第7章 第2節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

PAGEPAGE1空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系[考試要求]1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題．1．四個公理(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．(2)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．拓展：公理2的三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面．(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．(4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．2．直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線,平行直線)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點))(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：(0°，90°]．拓展：異面直線判定的一個定理過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線，如圖所示．3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi)三種情況．(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．4．等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．eq\a\vs4\al([常用結(jié)論])唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直．(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．一、易錯易誤辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線．()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面．()(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．()(4)若直線a不平行于平面α，且a?α，則α內(nèi)的所有直線與a異面．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×二、教材習(xí)題衍生1．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A．一定是異面直線B．一定是相交直線C．不可能是平行直線D．不可能是相交直線C[由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b∥c，則a∥b，與已知a，b為異面直線相矛盾．]2．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EFA．30° B．45°C．60° D．90°C[連接B1D1，D1C則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]3．下列命題正確的是()A．兩個平面如果有公共點，那么一定相交B．兩個平面的公共點一定共線C．兩個平面有3個公共點一定重合D．過空間任意三點，一定有一個平面D[如果兩個平面重合，則排除A，B兩項；兩個平面相交，則有一條交線，交線上任取三個點都是兩個平面的公共點，故排除C項；而D項中的三點不論共線還是不共線，則一定能找到一個平面過這三個點．]4.如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則(1)當(dāng)AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為菱形；(2)當(dāng)AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為正方形．(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD[(1)∵四邊形EFGH為菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四邊形EFGH為正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝eq\f(1,2)AC，EH＝eq\f(1,2)BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.]考點一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用共面、共線、共點問題的證明[典例1]如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA[證明](1)如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F(xiàn)四點共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，則由P∈直線CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA三線共點．點評：本例第(1)問的證明應(yīng)用了公理2的推論，采用線線共面，則線上的點必共面的思想；本例第(2)問的證明應(yīng)用了公理3，采用先證明CE與D1F相交，再證明交點在直線DA上．eq\a\vs4\al([跟進訓(xùn)練])1．有下列四個命題：①空間四點共面，則其中必有三點共線；②空間四點不共面，則其中任意三點不共線；③空間四點中有三點共線，則此四點共面；④空間四點中任意三點不共線，則此四點不共面．其中真命題的所有序號有________．②③[①中，對于平面四邊形來說不成立，故①是假命題；②中，若四點中有三點共線，則根據(jù)“直線與直線外一點可以確定一個平面”知四點共面，與四點不共面矛盾，故②是真命題；由②的分析可知③是真命題；④中，平面四邊形的四個頂點中任意三點不共線，但四點共面，故④是假命題．]2.如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．[證明](1)因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)因為EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P為平面ABC與平面ADC的公共點．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點共線．考點二判斷空間兩直線的位置關(guān)系空間中兩直線位置關(guān)系的判定方法[典例2](1)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是()A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交(2)一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上四個命題中，正確命題的序號是________．(1)D(2)①③[(1)法一：(反證法)由于l與直線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交．若l∥l1，l∥l2，則l1∥l2，這與l1，l2是異面直線矛盾．故l至少與l1，l2中的一條相交．法二：(模型法)如圖①，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖②，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確．圖①圖②(2)如圖，①AB⊥EF，正確；②顯然AB∥CM，所以不正確；③EF與MN是異面直線，所以正確；④MN與CD異面，并且垂直，所以不正確，則正確的是①③.]點評：在直接判斷不好處理的情況下，反證法、模型法(如構(gòu)造幾何體：正方體、空間四邊形等)和特例排除法等是解決此類問題的三種常用便捷方法．eq\a\vs4\al([跟進訓(xùn)練])如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確結(jié)論的序號為________．③④[直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，所以①②錯誤．點B，B1，N在平面BB1C1C中，點M在此平面外，所以BN，MB1是異面直線．同理AM，DD考點三異面直線所成的角1.平移法求異面直線所成角的一般步驟提醒：異面直線所成的角θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).2．坐標法求異面直線所成的角當(dāng)題設(shè)中含有兩兩垂直的三邊關(guān)系或比較容易建立空間直角坐標系時，常采用坐標法．提醒：如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角．[典例3](1)(2018·全國卷Ⅱ)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A．eq\f(1,5) B．eq\f(\r(5),6)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(\r(2),2)(2)四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點．若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝1，則EF的長為________．(1)C(2)eq\f(1,2)或eq\f(\r(3),2)[(1)法一：(平移法)如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點M，連接DM，OM.易知O為BD1的中點，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角．因為在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，AD1＝eq\r(AD2＋DD\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋DD\o\al(2,1))＝eq\r(5)，所以O(shè)M＝eq\f(1,2)AD1＝1，OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2)，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2,2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).故選C.法二：(補體法)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1的一側(cè)補上一個相同的長方體A′B′BA-A1′B1′B1A1.連接B1B′，由長方體性質(zhì)可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′為異面直線AD1與DB1所成的角或其補角．連接DB′，由題意，得DB′＝eq\r(12＋1＋12)＝eq\r(5)，B′B1＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，DB1＝eq\r(12＋12＋\r(3)2)＝eq\r(5).在△DB′B1中，由余弦定理，得DB′2＝B′Beq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1)－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，即5＝4＋5－2×2eq\r(5)cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝eq\f(\r(5),5).故選C.法三：(坐標法)以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．由條件可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0，eq\r(3))，B1(1,1，eq\r(3))，所以eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－1,0，eq\r(3))，eq\o(DB1,\s\up6(→))＝(1,1，eq\r(3))，則由向量夾角公式，得cos〈eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(DB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AD1,\s\up6(→))·\o(DB1,\s\up6(→)),|\o(AD1,\s\up6(→))|·|\o(DB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5)，故選C.(2)如圖，取BC的中點O，連接OE，OF，因為OE∥AC，OF∥BD，所以O(shè)E與OF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角，而AC，BD所成角為60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.當(dāng)∠EOF＝60°時，EF＝OE＝OF＝eq\f(1,2).當(dāng)∠EOF＝120°時，取EF的中點M，則OM⊥EF，EF＝2EM＝2×eq\f(\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2).]點評：(1)平移法和補體法是求兩條異面直線所成角的大小的兩種常用方法，其實質(zhì)是平行移動直線，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角，體現(xiàn)了化歸思想．(2)要明確直線所成角的范圍，防止概念不清導(dǎo)致解析不全，如本例(2)．eq\a\vs4\al([跟進訓(xùn)練])1.如圖，在正方體ABC