新教材高中數(shù)學(xué)第七章復(fù)數(shù).數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念課件2新人教A版必修第二冊

第七章復(fù)數(shù)7.1復(fù)數(shù)的概念7.1.1數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念

【情境探究】1.回憶一元二次方程的解,明確實數(shù)的概念與分類:(1)方程x2-2x-3=0的正整數(shù)解是__,有理數(shù)解是_____,實數(shù)解是_____.(2)方程x2-2x-1=0的無理數(shù)解是,實數(shù)解是.必備知識生成33,-13,-12.(1)方程x2=-1在實數(shù)集中是否有解提示:因為實數(shù)的平方都是非負數(shù),所以方程x2=-1在實數(shù)集中無解.(2)為了解決此類方程無實數(shù)解的問題,我們引入新數(shù)i,定義i·i=i2=-1,將實數(shù)集加以擴充,得到一個新的數(shù)集,那么此方程在這個數(shù)集中就有一個解為__.i3.(1)復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)何時表示零提示:當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時表示零.(2)實數(shù)集R與復(fù)數(shù)集C有什么關(guān)系提示:用文字語言描述:實數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集,即RC.用圖形語言描述:【知識生成】1.數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的概念:(1)復(fù)數(shù)的定義形如_____________的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中i叫做_________,滿足i2=___,全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做_______.(2)復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)通常用字母z表示,即z=_____________,a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的_____與_____.(3)復(fù)數(shù)相等設(shè)a,b,c,d都是實數(shù),那么a+bi=c+di?_________.a+bi(a,b∈R)虛數(shù)單位-1復(fù)數(shù)集a+bi(a,b∈R)實部虛部a=c且b=d2.復(fù)數(shù)的分類與數(shù)系表關(guān)鍵能力探究探究點一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念與表示【典例1】1.給出以下三個命題:①假設(shè)z∈C,那么z2≥0;②2i-1虛部是2i;③2i的實部是0.其中真命題的個數(shù)為 ()A.0B.1C.2D.32.復(fù)數(shù)z=a2-(2-b)i的實部和虛局部別是2和3,那么實數(shù)a,b的值分別是________、________.

3.判斷以下命題的真假.①假設(shè)實數(shù)a與ai對應(yīng),那么實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應(yīng);②實數(shù)集的補集是虛數(shù)集.【思維導(dǎo)引】利用復(fù)數(shù)的概念判斷.【解析】1.選B.對于①,當(dāng)z∈R時,z2≥0成立,否那么不成立,如z=i,z2=-1<0,所以①為假命題;對于②,2i-1=-1+2i,其虛部為2,不是2i,所以②為假命題;對于③,2i=0+2i,其實部是0,所以③為真命題.2.由題意得:a2=2,-(2-b)=3,所以a=±,b=5.答案:±

53.①當(dāng)a=0時,ai=0為實數(shù),故①為假命題.②由復(fù)數(shù)集的分類知,②正確,是真命題.【類題通法】判斷與復(fù)數(shù)有關(guān)的命題是否正確的策略(1)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:假設(shè)z=a+bi,只有當(dāng)a,b∈R時,a才是z的實部,b才是z的虛部,且注意虛部不是bi,而是b.(2)不要將復(fù)數(shù)與虛數(shù)的概念混淆,實數(shù)也是復(fù)數(shù),實數(shù)和虛數(shù)是復(fù)數(shù)的兩大構(gòu)成局部.(3)舉反例:判斷一個命題為假命題,只要舉一個反例即可,所以解答這類題時,可按照“先特殊,后一般,先否認,后肯定〞的方法進行解答.【定向訓(xùn)練】1.純虛數(shù)z=(a-1)+(a-b)i,那么實數(shù)a,b滿足的條件是 ()A.a=1,b=1 B.a≠1,b=1C.a≠1,b≠1 D.a=1,b≠1【解析】選D.因為純虛數(shù)z=(a-1)+(a-b)i,那么a-1=0,且a-b≠0,所以a=1,b≠1.2.復(fù)數(shù)z=(a-1)-(2-b)i的實部和虛局部別是2和1,那么實數(shù)a,b的值分別是________.

【解析】由題意得:a-1=2,-(2-b)=1,所以a=3,b=3.答案:3,3探究點二復(fù)數(shù)的分類【典例2】1.x∈R,復(fù)數(shù)z=(x2-1)+(x+1)i為純虛數(shù),那么z=________.

2.m∈R,復(fù)數(shù)z=+(m2+2m-3)i,當(dāng)m為何值時,z分別滿足以下條件(1)z∈R;(2)z是虛數(shù);(3)z是純虛數(shù).【思維導(dǎo)引】z=a+bi?

【解析】1.由于復(fù)數(shù)z=(x2-1)+(x+1)i為純虛數(shù),那么實數(shù)x滿足解得x=1,所以z=2i.答案:2i2.復(fù)數(shù)z=+(m2+2m-3)i,m∈R.(1)由z∈R,得解得m=-3.(2)由z是虛數(shù),得m2+2m-3≠0且m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.(3)由z是純虛數(shù),得解得m=0或m=-2.【類題通法】1.解決復(fù)數(shù)分類問題的方法與步驟(1)化標(biāo)準(zhǔn)式:解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a+bi(a,b∈R)的形式,以確定實部和虛部.(2)定條件:復(fù)數(shù)的分類問題可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題,列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.(3)下結(jié)論:設(shè)所給復(fù)數(shù)為z=a+bi(a,b∈R),①z為實數(shù)?b=0;②z為虛數(shù)?b≠0;③z為純虛數(shù)?a=0且b≠0.2.復(fù)數(shù)分類的應(yīng)用(1)參數(shù)自身:判斷一個含有參數(shù)的復(fù)數(shù)在什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù),首先要保證參數(shù)值使表達式有意義,其次對參數(shù)值的取舍,是取“并〞還是“交〞,非常關(guān)鍵,解答后進行驗證是很必要的.(2)整體與局部:對于復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),既要從整體的角度去認識它,把復(fù)數(shù)z看成一個整體,又要從實部與虛部的角度分解成兩局部去認識它.這是解復(fù)數(shù)問題的重要思路之一.【定向訓(xùn)練】1.假設(shè)復(fù)數(shù)z=(m+1)+(m2-9)i<0,那么實數(shù)m的值等于________.

