數(shù)學人教A版選修4-4學案第一講坐標系三第1課時

/10/10/第1課時圓的極坐標方程學習目標1.了解極坐標方程的意義.2.掌握圓的極坐標方程.3.能根據(jù)極坐標方程研究曲線的有關性質(zhì)．知識點一曲線的極坐標方程(1)在極坐標系中，如果曲線C上任意一點的極坐標中至少有一個滿足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐標適合方程f(ρ，θ)＝0的點都在曲線C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲線C的極坐標方程．(2)建立曲線的極坐標方程的方法步驟①建立適當?shù)臉O坐標系，設P(ρ，θ)是曲線上任意一點；②列出曲線上任意一點的極徑與極角之間的關系式；③將列出的關系式整理、化簡；④證明所得方程就是曲線的極坐標方程．知識點二圓的極坐標方程思考1在極坐標系中，點M(ρ，θ)的軌跡方程中一定含有ρ或θ嗎？答案不一定．思考2圓心在極點，半徑為2的圓的極坐標方程是什么？答案ρ＝2.梳理圓的極坐標方程圓心位置極坐標方程圖形圓心在極點(0,0)ρ＝r(0≤θ<2π)圓心在點(r,0)ρ＝2rcos_θ圓心在點(r，eq\f(π,2))ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π)圓心在點(r，π)ρ＝－2rcos_θ(eq\f(π,2)≤θ<eq\f(3π,2))圓心在點(r，eq\f(3π,2))ρ＝－2rsin_θ(－π<θ≤0)類型一求圓的極坐標方程例1求圓心在(ρ0，θ0)，半徑為r的圓的方程．解在圓周上任取一點P(如圖)，設其極坐標為(ρ，θ)，由余弦定理知，CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP，故其極坐標方程為r2＝ρeq\o\al(2,0)＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．引申探究若圓心在(3,0)，半徑r＝2，求圓的極坐標方程．解設P(ρ，θ)為圓上任意一點，則|CP|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP|·|OC|·cos∠COP，∴22＝ρ2＋9－6ρcosθ，即ρ2＝6ρcosθ－5.反思與感悟求圓的極坐標方程的步驟(1)設圓上任意一點的極坐標為M(ρ，θ)．(2)在極點、圓心與M構(gòu)成的三角形中運用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ，θ)＝0并化簡．(3)驗證極點、圓心與M三點共線時，點M(ρ，θ)的極坐標也適合上述極坐標方程．跟蹤訓練1求圓心在C(2，eq\f(3π,2))處并且過極點的圓的極坐標方程，并判斷點(－2，sineq\f(5π,6))是否在這個圓上．解如圖，由題意知，圓經(jīng)過極點O，OA為其一條直徑，設M(ρ，θ)為圓上除點O，A以外的任意一點，則|OA|＝2r，連接AM，則OM⊥MA.在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|cos∠AOM，即ρ＝2rcos(eq\f(3π,2)－θ)，∴ρ＝－4sinθ，經(jīng)驗證，點O(0,0)，A(4，eq\f(3π,2))的坐標滿足上式．∴滿足條件的圓的極坐標方程為ρ＝－4sinθ.∵sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，∴ρ＝－4sinθ＝－4sineq\f(5π,6)＝－2，∴點(－2，sineq\f(5π,6))在此圓上．類型二極坐標方程與直角坐標方程的互化例2把下列直角坐標方程化為極坐標方程．(1)x2＋y2＝1；(2)x2＋y2－4x＋4＝0；(3)x2＋y2－2x－2y－2＝0.解把eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入方程化簡，(1)∵(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2＝1，∴ρ2＝1，即ρ＝1.(2)∵(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－4ρcosθ＋4＝0，∴ρ2－4ρcosθ＋4＝0.(3)∵(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－2ρcosθ－2ρsinθ－2＝0.∴ρ2－2ρ(cosθ＋sinθ)－2＝0，∴ρ2－2eq\r(2)ρsin(θ＋eq\f(π,4))－2＝0.反思與感悟在進行兩種坐標方程間的互化時，要注意(1)互化公式是有三個前提條件的，即極點與直角坐標系的原點重合、極軸與直角坐標系的橫軸的正半軸重合，兩種坐標系的單位長度相同．(2)由直角坐標求極坐標時，理論上不是惟一的，但這里約定只在0≤θ<2π范圍內(nèi)求值．跟蹤訓練2把下列直角坐標方程化為極坐標方程．(1)y2＝4x；(2)x2＋y2－2x－1＝0.解(1)將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ，化簡，得ρsin2θ＝4cosθ.(2)將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2－2x－1＝0，得(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－2ρcosθ－1＝0，化簡，得ρ2－2ρcosθ－1＝0.例3把下列極坐標方程化為直角坐標方程．