華科統(tǒng)計學雙學位課件ch抽樣與抽樣分布

Ch5抽樣與抽樣分布統(tǒng)計學原理§5.1隨機抽樣(new)§5.2隨機變量的分布(new)§5.3抽樣分布(new)§5.4抽樣方法與抽樣誤差(new)當前1頁，總共109頁。主要介紹：隨機抽樣，隨機變量的分布，抽樣分布，抽樣方法與抽樣誤差。Ch5主要內(nèi)容Ch5抽樣與抽樣分布§5.1隨機抽樣(new)§5.2隨機變量的分布(new)§5.3抽樣分布(new)§5.4抽樣方法與抽樣誤差(new)當前2頁，總共109頁。Ch5學習目的1，掌握隨機抽樣及其性質2，掌握抽樣方法與抽樣誤差的關系Ch5抽樣與抽樣分布§5.1隨機抽樣(new)§5.2隨機變量的分布(new)§5.3抽樣分布(new)§5.4抽樣方法與抽樣誤差(new)當前3頁，總共109頁。Ch5抽樣與抽樣分布統(tǒng)計學原理§5.1隨機抽樣(new)§5.2隨機變量的分布(new)§5.3抽樣分布(new)§5.4抽樣方法與抽樣誤差(new)當前4頁，總共109頁。§5.1隨機抽樣§5.1.1現(xiàn)象的隨機化§5.1.2樣本空間、事件、概率、分布函數(shù)§5.1.3隨機抽樣§5.1.4樣本統(tǒng)計量Ch5抽樣與抽樣分布§5.1隨機抽樣(new)§5.2隨機變量的分布(new)§5.3抽樣分布(new)§5.4抽樣方法與抽樣誤差(new)返回當前5頁，總共109頁?！鲈谇懊娴膸渍吕?，我們用統(tǒng)計整理和統(tǒng)計描述的方法，研究了現(xiàn)象總體的數(shù)量特征和數(shù)量關系，比如計算總體平均數(shù)、總體的標準差、總體的方差和總體的分布，通過對這些指標的計算，我們得到了研究現(xiàn)象的規(guī)律性認識。■我們亦可以用同樣的方法，去研究樣本的平均數(shù)、樣本的標準差、樣本的方差和樣本分布，并且還可以利用樣本的平均數(shù)、樣本的標準差、樣本的方差和樣本分布，去反推總體的數(shù)量特征和數(shù)量關系，從而得到現(xiàn)象總體規(guī)律性的認識。■用樣本的資料去估計總體的方法，就是抽樣估計?！?.1.1現(xiàn)象的隨機化Ch5抽樣與抽樣分布§5.1隨機抽樣(new)當前6頁，總共109頁?！鎏剿骺陀^規(guī)律的過程§5.1.1現(xiàn)象的隨機化Ch5抽樣與抽樣分布§5.1隨機抽樣(new)隨機理論總體內(nèi)在的數(shù)量規(guī)律性，F(xiàn)(x；)統(tǒng)計整理和統(tǒng)計描述總體數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)圖5－1探索客觀規(guī)律的統(tǒng)計過程抽樣估計和統(tǒng)計推斷反映客觀現(xiàn)象的統(tǒng)計數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)當前7頁，總共109頁?！龀闃庸烙嬍且环N比較經(jīng)濟的估計方法。它的特點是利用隨機抽樣的理論，用比較少的數(shù)據(jù)及比較小的誤差去達到處理大量數(shù)據(jù)的目標，從而得到現(xiàn)象總體規(guī)律性的認識。它是一種數(shù)據(jù)處理的優(yōu)化方法■為保證抽樣理論的完整性和科學性，從這一節(jié)開始，我們將對所研究的現(xiàn)象進行隨機化處理，即用概率的理論去研究現(xiàn)象的規(guī)律性?！?.1.1現(xiàn)象的隨機化Ch5抽樣與抽樣分布§5.1隨機抽樣(new)當前8頁，總共109頁。■抽樣估計的過程可靠性總體分布函數(shù)F(x；)樣本數(shù)據(jù)X樣本統(tǒng)計量樣本分布函數(shù)F(X；)隨機樣本可靠性總體參數(shù)樣本參數(shù)抽樣分布F(