【解析】因為z<0,所以所以m=-3.答案:-32.復(fù)數(shù)z=m(m-1)+(m2+2m-3)i,當(dāng)實數(shù)m取什么值時,復(fù)數(shù)z是(1)零;(2)純虛數(shù).【解析】(1)因為z是零,所以解得m=1.(2)因為z是純虛數(shù),所以解得m=0.綜上,當(dāng)m=1時,z是零;當(dāng)m=0時,z是純虛數(shù).【補償訓(xùn)練】以下復(fù)數(shù)中,實數(shù)為________,虛數(shù)為________,純虛數(shù)為________.

(將序號填在相應(yīng)的橫線上)①1+2i; ②1-2i2; ③-3i; ④2i-3;⑤1+0i; ⑥cosπ+isinπ.【解析】1+2i,-3i,2i-3是虛數(shù);-3i是純虛數(shù);1-2i2=3,1+0i=1,cosπ+isinπ=-1,都是實數(shù).答案:②⑤⑥①③④③探究點三復(fù)數(shù)相等及其應(yīng)用【典例3】1.復(fù)數(shù)z1=a+2i,z2=2(1+bi),假設(shè)z1=z2,那么實數(shù)a,b的值分別為 ()A.a=1,b=1 B.a=1,b=2C.a=2,b=1 D.a=2,b=22.關(guān)于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有實數(shù)根,求實數(shù)m的值及方程的實數(shù)根.【思維導(dǎo)引】1.根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件:實部與虛局部別相等求a,b的值.2.設(shè)出方程的實數(shù)解,代入原式整理為a+bi=0(a,b∈R)的形式解決.【解析】1.選C.因為復(fù)數(shù)z1=a+2i,z2=2+2bi,且z1=z2,那么實數(shù)a=2,2b=2,即a=2,b=1.2.設(shè)a是原方程的實數(shù)根,那么a2+(1-2i)a+(3m-i)=0,即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i,所以a2+a+3m=0且2a+1=0,所以且所以所以,方程的實數(shù)根為【類題通法】復(fù)數(shù)相等問題的解題技巧(1)必須是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實部與實部相等,虛部與虛部相等列方程組求參數(shù)的解.(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件,將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題,為應(yīng)用方程思想提供了條件,同時這也是復(fù)數(shù)問題實數(shù)化思想的表達.(3)如果兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù),可以比較大小,否那么兩個虛數(shù)不能比較大小.【定向訓(xùn)練】M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},假設(shè)M∪P=P,那么實數(shù)m的值為_____.

【解析】因為M∪P=P,所以M?P.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解之得m=1.或由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得解之得m=2.綜上可知m=1或m=2.答案:1或2【補償訓(xùn)練】求適合等式(2x-1)+i=y+(y-3)i的x,y的值.其中x∈R,y∈R.【解析】由復(fù)數(shù)相等的充要條件可知解得

數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念核心知識方法總結(jié)核心素養(yǎng)易錯提醒1.數(shù)系的擴充.2.復(fù)數(shù)有關(guān)的概念(1)判斷復(fù)數(shù)是實數(shù)、虛數(shù)或者純虛數(shù)：①保證復(fù)數(shù)的實部、虛部均有意義．②根據(jù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，列出實部、虛部應(yīng)滿足的關(guān)系式再求解．(2)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)的步驟：分別確定兩個復(fù)數(shù)的實部與虛部，利用實部與實部、虛部與虛局部別相等，列方程組求解．(1)兩個復(fù)數(shù)不全是實數(shù)，就不能比較大?。?2)一個數(shù)的平方非負在實數(shù)范圍內(nèi)是真命題，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)是假命題.(3)對于復(fù)數(shù)實部、虛部確實定不但要把復(fù)數(shù)化為a＋bi的形式，更要注意這里a，b均為實數(shù)時，才能確定復(fù)數(shù)的實、虛部．1.數(shù)學(xué)抽象：復(fù)數(shù)及相關(guān)概念.2.邏輯推理：復(fù)數(shù)的分類.3.數(shù)學(xué)運算：復(fù)數(shù)相等求參數(shù).1、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.2、復(fù)數(shù)的實部、虛部.3、虛數(shù)、純虛數(shù).4、復(fù)數(shù)相等.課堂素養(yǎng)達標(biāo)1.復(fù)數(shù)z=(m2+m)+mi(m∈R,i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù),那么實數(shù)m的值為()A.0或-1B.0C.1D.-1【解析】選D.因為z為純虛數(shù),所以所以m=-1.2.以下命題中,正確命題的個數(shù)是 ()①假設(shè)x,y∈C,那么x+yi=1+i的充要條件是x=y=1;②假設(shè)a,b∈R且a>b,那么a+i>b+i;③假設(shè)x2+y2=0,那么x=y=0.A.0B.1C.2D.3【解析】選A.①由于x,y∈C,所以x+yi不一定是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,不符合復(fù)數(shù)相等的充要條件,①是假命題.②由于兩個虛數(shù)不能比較大小,所以②是假命題.