(1)ρ2cos2θ＝1；(2)ρ＝2cos(θ－eq\f(π,4))；(3)ρcos(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)；(4)ρ＝eq\f(1,2－cosθ).解(1)∵ρ2cos2θ＝1，∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，∴化為直角坐標方程為x2－y2＝1.(2)∵ρ＝2cosθcoseq\f(π,4)＋2sinθsineq\f(π,4)＝eq\r(2)cosθ＋eq\r(2)sinθ，∴ρ2＝eq\r(2)ρcosθ＋eq\r(2)ρsinθ，∴化為直角坐標方程為x2＋y2－eq\r(2)x－eq\r(2)y＝0.(3)∵ρcos(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)，∴ρ(cosθ·coseq\f(π,4)－sinθ·sineq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)，∴ρcosθ－ρsinθ－1＝0.又ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)，∴x－y－1＝0.(4)∵ρ＝eq\f(1,2－cosθ)，∴2ρ－ρcosθ＝1，∴2eq\r(x2＋y2)－x＝1.化簡，得3x2＋4y2－2x－1＝0.反思與感悟由極坐標方程化為直角坐標方程時要注意變形的等價性，通?？傄忙讶コ朔匠痰膬啥?，應該檢查極點是否在曲線上，若在，是等價變形，否則，不是等價變形．跟蹤訓練3把下列直角坐標方程與極坐標方程進行互化．(1)x2＋y2－2x＝0；(2)ρ＝cosθ－2sinθ；(3)ρ2＝cos2θ.解(1)∵x2＋y2－2x＝0，∴ρ2－2ρcosθ＝0.∴ρ＝2cosθ.(2)∵ρ＝cosθ－2sinθ，∴ρ2＝ρcosθ－2ρsinθ.∴x2＋y2＝x－2y，即x2＋y2－x＋2y＝0.(3)∵ρ2＝cos2θ，∴ρ4＝ρ2cos2θ＝(ρcosθ)2.∴(x2＋y2)2＝x2，即x2＋y2＝x或x2＋y2＝－x.類型三直角坐標與極坐標方程互化的應用例4若曲線C的極坐標方程為ρ＝2sinθ＋4cosθ，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系．(1)求曲線C的直角坐標方程；(2)若曲線ρsin(θ－eq\f(π,4))＝0與曲線C相交于A、B，求|AB|的值．解(1)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))∴ρ2＝x2＋y2，由ρ＝2sinθ＋4cosθ，得ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5.(2)由ρsin(θ－eq\f(π,4))＝0，得ρ(eq\f(\r(2),2)sinθ－eq\f(\r(2),2)cosθ)＝0，即ρsinθ－ρcosθ＝0，∴x－y＝0.由于圓(x－2)2＋(y－1)2＝5的半徑為r＝eq\r(5)，圓心(2,1)到直線x－y＝0的距離為d＝eq\f(|2－1|,\r(2))＝eq\f(1,\r(2))，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝3eq\r(2).反思與感悟在研究曲線的性質(zhì)時，如交點、距離等，如果用極坐標不方便，可以轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，反之，可以轉(zhuǎn)化為極坐標方程．跟蹤訓練4在極坐標系中，曲線C1和C2的方程分別為ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，則曲線C1和C2交點的直角坐標為________．答案(1,1)1．極坐標方程分別為ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的兩個圓的圓心距是()A．3B.eq\r(2)C．1D.eq\f(\r(2),2)答案D2．將極坐標方程ρ2cosθ－ρ＝0化為直角坐標方程為()A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1答案B3．在極坐標系中，圓ρ＝2sinθ的圓心的極坐標是()A．(1，π)B．(2，eq\f(π,2))C．(1，eq\f(π,2))D．(1,0)答案C解析由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，化為直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1，圓心坐標為(0,1)，化為極坐標為(1，eq\f(π,2))．4．4ρsin2eq\f(θ,2)＝5表示的曲線是()A．圓 B．橢圓C．雙曲線的一支 D．拋物線答案D解析4ρsin2eq\f(θ,2)＝5?4ρeq\f(1－cosθ,2)＝5?2ρ＝2ρcosθ＋5.∵ρ＝eq\r(x2＋y2)，ρcosθ＝x，代入上式得2eq\r(x2＋y2)＝2x＋5，兩邊平方并整理，得y2＝5x＋eq\f(25,4)，∴它表示的曲線為拋物線．5．在極坐標系中，已知圓C的圓心為C(2，eq\f(π,6))，半徑為1，求圓C的極坐標方程．解在圓C上任取一點P(ρ，θ)，在△POC中，由余弦定理可得CP2＝OC2＋OP2－2OC·OP·cos∠POC，即1＝4＋ρ2－2×2×ρcos(θ－eq\f(π,6))，化簡可得ρ2－4ρcos(θ－eq\f(π,6))＋3＝0.