二次函數(shù)與四邊形的動點問題(含答案)

#4當_wxW2時，BP=2x—2,AQ=x,OE=1,^3y=S+S梯形BEOP 梯形OEAQ3即y=5x.90<ZPOQ<180或180<ZPOQ<270(4)如圖所示:練習(xí)4.［解］(1)設(shè)12的解析式為尸“x2+bx+c(a#0),?：l1與x軸的交點為A(-2, 0), C(2, 0),頂點坐標是(0, -4), 12與11關(guān)于x軸對稱，???12過A(-2,0),C(2,0),頂點坐標是(0,4),’4a—2b+c=0,J14a+2b+c=0,c=4.?a=-1b=0,c=4,即12的解析式為y=-x2+4.(還可利用頂點式、對稱性關(guān)系等方法解答)(2)設(shè)點B(m,n)為11：y=x2-4上任意一點，則n=m2-4(*).??四邊形ABCD是平行四邊形，點A、C關(guān)于原點O對稱，JB、D關(guān)于原點O對稱，??點D的坐標為D(-m,-n).由(*)式可知,-n=-(m2-4)=-(-m)2+4,即點D的坐標滿足y=-x2+4,??點D在12上.□ABCD能為矩形.過點B作BH±x軸于H，由點B在11：y=x2-4上，可設(shè)點B的坐標為(x0,x02-4)則OH=1x0I,BH=1x02-41.易知，當且僅當BO=AO=2時，口ABCD為矩形.在R3OBH中，由勾股定理得，Ix0|2+Ix02-412=22,(x02-4)(x02-3)=0,,??x0=±2(舍去)、x0=±%：3.所以，當點B坐標為B市,-1)或B，(-也,-1)時，口ABCD為矩形，此時，點D的坐標分別是D(-.3,1)、Df(\'3,1).因此，符合條件的矩形有且只有2個，即矩形ABCD和矩形ABfCDf.設(shè)直線AB與y軸交于E,顯然，△AOEs&AHB,.EOBH.EO1,,AO=AH，-???EO=4-2<3.由該圖形的對稱性知矩形ABCD與矩形AB'CD，重合部分是菱形，其面積為S=2SA4=2x1xACxEO=2x1x4x(4-2\l3)=16-8V3.^ACE 2 2三.二次函數(shù)與四邊形的動態(tài)探究例1.解：（1）由已知PB平分NAPD，PE平分NOPF，且PD、PF重合，則NBPE=90°.AZOPE+ZAPB=90°.又NAPB+NABP=90°,,NOPE=NPBA.???Rt△POEsRt△BPA.PO BA % 3 1 // 、 1 4.. ― .即—— ...y=%(4一%)——一%2+%(0<%<4).OE AP y 4-% 3 3 3且當%=2時，y有最大值!.3(2)由已知，△PAB、△POE均為等腰三角形，可得P(1,0),E(0,1),B(4,3).設(shè)過此三點的拋物線為y=a%+b%+c,則1；+b+c—0,16a+4b+c=3.1 3 1y=—%2 %+1.2 2(3)由(2)知NEPB=90°,即點Q與點B重合時滿足條件.直線PB為尸%—1,與y軸交于點(0,將PB向上平移2個單位則過點E(0,.二該直線為y=%+1.—1).1),y—%+1,c3 「得y― %2—%+1,2%—5,[y-6「Q(56).故該拋物線上存在兩點Q(4,3)、(5,6)滿足條件.1a——,2,3bFc—1.例2.解：(1)解方程%2—10%+16=0得%1=2,%2=8 1分??點B在%軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OB<OC??點B的坐標為(2,0),點C的坐標為(0,8)又???拋物線y=a%2+b%+c的對稱軸是直線%=—2.由拋物線的對稱性可得點A的坐標為(一6,0) 4分(2)\?點C(0,8)在拋物線y=a%2+b%+c的圖象上.c=8,將A(—6,0)、B(2,0)代入表達式，得0=36a0=36a一劭十日2 8 ??所求拋物線的表達式為y=3%2 3%+8(3)依題意，AE=m，則BE=8—m,??OA=6,OC=8,.AC=10??EF〃AC???△BEFs^BACEF_BEEF_S-m.AC=AE 即丁丁4。一5昭TOC\o"1-5"\h\z:?EF= 4FG4 440-5您:.麗=5：.fg=5- 4 =8-m\o"CurrentDocument"1 1：.S=SABCE-SABFE= （8一機）x8—之（8一機）（8—機）1 1 1=之（8—m）（8—8+m）=之（8—m）m=-m2+4m 10 分自變量機的取值范圍是0〈根<8 11分（4）存在.1理由：'.*5=—m2+4m=—2（機-4）2+8且一之<0,，當機=4時，S有最大值，S最大值=8 12分:m=4,???點￡的坐標為（一2,0）???△5CE為等腰三角形. 14分第如題圖（批卷教師用圖）（以上答案僅供參考，如有其它做法，可參照給分）例3解：(1)相等理由是：因為四邊形ABCD、EFGH是矩形，所以S=S,S=S,S=SAEGH AEGFAECN AECPACGQ ACGM所以S—S—S=S—S—S,即：S=S'AEGHAECPACGMAEGFAECNACGQ(2)AB=3,BC=4,AC=5,設(shè)AE=%，貝UEC=5—%,PC=3(5_幻MC=4%TOC\o"1-5"\h\z5 512 12 12所以S二PCMC=一％(5—%)，即S=-12%2+±%(0<%<5)25 25 5