)E(X)=E(x)=D(x)=2D(X)=S2D(

)E(

)=|－|當前9頁，總共109頁。數(shù)理統(tǒng)計概率統(tǒng)計數(shù)學表示客觀現(xiàn)象試驗抽樣試驗試驗的結果、樣本組成單位、個體基本事件、樣本點、元素i；i=1,2,3,…,N。樣本的所有可能結果、樣本空間S、總體基本事件全集S={

i；i=1,2,3,…,N。}。頻率、事件A在S中出現(xiàn)的頻率、fn(A)=n/N概率、事件A在S中出現(xiàn)的可能性Pro(A|S)=Pro{A()|S}數(shù)據(jù)X變量XX事件A量化為數(shù)據(jù)X、樣本數(shù)據(jù)X(A)隨機變量X(A)X(A)←A={

i；i=1,2,3,…,n。nN}事件S量化為數(shù)據(jù)X、總體數(shù)據(jù)X(S)隨機變量X(S)X(S)←S={

i；i=1,2,3,…,N。}基本事件

i量化為數(shù)據(jù)Xii

→Xi()如果i=1,2,3,…,n。則Xi()表示樣本數(shù)據(jù)，X={Xi()；i=1,2,3,..,n}；如果i=1,2,3,..,N。則Xi()表示總體數(shù)據(jù)，x={Xi()；i=1,2,3,..,N}。X,x

R統(tǒng)計分布概率分布總體F(x；)；樣本F(X；)特征指標分布參數(shù)總體特征指標總體分布參數(shù)樣本特征指標樣本統(tǒng)計量、分布參數(shù)變量(X)

表5-1現(xiàn)象隨機化一攬表返回當前10頁，總共109頁?！?.1.2樣本空間、事件、概率、分布函數(shù)Ch5抽樣與抽樣分布§5.1隨機抽樣(new)隨機現(xiàn)象X在個別試驗中其結果呈現(xiàn)不確定性；在大量的重復試驗中其結果又具有規(guī)律性的現(xiàn)象，我們稱為隨機現(xiàn)象。比如我們感興趣的現(xiàn)象總體，如果具有上述特征，那么這個現(xiàn)象總體就是一個隨機現(xiàn)象。通常，我們所研究的總體都是隨機現(xiàn)象。隨機現(xiàn)象總體表現(xiàn)記為X。隨機事件(試驗)(X)VU在某種隨機現(xiàn)象里，在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，就是隨機事件。比如，在總體中的某個樣本，在一定條件下，可能被抽取出來，也可能沒有抽取出來，那么這個樣本{Xi}是否能夠出現(xiàn)，就是一個隨機事件。隨機事件一個偶然事件，通常用(X)表示。反之，在同樣條件下不可能出現(xiàn)的事件，叫不可能事件；不可能事件用V表示。在同樣條件下一定出現(xiàn)的事件，叫必然事件；必然事件用U表示。在概率統(tǒng)計里，U和V本身也是一個隨機事件。VU。當前11頁，總共109頁。樣本空間S={X()}

S

隨機事件的所有可能結果所組成的集合，稱為樣本空間。樣本空間記為S，S={}或S={X()}或者S={Xi；i=1,2,3,..,N}。樣本空間的每個結果，稱為樣本點。對于樣本空間S，滿足給定性質的樣本點集合A，就是事件A。事件A是樣本空間的一個樣本。樣本A由若干個樣本點組成。顯然，樣本空間S是一個必然事件，S=U；空集是一個不可能事件，=V。于是，也有

S。當然，

A

S。樣本空間，是隨機事件的變化范圍。隨機變量(X)X()在抽樣過程中，每次抽取出來的樣本結果都是不可預知的。因此，常常把樣本叫做隨機樣本；這個樣本的特征表現(xiàn)，就叫一個隨機變量。比如我們抽取的樣本數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)結果就是一個隨機變量。隨機變量是隨機事件數(shù)量化的結果，常常用X()表示。如果建立事件與數(shù)量序數(shù)i的對應關系，則隨機變量又可用Xi表示。在大多數(shù)情況下，隨機事件和隨機變量是等同使用的。當前12頁，總共109頁。概率

SU0Pro{|S}1在相同條件S下隨機實驗N次，事件出現(xiàn)n次，nN，于是比值n/N就稱為事件發(fā)生的頻率，并且隨著N的增大，該頻率圍繞某一常數(shù)p上下波動，且波動的幅度逐漸減小，趨于穩(wěn)定，則這個穩(wěn)定的頻率值就是概率。記為(5.1.1)因此，概率是指隨機事件發(fā)生的可能性大小。它是定義在樣本空間所有的集合上的實值函數(shù)。是對事件頻率可能觀察到的規(guī)律性所做的數(shù)學概括。因為nN，所以0Pro{|S}1，(5.1.2)對不可能事件V和必然事件U，由于

