再談“坐標(biāo)伸縮變換”在解析幾何中的運(yùn)用

再談“伸縮變換”在解析幾何中的運(yùn)用前言：自2007年湖南使用新課標(biāo)教材以來(lái)，筆者一直對(duì)選修4-4的第一節(jié)坐標(biāo)系不太理解它的存在性的意義，選修題中很少考到坐標(biāo)伸縮變換的運(yùn)用，偶爾考到也只是考方程的變換。鄙人不敢妄談是否違背了編教材的初衷，如果能偶爾涉及一下應(yīng)用，是否更完美呢？本人也在網(wǎng)上學(xué)習(xí)了不少關(guān)于坐標(biāo)伸縮變換的文章，總結(jié)了一下，坐標(biāo)伸縮應(yīng)用最多的是關(guān)于直線與橢圓的相切及面積問(wèn)題，廢話不說(shuō)了，上題。題目1：(2014全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ理)已知點(diǎn)（0，-2），橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)求的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線l與相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)?OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.解析：（1）（2）設(shè)直線l方程為y=kx-2,利用伸縮變換公式x把橢圓E變成圓：x'2+S?OPQ=2設(shè)點(diǎn)O到直線l的距離為d，則S當(dāng)且僅當(dāng)d=故當(dāng)S點(diǎn)評(píng)：本題（2）的常規(guī)解法是利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式或者差補(bǔ)法把面積表示成關(guān)于k的函數(shù)，再由不等式或者函數(shù)法求解，計(jì)算量比較大，而使用伸縮變換后，轉(zhuǎn)化成圓，利用圓的特殊性大大地減少了運(yùn)算，也提高了正確率。點(diǎn)評(píng)：本題（2）的常規(guī)解法是利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式或者差補(bǔ)法把面積表示成關(guān)于k的函數(shù)，再由不等式或者函數(shù)法求解，計(jì)算量比較大，而使用伸縮變換后，轉(zhuǎn)化成圓，利用圓的特殊性大大地減少了運(yùn)算，也提高了正確率。題目2：（2018江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)，圓O的直徑為．（1）求橢圓C及圓O的方程；（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P．①若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)．若的面積為，求直線l的方程．解析：（1）橢圓的方程為；圓的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)P利用伸縮變換公式x'=變化后的直線與圓依然相切，故34由①②及點(diǎn)P在第一象限可解得x（3）同（2）利用伸縮變換公式x'=直線l變?yōu)?x0∴S?解得dd2=由①③及點(diǎn)P在第一象限可解得x此時(shí)直線l的方程為y=-d2=17由①④可得x綜上，若的面積為，求直線l的方程為y=-5x+3點(diǎn)評(píng)：在（2）（3）的解答中，都使用了伸縮變換把橢圓變成了圓，不管是相切問(wèn)題，還是面積問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成圓后大大地簡(jiǎn)化了運(yùn)算的過(guò)程。坐標(biāo)伸縮變換即特殊的仿射變換，下面附在仿射變換中的一些性質(zhì)：點(diǎn)評(píng)：在（2）（3）的解答中，都使用了伸縮變換把橢圓變成了圓，不管是相切問(wèn)題，還是面積問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成圓后大大地簡(jiǎn)化了運(yùn)算的過(guò)程。坐標(biāo)伸縮變換即特殊的仿射變換，下面附在仿射變換中的一些性質(zhì)：1.“平行不變性”，平行的兩條直線依然平