12 5 :配方得：S=(x--)2+3，所以當X=-時，25 2 2S有最大值3(3)當AE=AB=3或AE=BE=5或AE=3.6時，AABE是等腰三角形2練習(xí)1.解：(1)點M1分(2)經(jīng)過t秒時，NB=t,OM=2t則CN=3-1,AM=4-2t?.?ZBCA=ZMAQ=45.?.QN=CN=3-1 ：.PQ=1+t??.s =1AMPQ=1(4-21)(1+1)=-12+1+2.?.s=-12+1+2=-TOC\o"1-5"\h\z△amq2 2:0WtW2.??當t=2時，s的值最大.(3)存在.設(shè)經(jīng)過t秒時，NB=t,OM=21則CN=3-1,AM=4-2t.?.ZBCA=ZMAQ=45①若ZAQM=90,則PQ是等腰影△MQA底邊MA上的高/ ……1…,. 1…… 1??PQ是底邊MA的中線 ??.PQ=AP=—MA.?.1+1=-(4-21):.t=—2 2 2??點M的坐標為(1,0)②若ZQMA=90，此時QM與QP重合.?.QM=QP=MA：.1+1=4-2t.?.t=1??點M的坐標為(2,0)練習(xí)2.解：(1)(e+c,d),(c+e-a,d).⑵分別過點A，B，C,D作x軸的垂線,垂足分別為勺/qA，分別過A,D作AE1BB于E,DF1CC于點F.OBACDXx1111OBACDXx1111在平行四邊形ABCD中，CD=BA，又BB〃CC,11...ZEBA+ZABC+ZBCF=ZABC+ZBCF+ZFCD=180.■:.ZEBA=ZFCD, °又ZBEA=ZCFD=90,:.△BEA2CFD. 。AF=DF=a-c,BE=CF=d-b.設(shè)C(x,y).由e-x=a-c,得x=e+c-a.由y-f=d-b，得y=f+d-b.「.C(e+c-a,f+d-b).(3)m=c+e-a,n=d+f-b.或m+a=c+e,n+b=d+f.(4)若GS為平行四邊形的對角線，由(3)可得P(-2c,7c).要使P在拋物線上，11則有7c=4c2-(5c-3)*(-2c)-c，即c2-c=0.，c=0(舍去)，c=1.此時P(-2,7).1 21若SH為平行四邊形的對角線，由(3)可得P(3c,2c)，同理可得c=1,此時P(3,2).22若GH為平行四邊形的對角線，由(3)可得(c,-2c)，同理可得c=1,此時P(1,-2).3綜上所述，當c=1時，拋物線上存在點P,使得以G,S,H,P為頂點的四邊形是平行四邊形.符合條件的點有P(-2,7),P(3,2),P(1,-2).1 23練習(xí)3.解：⑴由Rt^AOB0Rt^CDA得OD=2+1=3,CD=1，C點坐標為(-3,1),???拋物線經(jīng)過點C,1.?.1=(-3)2a+(—3)a—2,；.a=2。11???拋物線的解析式為y=-x2+-x-2.⑵在拋物線(對稱軸的右側(cè))上存在點P、Q,使四邊形ABPQ是正方形。以AB邊在AB右側(cè)作正方形ABPQ。過P作PEXOB于E,QG±x軸于G,可證△PBE04AQG04BAO,；.PE=AG=BO=2,BE=QG=AO=1,??????P點坐標為(2,1),Q點坐標為(1,-1)。11由(1)拋物線y=-x2+-x-2。當x=2時，y=1,當x=,1時，y=—1。.P、Q在拋物線上。故在拋物線(對稱軸的右側(cè))上存在點P(2,1)、Q(1,—1),使四邊形ABPQ是正方形。⑵另解：在拋物線(對稱軸的右側(cè))上存在點P、Q,使四邊形ABPQ是正方形。延長CA交拋物線于Q,過B作BP〃CA交拋物線于P,連PQ,設(shè)直線CA、BP的解析式分別為y=k1x+b1,y=k2x+b2,VA(—1,0),C(—3,1),11 11.CA的解析式y(tǒng)=--X--，同理BP的解析式為y=--x+-,

1丁=-2x-2同理得P點坐標為（2,1）。12 2 得Q點坐標為（同理得P點坐標為（2,1）。y=%2+x—22由勾股定理得AQ=BP=AB=<5，而NBAQ=90°,??四邊形ABPQ是正方形。故在拋物線（對稱軸的右側(cè)）上存在點P（2,1）、Q（1,一1）,使四邊形ABPQ是正方形。⑵另解：在拋物線（對稱軸的右側(cè)）上存在點P、Q,使四邊形ABPQ是正方形。如圖，將線段CA沿CA方向平移至AQ,VC（—3,1）的對應(yīng)點是A（一1,0）,；.A（—1,0）的對應(yīng)點是Q（1,一1）,再將線段AQ沿AB方向平移至BP,同理可得P（2,1）ZBAC=90°,AB=AC1 1 「??四邊形ABPQ是正方形。經(jīng)驗證P（2,1）、Q（1