北師大版選擇性必修第一冊1.2.4圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案

2.4圓與圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.根據(jù)圓與圓的方程,能夠判斷兩圓的位置關(guān)系.提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.能夠利用兩圓的位置關(guān)系解決簡單的實(shí)際問題,培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合能力,提高數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng).問題:在某地拍到的日環(huán)食過程如圖所示,可以用兩個(gè)圓來表示日環(huán)食的變化過程.根據(jù)情境圖,結(jié)合平面幾何知識,圓與圓的位置關(guān)系有幾種?影響圓與圓的位置關(guān)系的數(shù)量因素是什么?提示:圓與圓的位置關(guān)系有5種,即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離;影響圓與圓的位置關(guān)系的數(shù)量因素為兩圓半徑的和差與圓心距之間的大小關(guān)系.兩圓的位置關(guān)系若兩圓的半徑分別為r1,r2,兩圓圓心距的長為d,則兩圓的位置關(guān)系如下:位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1,r2的關(guān)系d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2|d<|r1-r2|公切線的條數(shù)43210兩圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)01210公共弦方程:已知圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(1)若兩圓相交,則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.(2)若兩圓相切,則(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示過切點(diǎn)的公切線的方程.兩圓位置關(guān)系的判斷[例1](2021·浙江寧波高二期中)已知圓C1:x2+y2+2x=0,圓C2:x2+y2-4x+2my+2m2=0.(1)求m的取值范圍并求出半徑最大時(shí)圓C2的方程;(2)討論圓C1和圓C2的位置關(guān)系,并說明理由.解:(1)法一(圓的標(biāo)準(zhǔn)方程)C2:x2+y2-4x+2my+2m2=0,化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為C2:(x-2)2+(y+m)2=4-m2,所以4-m2>0?m∈(-2,2),r=4-當(dāng)m=0時(shí),rmax=2,此時(shí)C2:(x-2)2+y2=4.法二(圓的一般方程)由C2:x2+y2-4x+2my+2m2=0得r=D2+E2-當(dāng)m=0時(shí),rmax=2,此時(shí)C2:x2+y2-4x=0.(2)C1:(x+1)2+y2=1,即圓C1是以(-1,0)為圓心,1為半徑的圓;C2:(x-2)2+(y+m)2=4-m2,即圓C2是以(2,-m)為圓心,4-m2為半徑的圓,其中m∈(-2,2);因?yàn)閨C1C2|=9+m2≥3,r1所以當(dāng)m=0時(shí),|C1C2|=r1+r2,兩圓外切;當(dāng)m∈(-2,0)∪(0,2)時(shí),|C1C2|>r1+r2,兩圓外離.判斷兩圓的位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法:將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對值,半徑之和進(jìn)行比較,進(jìn)而判斷出兩圓的位置關(guān)系,這是在解析幾何中主要使用的方法.(2)代數(shù)法:將兩圓的方程組成方程組,通過解方程組,根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)進(jìn)而判斷兩圓的位置關(guān)系.[針對訓(xùn)練1](多選題)(2021·浙江蘭溪期中)已知圓C1:x2+y2=16和圓C2:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0),則()A.r=2時(shí),兩圓相交B.r=1時(shí),兩圓內(nèi)切C.r=9時(shí),兩圓外切D.r=10時(shí),兩圓內(nèi)含解析:由題知圓C1:x2+y2=16的圓心為(0,0),半徑R=4;圓C2:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0)的圓心為(3,4),半徑為r,所以兩圓圓心距為|C1C2|=5,故對于A選項(xiàng),當(dāng)r=2時(shí),2=R-r<|C1C2|=5<R+r=6,故兩圓相交,正確;對于B選項(xiàng),當(dāng)r=1時(shí),|C1C2|=5=R+r,故兩圓外切,錯(cuò)誤;對于C選項(xiàng),當(dāng)r=9時(shí),r-R=|C1C2|=5,故兩圓內(nèi)切,錯(cuò)誤;對于D選項(xiàng),當(dāng)r=10時(shí),r-R>|C1C2|,故兩圓內(nèi)含,正確.故選AD.