2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題24平面向量的概念及其線性運(yùn)算教學(xué)案文

專題24平面向量的概念及其線性運(yùn)算考情解讀.了解向量的實(shí)際背景..理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義..理解向量的幾何表示..掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義..掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義..了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.重點(diǎn)知識梳理1.向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的長度（或稱模）平面向量是自由向量零向量長度為零的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為土;a平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算力a三痢形法明一平行四辿形法羯(1)交換律：a+b=b+a.(2)結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)減法求a與b的相反向量—b的和的運(yùn)算叫做a與b的差白三角形法則a—b=a+(—b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)人與向量a的積的運(yùn)算(1)|Aa|=|A||a|；(2)當(dāng)A>0時(shí)，Aa的方向與a的方向相同；當(dāng)A<0時(shí)，Aa的方向與a的方向相反；當(dāng)A=0時(shí)，Aa=0A(〃a)=A〃a；(A+〃)a=Aa+〃a；A(a+b)=Aa+Ab3.共線向量定理向量a(aW0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)卜，使得b=卜a.?高頻考點(diǎn)突破高頻考點(diǎn)一平面向量的概念例1、下列命題中，不正確的是(填序號).①若|a|=|b|,則a=b；②若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn)，則“疝=DC”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a=b,b=c,則Ua=c.解析①不正確.兩個(gè)向量的長度相等，但它們的方向不一定相同②正確.???AB=DC,??.|AB|=|DC|且AB〃DC,又A,B,C,D是不共線的四點(diǎn)，.?.四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則|AB|=|DC|,AB〃位且AB,DC方向相同，因此AB=DC.③正確.???a=b,??.a,b的長度相等且方向相同，又b=c,??.b,c的長度相等且方向相同，?a,c的長度相等且方向相同，故a=c.答案①【方法規(guī)律】(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性⑵共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).⑶向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的移動混為一談.(4)非零向量a與煮的關(guān)系：奇是與a同方向的單位向量.【變式探究】下列命題中，正確的是(填序號).①有向線段就是向量，向量就是有向線段；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.解析①不正確，向蚩可以用有向線段表示，但向量不是有向線段，有向線段也不是向量.②不正確.若Q與心中有一個(gè)為零向量，零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反J③正確，向量既有大小，又有方向，不能比較大小s向量的模均為實(shí)數(shù)，可以比較大小-答案③高頻考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算例2、(1)在^ABC中，P,Q分別是AB,BC的三等分點(diǎn)，且AP=1AB,BQ=1BC.若砧=a,At=3 3b,則腐=()A.ja+jb B.—3a+jbc.3T D.-3a-3b(2)在^ABC中，點(diǎn)M,N滿足AM=2前，BN=nC.若MN=xAB+yAC,則x=；y=.212TOC\o"1-5"\h\z解析(1)PQ=PB+BQ=-AB+-BC=-AB+3 3 3-(AC—AB)=-AB+-AC=-a+-b,故選A.(2)由題中條件得，MN=MC+CN=-AC+-CB=-AC+-(AB—AC)=-AB—-AC=xAB+yAC,所以x3 2 3 2 2 61 1=一,y=一2，y6.答案(1)A(2)1—126【方法規(guī)律】(1)解題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.⑵用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡結(jié)果.