S，有Pro{=V=

|S}=0，Pro{=U=S|S}=1。(5.1.3)由于→X()，則隨機事件的概率表示一般又為Pro{|S}=Pro{X()|S}=

Pro{X=Xi

|S}；i=1,2,3,..,N(5.1.4).其中，最常見的表示為Pro{X=Xi

|S}；i=1,2,3,..,N.(5.1.5)當前13頁，總共109頁?！?.1.2樣本空間、事件、概率、分布函數(shù)Ch5抽樣與抽樣分布§5.1隨機抽樣(new)概率分布函數(shù)隨機變量X的所有可能結果，與其相應的概率Pro{X()|S}排列，就是X的概率分布。如Pro{X=xi

|S}；i=1,2,3,..,N.(5.1.6)定義：由X所決定的概率函數(shù)Pro{X()|S}為一個分布函數(shù)，記為F(x)=Pro{Xx}.(5.1.7)其中：x表示Xi中的任何一個值，它既表示X的所有可能變化范圍，又表示樣本觀察值的全集；Xx表示一個X在一個相對固定的數(shù)量集x上的變化；而F(x)則表示X的概率在某個范圍Xx上的連續(xù)累積，它反映了X在某個值域上的概率變化規(guī)律，是對隨機變量X統(tǒng)計規(guī)律性的完整描述。當前14頁，總共109頁。概率分布函數(shù)（續(xù)）當X是分離的值時，F(xiàn)(x)是離散分布函數(shù)，離散分布函數(shù)表示為(5.1.8)如果X是連續(xù)的變量，F(xiàn)(x)則是連續(xù)分布函數(shù)，F(xiàn)(x)為(5.1.9)其中，f(X)是連續(xù)分布函數(shù)的概率密度函數(shù)。對于一個具體的分布函數(shù)F(x)，決定F(x)值的因素，除了隨機變量X外，還有分布的參數(shù)，是決定分布形狀的重要指標，因此，分布函數(shù)常常又表示為F(x;)。比如(5.1.10)返回當前15頁，總共109頁?！?.1.3隨機抽樣Ch5抽樣與抽樣分布§5.1隨機抽樣(new)所謂抽樣{X1,X2,X3,…,Xn}就是從總體中按一定的抽樣技術抽取若干個體，所抽取的若干個體稱為一個樣本；樣本的抽取過程就稱為抽樣。樣本中所含個體的數(shù)量稱為樣本容量。樣本中每個個體的值就叫樣本觀察值。其一般數(shù)量表示是：設X1,X2,X3,…,Xn是從總體X得到的一個容量為n的簡單樣本；如果X是具有分布函數(shù)F的隨機變量，則樣本X1,X2,X3,…,Xn就是一個具有同一分布F的、相互獨立的隨機變量，隨機變量組X1,X2,X3,…,Xn就為從總體X得到的容量為n的簡單隨機樣本；樣本的觀察值x1,x2,x3,…,xn稱為樣本值，又稱為X的n個獨立的觀察值。當前16頁，總共109頁?！龀闃樱ɡm(xù)）因此，若X1,X2,X3,…,Xn為F的一個樣本，則X1,X2,X3,…,Xn的聯(lián)合分布函數(shù)為(5.1.11)如果X具有概率密度f，則X1,X2,X3,…,Xn的聯(lián)合概率密度函數(shù)為(5.1.12)這個結論，從分布的特征表示角度理解，就是樣本與總體應該具有相似性與獨立性。抽樣的目的是為了推斷總體的某些重要特征，即利用樣本推測總體分布特征和分布函數(shù)。具體地說，就是求F(x；)和?！?.1.3隨機抽樣Ch5抽樣與抽樣分布§5.1隨機抽樣(new)返回當前17頁，總共109頁?！鰳颖窘y(tǒng)計量樣本是進行統(tǒng)計推斷的依據(jù)。在應用時，往往不是直接使用樣本本身，而是針對不同的問題構造樣本的函數(shù)，利用這些樣本函數(shù)進行統(tǒng)計推斷。這些與樣本有關的函數(shù)，就是樣本統(tǒng)計量。樣本統(tǒng)計量定義為：設X1,X2,X3,…,Xn是來自總體X的一個樣本，Z(X1,X2,X3,…,Xn)是X1,X2,X3,…,Xn的函數(shù)，若Z是連續(xù)函數(shù)且Z中不含任何未知參數(shù)，則稱Z(X1,X2,X3,…,Xn)是一樣本統(tǒng)計量，簡稱統(tǒng)計量。樣本統(tǒng)計量統(tǒng)一簡記為Zn=Z(X1,X2,X3,…,Xn)。下面列出的是幾個常用的統(tǒng)計量?！?.1.4樣本統(tǒng)計量Ch5抽樣與抽樣分布§5.1隨機抽樣(new)當前18頁，總共109頁。理論公式觀察值樣本平均數(shù)樣本方差樣本標準差樣本k階原點矩樣本k階中心矩樣本成數(shù)§5.1.4樣本統(tǒng)計量當前19頁，總共109頁。■樣本統(tǒng)計量（續(xù)）如果樣本是一個隨機樣本，X1,X2,X3,…,Xn1是一個隨機變量，則樣本統(tǒng)計量也將變成一個隨機變量。樣本統(tǒng)計量Zn=Z(X1,X2,X3,…,Xn)是隨機變量X的函數(shù)。由于樣本統(tǒng)計量是反映總體特征參數(shù)的函數(shù)，它與抽樣有關，因此樣本統(tǒng)計量分布又叫抽樣分布?？梢宰C明，在抽樣條件下，可以用樣本的統(tǒng)計均值去估計總體的期望值E(X)=1，用樣本的統(tǒng)計方差S2去估計總體的方差2，…，等等。1,2是總體參數(shù)的一部分。§5.1.4樣本統(tǒng)計量Ch5抽樣與抽樣分布§5.1隨機抽樣(new)返回當前20頁，總共109頁?！?.2隨機變量的分布§5.2.1隨機變量的分布§5.2.2分布的數(shù)量特征§5.2.3二項分布§5.2.4正態(tài)分布§5.2.5大數(shù)定律與中心極限定理Ch5抽樣與抽樣分布§5.1隨機抽樣(new)§5.2隨機變量的分布(new)§5.3抽樣分布(new)§5.4抽樣方法與抽樣誤差(new)返回當前21頁，總共109頁?！?.2.1隨機變量的分布Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)統(tǒng)計估計的核心問題是求F(x；)和。求F(x；)和就必須掌握X的分布和的分布。的分布又叫參數(shù)分布。這里先了解基本隨機變量X的分布。抽樣分布將在下一節(jié)討論。

