高中數(shù)學必修一課時跟蹤檢測(九) 基本不等式

課時跟蹤檢測（九）基本不等式A級——學考合格性考試達標練1．下列不等式中，正確的是()A．a(chǎn)＋≥4B．a(chǎn)2＋b2≥4abC.≥D．x2＋≥2解析：選Da<0，則a＋≥4不成立，故A錯；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B錯，a＝4，b＝16，則，故C錯；由基本不等式可知D項正確．2．若a＞b＞0，則下列不等式成立的是()<A．a(chǎn)＞b＞C．a(chǎn)＞＞B．a(chǎn)＞D．a(chǎn)＞＞＞＞b＞b＞＞＞b解析：選Ba＝＞＞＝b，因此B項正確．3．已知x<0，則x＋－2有()A．最大值為0B．最小值為0C．最大值為－4D．最小值為－4解析：選Cx＜0，x＋－2＝－當且僅當－x＝－2≤－2－2＝－4，，即x＝－1時取等號．4．3x2＋A．3的最小值是()－3B．3C．6D．6－3解析：選D3(x2＋1)＋－1時等號成立，故選D.－3≥2－3＝2－3＝6－3，當且僅當x2＝5．若x>0，y>0，且＋＝1，則xy有()A．最大值64B．最小值C．最小值D．最小值64解析：選D由題意xy＝等號成立的條件是x＝4，y＝16.xy＝2y＋8x≥2＝8，≥8，即xy有最小值64，6．要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是________元．解析：設(shè)底面矩形的一邊長為x，由容器的容積為4m3，高為1m，得另一邊長為記容器的總造價為y元，則m.y＝4×20＋2×1×10＝80＋20≥80＋20×2＝160，當且僅當x＝，即x＝2時，等號成立．因此當x＝2時，y取得最小值160，即容器的最低總造價為160元．答案：1607.(－6≤a≤3)的最大值為________．解析：因為－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，則由基本不等式可知，，當且僅當a＝－≤＝時等號成立．答案：8．已知x>0，y>0，2x＋3y＝6，則xy的最大值為________．解析：因為x>0，y>0，2x＋3y＝6，所以xy＝(2x·3y)≤·＝·＝.當且僅當2x＝3y，即x＝，y＝1時等號成立，xy取到最大值.答案：9．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，試證明不等式：證明：因為a>0，b>0，c>0，＋＋≥6.所以所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，＋＋≥6，當且僅當＝，＝，＝，即a＝b＝c時，等號成立．所以＋＋≥6.10．(1)已知x<3，求y＝＋x的最大值；(2)已知x，y是正實數(shù)，且x＋y＝4，求＋的最小值．解：(1)x<3，x－3<0，y＝＋x＝＋(x－3)＋3＋3≤－2＝－＋3＝－1，當且僅當＝3－x，即x＝1時取等號，y的最大值為－1.(2)x，y是正實數(shù)，(x＋y)＝4＋≥4＋2.當且僅當＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)時取“＝”號．又x＋y＝4，＋≥1＋，故＋的最小值為1＋B級——面向全國卷高考高分練1．設(shè)a，b為正數(shù)，且a＋b≤4，則下列各式中正確的一個是().A.C.＋＋<1B．<2D．＋＋≥1≥2解析：選B因為ab≤≤＝4，所以＋≥2≥2＝1，當且a＝b＝2時等號成立．2．若0<x<，則xA．1B．的最大值為()C.D．解析：選C因為0<x<，所以1－4x2>0，所以x＝×2x≤×＝，當且僅當2x＝，即x＝時等號成立，故選C.3．已知x≥，則有()A．最大值B．最小值C．最大值1D．最小值1解析：選D＝＝，因為x≥，所以x－2>0，所以≥·2＝1.當且僅當x－2＝，即x＝3時取等號．故原式有最小值為1.4．已知不等式(x＋y)A．2B．4≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為()C．6D．8解析：選B不等式(x＋y)≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則(x＋y)≥(1＋)2≥9，≥2，即a≥4，故正實數(shù)a的最小值為4.5．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是________(寫出所有正確命題的序號)．a(chǎn)b≤1；＋≤；a2＋b2≥2；a3＋b3≥3；＋≥2.解析：因為a＞0，b＞0，a＋b＝2，所以ab≤＝1，所以恒成立；＋≤2＝2，所以不恒成立；a2＋b2≥＝2，所以恒成立；當a＝b＝1時，a3＋b3＝2＜3，所以不恒成立；＋＝(a＋b)＝≥2，所以恒成立．答案：6．若對任意x>0，≤a恒成立，則a的取值范圍是________．解析：因為x>0，所以x＋≥2.當且僅當x＝1時取等號，所以有即＝≤＝，的最大值為，故a≥.答案：7．已知a，b為正實數(shù)，且(1)求a2＋b2的最小值；＋＝2.(2)若(a－b)2＝4(ab)3，求ab的值．解：(1)因為a，b為正實數(shù)，且＝b時等號成立)．＋＝2，所以＋＝2≥2，即ab≥(當且僅當a因為a2＋b2≥2ab≥2×＝1(當且僅當a＝b時等號成立)，所以a2＋b2的最小值為1.(2)因為＋＝2，所以a＋b＝2ab.因為(a－b)2＝4(ab)3，所以(a＋b)2－4ab＝4(ab)3，即(2ab)2－4ab＝4(ab)3，即(ab)2－2ab＋1＝0，(ab－1)2＝0.因為a，b為正實數(shù)，所以ab＝1.C級——拓展探索性題目應(yīng)用練某廠家擬在2019年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查，該產(chǎn)品的年銷售量(即該產(chǎn)品的年產(chǎn)量)x(單位：萬件)與年促銷費用m(m≥0)(單位：萬元)滿足x＝3－(k為常數(shù))，如果不舉行促銷活動，該產(chǎn)品的年銷售量是1萬件．已知2019年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用)．(1)將2019年該產(chǎn)品的利潤y(單位：萬元)表示為年促銷費用m的函數(shù)；(2)該廠家2019年的促銷費用為多少萬元時，廠家的利潤最大？解：(1)由題意，可知當m＝0時，x＝1，1＝3－k，解得k＝2，x＝3－，又每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×