b.d.【變式探究】（1）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，那么曲等于（）b.d.a.|AB-jADc.|AB+jDA（2）在4ABC中，AB=2,BC=3,ZABC=60°,AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若前=卜AB十〃BC,則X+〃等于（）TOC\o"1-5"\h\z1 2A.1 B.- C.~ D.-3 3解析（1）在△GEW中,有法匕且曲.因?yàn)辄c(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，所以成=；虎.因?yàn)辄c(diǎn)尸為BC的一個(gè)靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn),所以和二斜.所以商^品t+初二法+鈍=^45—故選D.（2）vAd=Ab+BD=aB+1bC,3.?.2前=砧+1就，即前=1砧+1就.3 2 61^12故X+〃=2+6=3.答案（1）D（2）D【感悟提升】平面向量線性運(yùn)算問題的常見類型及解題策略⑴向量加法或減法的幾何意義.向量加法和減法均適合三角形法則.⑵求已知向量的和.一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則.⑶求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較求參數(shù)的值.【變式探究】如圖，一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB,AD分別交于E,F兩點(diǎn)，且交一一 一>2—>—>1—>—> —> 一對角線AC于K其中，AE=-AB,AF=2AD,AK=/AC,則4的值為(D-3答案D-3答案A解析?「就=飆,利法’「寵二法』疝=汲由向量加法的平行四邊形法則可知,，女A(荔+疝)=>U(|^+2^)7由/用K三點(diǎn)共線下可得點(diǎn)=/故選A.高頻考點(diǎn)三共線定理的應(yīng)用例3、設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.(1)若AB=a+b,At=2a+8b,CD=3(a—b).求證：A,B,D三點(diǎn)共線；⑵試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.(1)證明VAB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b).前共線，BD=BC+CD=2a+8b+3(a—b)=2a+8b+3a—3b=5(a+b)=5AB.；.AB,又它們有公共點(diǎn)B,前共線，AA,B,D三點(diǎn)共線.⑵解Vka+b與a+kb共線，.?.存在實(shí)數(shù)*,使ka+b=*(a+kb),即ka+b=*a+*kb,A(k—*)a=(*k—1)b.???a,b是不共線的兩個(gè)非零向量，/.k—A=Ak—1=0,Ak2—1=0,Ak=+1.【方法規(guī)律】(1)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.(2)向量a,b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)A「A2,使A1a+A2b=0成立.【變式探究】(1)已知向量AB=a+3b,就=5a+3b,說=—3@+3況則( )A.A,B,C三點(diǎn)共線 B.A,B,D三點(diǎn)共線C.A,C,D三點(diǎn)共線 D.B,C,D三點(diǎn)共線(2)已知A,B,C是直線l上不同的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)O不在直線l上，則使等式X2OA+xOB+BC=0成立的實(shí)數(shù)x的取值集合為()A.{0} B.C.{—1} D.{0,—1}解析(1丁.顯=就+的=2o+班=2(￡1+3的=疑，，前、而共線，又有公共點(diǎn)國R三點(diǎn)、共線一故選區(qū)(2)因?yàn)橘E=元所以,山/+工據(jù)+元—蘢=0,即丞=—W立―*—1)宓，因?yàn)樵拢?C三點(diǎn)共線，所以一如一。-1)=1,即山+‘=0,解得h=0或jc——1.答案(1)B(2)D高頻考點(diǎn)四、方程思想在平面向量線性運(yùn)算中的應(yīng)用例4、如圖所示，在4ABO中，OtgoA,OD=jOB,AD與BC相交于點(diǎn)M,設(shè)OA=a,OB=b.試仕 乙用a和b表示向量OM.解設(shè)OM=ma+nb,則AM=OM—OA=ma+nb—a=(m-1)a+nb.Ad=OD—Oa=2ob—OA=—a+|b.[3分]又???A、M、D三點(diǎn)共線，.?.醯［與砧共線.???存在實(shí)數(shù)t,使得AM=tAD,即(m—1)a+nb=t(—a+2b].[5分]?(m-1)a+nb=—ta+；tb.乙m—1=~t?，_i 消去f得,n~2?即加+2?i=l.①［7分］又「曲上血一丞=3+泌一%=又M，B三點(diǎn)共線，，殖與越共線.，存在實(shí)數(shù)心使得礪匕人癡.m-?a+nb=t[-%+b[n=T.消去tj得4m+n=1.②__ 1 3 _1M由①②得m=7，n=7，，OM=7a+7b.【感悟提升】（1）本題考查了向量的線性運(yùn)算，知識要點(diǎn)清楚，但解題過程復(fù)雜，有一定的難度.（2）易錯(cuò)點(diǎn)是找不到問題的切入口，想不到利用待定系數(shù)法求解.（3）數(shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運(yùn)算的核心，向量是一個(gè)幾何量，是有“形”的量，因此在解決向量有關(guān)問題時(shí)，多數(shù)習(xí)題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷、求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧.如本題易忽視A、M、D三點(diǎn)共線和B、M、C三點(diǎn)共線這個(gè)幾何特征.（4）方程思想是解決本題的關(guān)鍵，要注意體會.【方法技巧】.向量的線性運(yùn)算要滿足三角形法則和平行四邊形法則，做題時(shí)，要注意三角形法則與平行

