內蒙古機電職業(yè)專業(yè)技術學院數學單招試題測試版(附答案解析)

內蒙古機電職業(yè)專業(yè)技術學院數學單招試題測試版(附答案解析)[時間：45分鐘分值：100分]1．函數f(x)＝lnx－x在區(qū)間(0，e]上的最大值為________．2．函數f(x)＝12x－x3在區(qū)間[－3,3]上的最小值是________．3．已知a≤＋lnx對于x∈恒成立，則a的最大值為________．4．用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2∶1，則該長方體的最大體積是________m3.5．函數y＝2x3－2x2在區(qū)間[－1,2]上的最大值是________．6．函數f(x)＝x2－lnx的最小值為________．7．已知某生產廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產量x(單位：萬件)的函數關系式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產廠家獲得最大年利潤的年產量為________萬件．8．若函數f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值為，則a的值為________．9．已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示過原點的曲線，且在x＝±1處的切線的傾斜角均為π，則以下命題：①f(x)的解析式為f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；②f(x)的極值點有且只有一個；③f(x)的最大值與最小值之和等于零．其中正確命題的序號為________．10．已知函數f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，則實數m的取值范圍是________．11．若函數f(x)＝loga(x3－ax)(a>0，a≠1)在區(qū)間內單調遞增，則a的取值范圍是________．12．設函數f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若對于任意的x∈[－1,1]都有f(x)≥0成立，則實數a的值為________．13．(8分)求函數f(x)＝x3＋x2－2x＋在區(qū)間[－3,3]上的最大值與最小值．14．(8分)已知函數f(x)的導數f′(x)＝3x2－3ax，f(0)＝b，a，b為實數，1<a<2.(1)若f(x)在區(qū)間[－1,1]上的最小值、最大值分別為－2、1，求a、b的值；(2)在(1)的條件下，求經過點P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程．15．(12分)據環(huán)保部門測定，某處的污染指數與附近污染源的強度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例系數為k(k>0)．現(xiàn)已知相距18km的A，B兩家化工廠(污染源)的污染強度分別為a，b，它們連線上任意一點C處的污染指數y等于兩化工廠對該處的污染指數之和．設AC＝x(km)．。(1)試將y表示為x的函數；(2)若a＝1，且x＝6時，y取得最小值，試求b的值．16．(12分)已知函數f(x)＝x＋alnx，其中a為常數，且a≤－1.若f(x)≤e－1對任意x∈[e，e2]恒成立，求實數a的取值范圍．參考答案【基礎熱身】1．－1[解析]f′(x)＝－1＝，故f(x)在(0,1)上遞增，在(1，e]上遞減，所以最大值為f(1)＝－1.2．－16[解析]令f′(x)＝12－3x2＝0，得x＝±2.∵f(2)＝16，f(－3)＝－9，f(－2)＝－16，f(3)＝9，∴f(x)min＝f(－2)＝－16.3．0[解析]設f(x)＝＋lnx，則f′(x)＝＋＝，當x∈時，f′(x)<0，故函數f(x)在上單調遞減；當x∈(1,2]時，f′(x)>0，故函數f(x)在(1,2]上單調遞增，∴f(x)min＝f(1)＝0?！郺≤0，即a的最大值為0.4．3[解析]設長方體的寬為x，則長為2x，高為h＝＝4.5－3x。故長方體的體積為V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3.從而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1。當0＜x＜1時，V′(x)>0；當1＜x＜時，V′(x)<0。故在x＝1處V(x)取得極大值，并且這個極大值就是V(x)的最大值．從而最大體積V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)，此時長方體的長為2m，寬為1m，高為1.5m.【能力提升】5．8[解析]y′＝6x2－4x，令y′＝0，∴x＝0或x＝.∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f＝－，f(2)＝8?！嘧畲笾禐?.6.[解析]由得x>1；由得0<x<1.∴f(x)在x＝1時取得最小值f(1)＝－ln1＝.7．9[解析]令y′＝－x2＋81>0，解得