F(x；)F(X；

)∴F(X；

)∵=(X)F(X)F(

)隨機變量的分布隨機變量函數(shù)的分布、參數(shù)分布、抽樣分布。n,N比較小時，可列出?！郌(

)n,N比較大時，可求出精確分布或者極限分布。當前22頁，總共109頁?！?.2.1隨機變量的分布Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)設X是一個隨機變量，x是一個任意實數(shù)，則由(5.1.7)所定義的函數(shù)F(x)=Pro{Xx}.(5.2.1)就為X的分布函數(shù)。對于任意的實數(shù)x1，x2，我們有Pro{x1<Xx2

}=Pro{Xx2

}-Pro{Xx1

}(5.2.2)=F(x2)-F(x1).因此，只要知道X的分布函數(shù)，就可知道落在任一區(qū)間(x1，x2)上的概率。如果將X看成是數(shù)軸上隨機點的坐標，那么，F(xiàn)(x)在x處的函數(shù)值就表示X落在區(qū)間(-∞，x)上的概率。當前23頁，總共109頁?！?.2.1隨機變量的分布Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)顯然，對于離散型隨機變量，有(5.2.3)對于連續(xù)型隨機變量，有(5.2.4)其中，f(X)是連續(xù)分布函數(shù)的概率密度函數(shù)。并且由(5.1.10)有最典型的分布，離散型為二項分布，連續(xù)型為正態(tài)分布。返回當前24頁，總共109頁。§5.2.2分布的數(shù)量特征■分布的數(shù)量特征就是指分布F(x；)的參數(shù)。分布參數(shù)是決定分布形狀及分布特征的重要指標。常用的參數(shù)指標有：數(shù)學期望，方差，…?！鰯?shù)學期望設離散型隨機變量X的分布律為Pro{X=Xi