四邊形法則的要素.向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點(diǎn)”；向量減法的三角形法則要素是“起點(diǎn)重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點(diǎn)重合”..證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線..對于三點(diǎn)共線有以下結(jié)論：對于平面上的任一點(diǎn)O,0A,施不共線，滿足昨=xOUy施(x,y￡R),則P,A,B共線x+y=1.【易錯(cuò)提醒】.解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件.要特別注意零向量的特殊性..在利用向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)誤.真題感悟真題感悟TOC\o"1-5"\h\z—> —> —>—> —>1.12016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知向量a=(1,m),a=(3,—2),且(a+b)1b，則m=( )(A)-8 (B)-6 (C)6 (D)8【答案】D【解析】向量￡+6=(4,2),由得4x3+(m—2)x(—2)=/解得m=8,故選D2.12016高考江蘇卷】如圖，在AABC中，D是BC的中點(diǎn)，E,F是A,D上的兩個(gè)三等分 ―― ―― ??-點(diǎn)，BC-CA=4,BF-CF=-1,則BECE的值是▲ .【答案】-8【解析】因?yàn)锽A-CJ=(-HC—A15X--HC—AD=4AD2~B^C2=36FD2—BC2=4,2 2 4 4BF.CF=(-BC--aD.).(-1BC—-1aD.)=2-BC2=-1,2 3 2 3 4

TOC\o"1-5"\h\z-, 5-- 13因止匕FD(2014?四川卷)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(2014?四川卷)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m￡R),且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m=（）【答案】BE.C=(1BC-ED).(-1BC-ed)="ed2-BC2=16FD2-bC2 - -【2015高考新課標(biāo)1,理7】設(shè)D為AABC【2015高考新課標(biāo)1,理7】(A)AD=—4--4--1-AB+-AC(d)AD=4AB-1AC

3 3【解析】A.12B.-1C.1【解析】A.12B.-1C.1D.2【答案】1 1 1/1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由題知AD=AC+CD=AC+3BC=AC+3(AC-AB)==-3AB+3AC，故選A.（2014?遼寧卷）設(shè)a,b,c是非零向量，已知命題p：若a?b=0,b-c=0,則a?c=0,命題q：若a〃b,匕〃。，則&〃。，則下列命題中真命題是（ ）A.pVqB.pAqC僦P)A(㈱q)D.pV(㈱q)【答案】A【解析】由向量數(shù)量積的幾何意義可知，命題P為假命題；命題q中，當(dāng)bW0時(shí)，a,c一定共線，故命題q是真命題.故PVq為真命題.（2014?新課標(biāo)全國卷I］已知A,B,C為圓O上的三點(diǎn)，若屈斗融+慧），則融與AC的乙夾角為【答案】90°【解析】由題易知點(diǎn)口為的中點(diǎn)，即為圓。的直徑，故在△UC中，對應(yīng)的角月為直角，即【解析】c=ma+b=(m+4,2m+2),由題意知|a|?|c|—|b|?|c/(1,2)?(m+4(1,2)?(m+4,2m+2) (4,2)?(m+4,2m+2)1212+22\；42+22即5m+8=8m+20

2解得m=2.1 2 什k.土AD="AB,BE=_BC.右DE=AAB2 3 14.（2013?江蘇卷）設(shè)D,E分別是^ABC的邊AB,BC上的點(diǎn)，+入2AC（人「入2為實(shí)數(shù)），則人1+a2的值為【答案】1乙【解析】如圖所示，DE=BE-BD=3Bc-jBA=f（AC-AB）+|AB=（|-f}ab+|Ac,又施=入誦+入AC,且誦與AC不共線，12TOC\o"1-5"\h\z12 2所以入=---,入=-,123 23即入+入=4.225.（2013?陜西卷）設(shè)a,b為向量，則“|a?b|=|a||b|"是‘匕〃匕’的（ ）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由已知中Q匕尸團(tuán)也可得,。與匕同向或反向,所以。外一又因?yàn)橛伞癶可得|cos<4匕>1=1；故依創(chuàng)=同也|85<4b>|=悶-|此故依匕尸團(tuán)-罔是的充分必要條件.A-B（2013?四川卷）在4ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2cos2工一cosB23-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-1.5（1）求cosA的值；⑵若a=42,b=5,求向量BA在前方向上的投影.A-B 3【解析】⑴由2cos2—cosB-sin(A-B)sinB+c0s&+0=-5得3[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-7,5-10-