[針對訓(xùn)練2](2021·黑龍江哈爾濱期末)已知圓C1:x2+y2-2x+my+1=0(m∈R)的面積被直線x+2y+1=0平分,圓C2:(x+2)2+(y-3)2=25,則圓C1與圓C2的位置關(guān)系是()A.相離 B.相交C.內(nèi)切 D.外切解析:因?yàn)閳AC1:x2+y2-2x+my+1=0(m∈R)的面積被直線x+2y+1=0平分,所以圓C1的圓心(1,-m2)在直線x+2y+1=0上,所以1+2×(-m2所以圓C1的圓心為(1,-1),半徑為1,因?yàn)閳AC2的圓心為(-2,3),半徑為5,所以5-1<|C1C2|=(-2-1)2兩圓相交公共弦問題[例2]過兩圓x2+y2=4和(x-2)2+(y+1)2=1交點(diǎn)的直線方程為.?解析:設(shè)兩圓x2+y2=4和(x-2)2+(y+1)2=1的交點(diǎn)分別為A,B,則線段AB是兩個(gè)圓的公共弦.由x2+y2=4和(x-2)2+(y+1)2=1兩式相減,得4x-2y-8=0,即2x-y-4=0,故線段AB所在直線的方程為2x-y-4=0.答案:2x-y-4=0(1)若圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.(2)公共弦長的求法:①代數(shù)法:將兩圓的方程聯(lián)立,解出交點(diǎn)坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長.②幾何法:求出公共弦所在直線的方程,利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形,根據(jù)勾股定理求解.[針對訓(xùn)練1]若圓C1與圓C2:x2+y2+2x-4y-36=0關(guān)于點(diǎn)P(2,-2)對稱,則圓C1與圓C2的公共弦長為()A.6 B.52 C.8 D.82解析:由題意,圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2=41,圓心為C2(-1,2),半徑r=41.因?yàn)閳AC1與圓C2關(guān)于點(diǎn)P(2,-2)對稱,則由圓的對稱性可得點(diǎn)P(2,-2)即為兩圓公共弦的中點(diǎn),則圓C1與圓C2的公共弦長為2r2-|C[針對訓(xùn)練2](2021·山東棗莊高二期中)已知圓C:x2+y2=1,過點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1),則直線AB的方程為;若P為直線x+2y-4=0上一動(dòng)點(diǎn),則直線AB經(jīng)過定點(diǎn).?解析:因?yàn)镻A,PB是圓C的切線,所以CA⊥PA,CB⊥PB,所以AB是圓C與以PC為直徑的兩圓的公共弦,由題意,圓C:x2+y2=1的圓心坐標(biāo)為C(0,0),則以C(0,0)和P(2,1)為直徑端點(diǎn)的圓的圓心為(1,12),半徑為r=12|CP|=52.可得以CP為直徑的圓的方程為(x-1)2+(y-因?yàn)辄c(diǎn)P為直線x+2y-4=0上一動(dòng)點(diǎn),設(shè)P(4-2m,m),可得以PC為直徑的圓的方程為[x-(2-m)]2+(y-m2)2=(2-m)2+m24,又由圓C的方程為x2+y2=1,兩圓的方程相減,則直線AB的方程為2(2-m)x+my=1,可得(14,1答案:2x+y-1=0(14,1兩圓的位置關(guān)系的應(yīng)用[例3](2021·山東濰坊期中)已知兩個(gè)條件:①圓心C在直線x-2y=0上,直線4x-3y=0與圓C相交所得的弦長為4;②圓C過圓x2+y2-6x-6y+8=0和圓x2+y2-4x-8y+4=0的公共點(diǎn).在這兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,并解答問題.問題:是否存在唯一的圓C過點(diǎn)A(6,0)且,并說明理由.?解:選擇①,不存在唯一的圓C過點(diǎn)A(6,0),理由如下:設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因?yàn)閳A心C在直線x-2y=0上,所以a-2b=0,①圓心到直線4x-3y=0的距離為d=|4則|4a-又因?yàn)閳AC過點(diǎn)A(6,0),則(6-a)2+b2=r2,③由①②③解得a=4,b=2,r2=8或a=8,b=4,r2=20,所以圓的方程為(x-4)2+(y-2)2=8或(x-8)2+(y-4)2=20,故不存在唯一的圓C.選擇②,存在唯一的圓C過點(diǎn)A(6,0),理由如下:設(shè)圓的方程為x2+y2-6x-6y+8+λ(x2+y2-4x-8y+4)=0,又因?yàn)閳AC過點(diǎn)A(6,0),則8+16λ=0,即λ=-12所以圓的方程為x2+y2-8x-4y+12=0,即(x-4)2+(y-2)2=8,故存在唯一的圓C.通過兩圓的位置關(guān)系,尋找圓心距與半徑和與差的關(guān)系,從而求得參數(shù)的值或范圍等.[針對訓(xùn)練](2021·福建廈門雙十中學(xué)期中)已知兩圓C1:x2+y2=1,C2:x2+y2-6x-8y-11=0,則兩圓的位置關(guān)系為,兩圓的公切線方程為.(用一般式表示)?解析:由圓C1:x2+y2=1可得圓心C1(0,0),半徑r=1,由C2:x2+y2-6x-8y-11=0可得(x-3)2+(y-4)2=36,可得圓心C2(3,4),半徑R=6,因?yàn)閳A心距|C1C2|=(3-0)2由題意可知公切線的斜率存在,所以設(shè)公切線方程為y=kx+b,則|b|1+k2=1,|3k+b-4|1+k2=6,因?yàn)閮蓤A圓心所在直線C1C2垂直于公切線,且答案:內(nèi)切3x+4y+5=0阿波羅尼斯圓:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)A,B距離的比為常數(shù)λ(λ>0且λ≠1)的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓,這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.