋3③飛機(jī)做俯沖運(yùn)動(dòng)時(shí)，飛行員對(duì)座位的壓力。

④物體在水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)（汽車在水平公路轉(zhuǎn)彎，水平轉(zhuǎn)盤上的物體，繩拴著的物體在光滑水平面上繞繩的一端

旋轉(zhuǎn)）和物體在豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)（翻滾過山車、水流星、雜技節(jié)目中的飛車走壁等卜

⑤萬有引力一衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)、庫侖力一電子繞核旋轉(zhuǎn)、洛侖茲力——帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)、重力與彈力的

合力——錐擺、（關(guān)健要搞清楚向心力怎樣提供的）

（1）火車轉(zhuǎn)彎：設(shè)火車彎道處內(nèi)外軌高度差為h,內(nèi)外軌間距L,轉(zhuǎn)彎半徑R。由于外

軌略高于內(nèi)軌，使得火車所受重力和支持力的合力F合提供向心力。A/

hv2

由f=mgtanJmgsin0=mg—=m--0-

"LR_______

得孥為轉(zhuǎn)彎時(shí)規(guī)定速度）

①當(dāng)火車行駛速率V等于Vo時(shí)，F(xiàn)合=尸向，內(nèi)外軌道對(duì)輪緣都沒有側(cè)壓力

②當(dāng)火車行駛V大于Vo時(shí)，F(xiàn)合4向，外軌道對(duì)輪緣有側(cè)壓力，F(xiàn)合+N=mv2/R

③當(dāng)火車行駛速率V小于Vo時(shí)，F(xiàn)*F向，內(nèi)軌道對(duì)輪緣有側(cè)壓力，F(xiàn)合W=mv2/R

即當(dāng)火車轉(zhuǎn)彎時(shí)行駛速率不等于Vo時(shí)，其向心力的變化可由內(nèi)外軌道對(duì)輪緣側(cè)壓力自行調(diào)節(jié)，但調(diào)節(jié)程度不宜過大，

以免損壞軌道。

（2）無支承的小球，在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)過最高點(diǎn)情況：

①臨界條件：由mg+T=mv2/L知，小球速度越小，繩拉力或環(huán)壓

力T越小，但T的最小值只能為零，此時(shí)小球以重力為向心力，恰能通過最高；cJ；0,）

點(diǎn)。即mg=mv臨2/R

結(jié)論：繩子和軌道對(duì)小球沒有力的作用（可理解為恰好轉(zhuǎn)過或恰好轉(zhuǎn)不過的速度），只有重力作向心力，臨界速度V

魁=4^

②能過最高點(diǎn)條件：V2V臨（當(dāng)VNV臨時(shí)，繩、軌道對(duì)球分別產(chǎn)生拉力、壓力）

③不能過最高點(diǎn)條件：V<V臨（實(shí)際上球還未到最高點(diǎn)就脫離了軌道）

最高點(diǎn)狀態(tài)：mg+Ti=mv高2/L（臨界條件「=0,臨界速度V臨=癡，vzv臨才能通過）

最低點(diǎn)狀態(tài)：丁2-mg=mv低2/L高到低過程機(jī)械能守恒：1/2mv低2=1/2mv高2+mgh

T2-Ti=6mg（g可看為等效加速度）

半圓：mgR=1/2mv2T-mg=mv2/R=>T=3mg

（3）有支承的小球，在豎直平面作圓周運(yùn)動(dòng)過最高點(diǎn)情況：

①臨界條件：桿和環(huán)對(duì)小球有支持力的作用（由=知）當(dāng)V=0

時(shí)，N=mg（可理解為小球恰好轉(zhuǎn)過或恰好轉(zhuǎn)不過最高點(diǎn)）

②當(dāng)0<v〈病時(shí)，支持力N向上且隨v增大而減小，且用g>N>0

③當(dāng)v=癇時(shí)，N=0

④當(dāng)時(shí)，N向下（即拉力）隨v增大而增大，方向指向圓心。

當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，速度丫<歷時(shí)，受到桿的作用力N（支持）

但N<，"g,（力的大小用有向線段長短表示）

當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，速度v=歷時(shí)，桿對(duì)小球無作用力N=0

當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí).，速度嫻時(shí).，小球受到桿的拉力N作用

2

恰好過最高點(diǎn)時(shí)，此時(shí)從高到低過程mg2R=i/2mv2低點(diǎn):T-mg=mv/RnT=5mg

注意物理圓與幾何圓的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的區(qū)別

（以上規(guī)律適用于物理圓，不過最高點(diǎn)，最低點(diǎn)，g都應(yīng)看成等效的）

2.解決勻速圓周運(yùn)動(dòng)問題的一般方法

（1）明確研究對(duì)象，必要時(shí)將它從轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)中隔離出來。

（2）找出物體圓周運(yùn)動(dòng)的軌道平面，從中找出圓心和半徑。

（3）分析物體受力情況，千萬別臆想出一個(gè)向心力來。

（4）建立直角坐標(biāo)系（以指向圓心方向?yàn)閤軸正方向）將力正交分解。

S=m—=m(o1R=m(—)2/?

(5)建立方程組，RT

XFy=0

3..重心現(xiàn)象

離，口運(yùn)動(dòng)概念：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在所受合力突然消失或者不足于提供圓周運(yùn)動(dòng)的所需的向

心力的情況下，就做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱作為離心運(yùn)動(dòng).

離心運(yùn)動(dòng)的條件:提供給物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力不足或消失。(離心運(yùn)動(dòng)兩種現(xiàn)象)

①當(dāng)F合=0時(shí)，物體沿切線方向飛出。

②當(dāng)