即cos(A—B)cosB—sin(A—B)sinB=T,533則c0s(A—B+B)=—5，即cosA=—5.一 3 ，一4(2)由cosA=—T,0<A<n,得sinA=:.55由正弦定理，有sinAsinB，由正弦定理，有sinAsinB，bsinA\''2所以sinB=a=2.rA.0,

krA.0,

kc1手【答案】D-11-由題意知a>b,則A>B,故B=?根據(jù)余弦定理，有（4\/2）2=52+c2—2X5cX（一|］,解得c=1或c=—7（舍去）,一一 一④故向量BA在BC方向上的投影為|BA|cosB=看.乙（2013?四川卷）在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O,誦+后=入AO,則人【答案】2【解析】根據(jù)向量運(yùn)算法則，誦+而=AC=2AO,故人=2.(2013?重慶卷)在平面上，Ab±Ab,|ob|=|Ob|=1,Ap=Ab+而.若|而|<1,則|OA12 12 1 2 2|的取值范圍是（）r亞亞］I2，2」D.［力，也【解析】根據(jù)條件知A,Bi,P,比構(gòu)成一個(gè)矩形ABiP氏，以ABi,g所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè)|ABi|=a"AB2|=b,點(diǎn)。的坐標(biāo)為My）,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a,也由演歸|磁|=1得［I：一：］：：：：；3+Iybj1m廣乂-a）一%L（y-b）口一爐一又由|的＜看得（x—ay+（y—bF＜*則1一#+1—產(chǎn)。即爐+資＞如一又&一@）2+丫2=1,得x2+y2+a2=1+2axW1+a2+x2,貝Uy2＜1；同理由X2+(y—b)2=1,得X2W1,即有X2+y2W2②.由①②知J<X2+y2W2,所以乎<\'X2+y2<-J2.4 2W|QA|='■--.,：'x2+y2,所以S<|OA|W'''2，故選D.2押題專練1,已知下列各式：①融+近+CA；②通+誦+BO+?；③0A+施+前+CO；?Ab-ac+bD-cd.其中結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4解析由題知結(jié)果為零向量的是①④，故選B.答案B.設(shè)a是非零向量，*是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A.a與卜a的方向相反B.a與42a的方向相同C.|一Aa|三|a| D.|一Aa|三|A|ea解析對于％當(dāng)丸＞0時(shí)，0與五的方向相同，當(dāng)丸＜0時(shí)，0與加的方向相反sB正確」對于C"-山|=\~^\\a\?由于|一川的大小不確定，故|一五|與同的大小關(guān)系不確定5對于D,MW是向量，而|一洞表示長度，兩者不能比鼓大小一答案B.如圖，在正六邊形ABCDEF中，BA+CD+EF=（ ）-12-

A.0B.BEA.0B.BEC.AD d.cf解析由題圖知BA+BD+EF=BA+AF+CB=CB+BF=BF.解析答案d.設(shè)a0為單位向量，下述命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a=|a|a0；②若a與a°平行，則a=|a|a°；③若a與a°平行且|a|=1,則a=a°.假命題的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3解析向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a。平行，則a與a°的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a=—|a|a°,故②③也是假命題.綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.答案D.設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則施十TOC\o"1-5"\h\zOB+OC+OD等于（ ）A.OBM B.2BOM C.3BOMD.4BOM解析OA+Ob+OC+OD=(OA+oC)+(Ob+OD)=2oM+2oM=4OM.故選d.答案D.在4ABC中，AB=c,AC=b，若點(diǎn)D滿足前=2流，則AD等于( )A.|b+jc B.|c—2b33 332,1 12C.|b—|c D.|b+|c「,3叁=疵+苑/.in=14C+jc.答案A7.設(shè)a,b不共線，AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a—2b,若A,B,D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的-13-

值為()A.-2B.-1 C.1 D.2解析VBC=a+b,CD=a-2b,.\BD=BC+CD=2a-b,又,：A,B,D三點(diǎn)共線，???AB,BD共線.設(shè)AB=ABD,A2a+pb=A(2a-b),**?2=2A,p=—A,AA=1,p=—1.答案B.如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點(diǎn)CD是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，AB=a,AC=b，則AD=()=()A.a-|b B.1a-b乙 乙C.a+2b D.產(chǎn)+b解析連接CD,由點(diǎn)C,D是半圓弧的三等分點(diǎn)，得CD#AB且說:^砧二昌,乙 乙所以前=釐+說=6+13.乙答案D.設(shè)e1與e2是兩個(gè)不共線向量，AB=3e1+2e2,CB=k\+e2,4）=3?]-2kg,若A,B,D三點(diǎn)共線，則k的值為（）B.-9B.-a.-43c.-83c.-8D.不存在-14-解析由題意,乂，D三點(diǎn)共線,故必存在一個(gè)實(shí)數(shù)3使得病二湎.所以動二亦一畫二3幻一 —{Abi+&)=(3-i>-(2i+1把2n所以3&+如=嵐3-?佻一"24