典例探究:(2021·廣東廣雅中學(xué)期中)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(約公元前262～公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,著作中有這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓,已知點(diǎn)A(-1,0),B(2,0),圓C:(x-2)2+(y-m)2=14A.[22,62] B.[54C.(0,212] D.[52,解析:設(shè)P(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)A(-1,0),B(2,0),|PA|=2|PB|,所以(x+1)即x2+y2-6x+5=0,所以(x-3)2+y2=4,可得圓心(3,0),半徑R=2,由圓C:(x-2)2+(y-m)2=14(m>0)可得圓心C(2,m),半徑r=1因?yàn)樵趫AC上存在點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|,所以圓(x-3)2+y2=4與圓C:(x-2)2+(y-m)2=14所以2-12≤(3-整理可得94≤1+m2≤25解得52≤m≤212,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[52,阿波羅尼斯圓中兩定點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置不同,其方程也不相同,在解決問題時(shí)需根據(jù)題意求出圓的方程,再解決其他問題.應(yīng)用探究:(多選題)在平面上有相異兩點(diǎn)A,B,設(shè)點(diǎn)P在同一平面上,且滿足|PA|=λ|PB|(其中λ>0,且λ≠1),則點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓,這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.設(shè)A(-a,0),B(a,0),a為正實(shí)數(shù),則下列說法正確的是()A.當(dāng)λ=2時(shí),此阿波羅尼斯圓的半徑為r=43B.當(dāng)λ=12C.當(dāng)0<λ<1時(shí),點(diǎn)B在阿波羅尼斯圓圓心的左側(cè)D.當(dāng)λ>1時(shí),點(diǎn)A在阿波羅尼斯圓外,點(diǎn)B在圓內(nèi)解析:設(shè)P(x,y),所以|PA|=(x+a所以(x+a整理得[x-(λ2+1)aλ2A.當(dāng)λ=2時(shí),此阿波羅尼斯圓的半徑r=|2λaλ2-B.當(dāng)λ=12時(shí),以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=a2,阿波羅尼斯圓的方程為(x+53a)2+y2=16a29,兩圓圓心距為5C.當(dāng)0<λ<1時(shí),阿波羅尼斯圓的圓心的橫坐標(biāo)為(λ2+1)aλD.當(dāng)λ>1時(shí),點(diǎn)A與阿波羅尼斯圓圓心的距離為|(λ2+1)aλ2-1+a|=2λ2a1.(2021·北京通州高二期中)圓(x-5)2+(y-3)2=9與圓x2+y2-4x+2y+4=0的位置關(guān)系是(D)A.內(nèi)含 B.相交 C.外切 D.外離解析:圓(x-5)2+(y-3)2=9的圓心為(5,3),半徑為r1=3,圓x2+y2-4x+2y+4=0化為(x-2)2+(y+1)2=1,則圓心為(2,-1),半徑為r2=1,則圓心距d=(5-2)22.(2021·重慶鳳鳴山中學(xué)期中)設(shè)圓C1:(x-1)2+(y-1)2=9和圓C2:(x+1)2+(y+2)2=4交于A,B兩點(diǎn),則線段AB所在直線的方程為(A)A.2x+3y+4=0 B.3x-2y+1=0C.2x+3y-3=0 D.3x-2y=0解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)閳AC1:(x-1)2+(y-1)2=9,①和圓C2:(x+1)2+(y+2)2=4,②交于A,B兩點(diǎn),所以由①-②得-4x-6y-8=0,即2x+3y+4=0,故A(x1,y1),B(x2,y2)坐標(biāo)滿足方程2x+3y+4=0,又過AB的直線唯一確定,即直線AB的方程為2x+3y+4=0.故選A.3.(多選題)(2021·山西康杰中學(xué)期中)已知圓C1:x2+(y-a)2=9與圓C2:(x-a)2+y2=1有四條公共切線,則實(shí)數(shù)a的取值可能是(AD)A.-3B.-B.-2C.22 D.23解析:圓C1的圓心C1(0,a),半徑r1=3,圓C2的圓心C2(a,0),半徑r2=1.因?yàn)閮蓤A有四條公切線,所以兩圓外離,又兩圓圓心距d=2|a|,所以2|a|>3+1,解得a<-22或a>22.故選AD.4.(多選題)(2021·廣東田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)已知圓C1:(x-m)2+(y-m)2=2與圓C2:x2+y2=8無公共切線,則實(shí)數(shù)m的取值可以是(BC)A.-2 B.-12 C.12解析:圓C1的圓心C1(m,m),半徑r1=2,圓C2的圓心C2(0,0),半徑r2=22.因?yàn)閮蓤A無公切線,所以兩圓內(nèi)含,又兩圓圓心距d=2|m|,所