當O，P，C共線時，此方程也成立，故圓C的極坐標方程為ρ2－4ρcos(θ－eq\f(π,6))＋3＝0.1．曲線的極坐標方程與直角坐標方程的區(qū)別由于平面上點的極坐標的表示形式不惟一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一點的坐標，這與點的直角坐標的惟一性明顯不同．所以對于曲線上的點的極坐標的多種表示形式，只要求至少有一個能滿足極坐標方程即可．例如對于極坐標方程ρ＝θ，點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,4)))可以表示為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,4)＋2π))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,4)－2π))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(5π,4)))等多種形式，其中，只有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,4)))的極坐標滿足方程ρ＝θ.2．求曲線的極坐標方程，就是在曲線上任找一點M(ρ，θ)，探求ρ，θ的關系，經(jīng)常需利用三角形知識和正弦、余弦定理來求解．課時作業(yè)一、選擇題1．在極坐標系中，方程ρ＝6cosθ表示的曲線是()A．以點(－3,0)為圓心，3為半徑的圓B．以點(3，π)為圓心，3為半徑的圓C．以點(3,0)為圓心，3為半徑的圓D．以點(3，eq\f(π,2))為圓心，3為半徑的圓答案C2．以極坐標系中的點(1,1)為圓心，1為半徑的圓的方程是()A．ρ＝2cos(θ－eq\f(π,4)) B．ρ＝2sin(θ－eq\f(π,4))C．ρ＝2cos(θ－1) D．ρ＝2sin(θ－1)答案C3．極坐標方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲線為()A．一條射線和一個圓 B．兩條直線C．一條直線和一個圓 D．一個圓答案C4．極坐標系內(nèi)，點(1，eq\f(π,2))到直線ρcosθ＝2的距離是()A．1B．2C．3D．4答案B5．下列點不在曲線ρ＝cosθ上的是()A．(eq\f(1,2)，eq\f(π,3)) B．(－eq\f(1,2)，eq\f(2π,3))C．(eq\f(1,2)，－eq\f(π,3)) D．(eq\f(1,2)，－eq\f(2π,3))答案D二、填空題6．把圓的直角坐標方程x2＋(y－2)2＝4化為極坐標方程為________．答案ρ＝4sinθ解析將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ.7．曲線C的極坐標方程為ρ＝3sinθ，則曲線C的直角坐標方程為________．答案x2＋y2－3y＝0解析由ρ＝3sinθ，得ρ2＝3ρsinθ，故x2＋y2＝3y，即所求方程為x2＋y2－3y＝0.8．在極坐標系中，若過點A(3,0)且與極軸垂直的直線交曲線ρ＝4cosθ于A、B兩點，則|AB|＝________.答案2eq\r(3)解析由題意知，直線方程為x＝3，曲線方程為(x－2)2＋y2＝4，將x＝3代入圓的方程，得y＝±eq\r(3)，則|AB|＝2eq\r(3).9．在極坐標系中，曲線C1：ρ(eq\r(2)cosθ＋sinθ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a>0)的一個交點在極軸上，則a＝________.答案eq\f(\r(2),2)解析曲線C1的直角坐標方程為eq\r(2)x＋y＝1，曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2＝a2，C1與x軸的交點坐標為(eq\f(\r(2),2)，0)，此點也在曲線C2上，代入解得a＝eq\f(\r(2),2).三、解答題10．從極點O引定圓ρ＝2cosθ的弦OP，延長OP到Q使eq\f(OP,PQ)＝eq\f(2,3)，求點Q的軌跡方程，并說明所求軌跡是什么圖形？解設Q(ρ，θ)，P(ρ0，θ0)，則θ＝θ0，eq\f(ρ0,ρ－ρ0)＝eq\f(2,3)，∴ρ0＝eq\f(2,5)ρ.∵ρ0＝2cosθ0，∴eq\f(2,5)ρ＝2cosθ，即ρ＝5cosθ，它表示一個圓．11．若圓C的方程是ρ＝2asinθ，求：(1)關于極軸對稱的圓的極坐標方程；(2)關于直線θ＝eq\f(3π,4)對稱的圓的極坐標方程．解設所求圓上任意一點M的極坐標為(ρ，θ)．(1)點M(ρ，θ)關于極軸對稱的點為(ρ，－θ)，代入圓C的方程ρ＝2asinθ，得ρ＝2asin(－θ)，即ρ＝－2asinθ為所求．(2)點M(ρ，θ)關于直線θ＝eq\f(3π,4)對稱的點為(ρ，eq\f(3π,2)－θ)，代入圓C的方程ρ＝2asinθ，得ρ＝2asin(eq\f(3π,2)－θ)，即ρ＝－2acosθ為所求．12．把下列極坐標方程化為直角坐標方程．(1)ρ＝4cosθ＋2sinθ；(2)ρ2＝eq\f(20,4cos2θ＋5sin2θ).解(1)方程ρ＝4cosθ＋2sinθ兩邊同時乘以ρ，并把ρ＝eq\r(x2＋y2)，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)代入，化簡可得(x－2)2＋(y－1)2＝5.(2)ρ2＝eq\f(20,4cos2θ＋5sin2θ)可化為4(ρcosθ)2＋5(ρsinθ)2＝20，把ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)代入，化簡可得eq\f(x2