}=Pi；i=1,2,3,...(5.2.5)如果級數(shù)絕對收斂，則稱級數(shù)的和為離散型隨機變量X的數(shù)學期望，記為E(X)，即(5.2.6)Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)當前25頁，總共109頁?！?.2.2分布的數(shù)量特征■數(shù)學期望（續(xù)）設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)，若積分絕對收斂，則稱積分的值為連續(xù)型隨機變量X的數(shù)學期望，記為E(X)，即(5.2.7)數(shù)學期望簡稱為期望，又稱為均值。Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)當前26頁，總共109頁?！?.2.2分布的數(shù)量特征■方差設X是一隨機變量，如果E{[X-E(X)]2}存在，則稱E{[X-E(X)]2}為X的方差，記為D(X)或者Var(X)，即D(X)=Var(X)=E{[X-E(X)]2}.(5.2.8)D(X)刻畫了X的取值與其數(shù)學期望的偏離程度。如果X取值比較集中，則D(X)較小，反之，則D(X)比較大。因此，D(X)是衡量X取值分散程度的一個尺度。有D(X)=E(X2)-[E(X)]2.(5.2.9)對D(X)開平方根，記為(X)，(5.2.10)(X)稱為標準差或均方差。(X)是與隨機變量具有相同量綱的量。Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)當前27頁，總共109頁。§5.2.2分布的數(shù)量特征Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)協(xié)方差與相關系數(shù)如果X,Y不是相互獨立，而是存在一定的關系，E{[X-E(X)]·[Y-E(Y)]}≠0.，則稱E{[X-E(X)]·[Y-E(Y)]}為的X與Y的協(xié)方差。記為Cov(X,Y)，即

Cov(X,Y)=E{[X-E(X)]·[Y-E(Y)]}.(5.2.11)而(5.2.12)稱為隨機變量X與Y的相關系數(shù)。

XY也是一個無量綱的量。可以證明Cov(X,Y)=E(X·Y)-E(X)·

E(Y).(5.2.13)0|

XY|1.(5.2.14)XY是一個表征X與Y之間線性相關程度的量。當|XY|較大時，X,Y線性相關程度較好；當|XY|較小時，X,Y線性相關程度較差；當|XY|=0時，X,Y線性不相關；當|XY|=1時，X,Y之間以概率1存在線性相關關系。當前28頁，總共109頁?！?.2.2分布的數(shù)量特征■矩設X與Y是隨機變量，如果E(Xk)；k=1,2,….(5.2.15)存在，稱它為X的k階原點矩，簡稱為k階矩。若E[X-E(X)]k；k=1,2,….(5.2.16)存在，稱它為X的k階中心矩。如果E(XkYl)；k,l=1,2,….(5.2.17)存在，稱它為X和Y的k+l階混合矩。若E[X-E(X)]k·E[Y-E(Y)]l；k,l=1,2,….(5.2.18)存在，稱它為X和Y的k+l階混合中心矩。顯然，E(X)是X的一階原點矩，D(X)是X的二階中心矩，Cov(X,Y)是X與Y的1+1階混合中心矩。Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)當前29頁，總共109頁?！?.2.2分布的數(shù)量特征■位置表征滿足不等式Pro{Xx}p，Pro{Xx}1-p；(0<p<1)(5.2.19)的x值為p階分位數(shù)，記為xp。如果隨機變量X是連續(xù)型的，那么p階分位數(shù)就是滿足方程F(x)=Pro{Xx}=p；(5.2.20)的x值?？赡苡袔讉€x值滿足不等式(5.2.19)或者方程(5.2.20)。這時每一個數(shù)值都稱為p階分位數(shù)。通常較小的稱為p階下分位數(shù)，較大的稱為p階上分位數(shù)。例如，p=1/2，x1/2稱為1/2分位數(shù)；p=1/4，x1/4稱為1/4分位數(shù)。分位數(shù)及它的函數(shù)通稱為位置表征。Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)返回當前30頁，總共109頁?！?.2.3二項分布■設有n次試驗，各次試驗是彼此獨立的，每次實驗事件A出現(xiàn)的概率都是P，事件A不出現(xiàn)記為ā，它的概率都是q=1-P，這種重復試驗叫做重復實驗。■在n次重復試驗中，如果事件A出現(xiàn)X=0,1,2,…,n次的概率，依次為二項展開式(P+q)n=Cn0Pn+Cn1Pn-1q+Cn2Pn-2q2+…..+Cnn-1P1qn-1+Cnnqn.的各相應項，即(5.2.21)則這個概率分布就叫二項分布。Bernoulli最先研究了這個分布，所以又叫Bernoulli分布?！龆椃植己唵斡洖閄~b(x；n，P)；b(x；n，P)=CnxPxqn-x。

Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)當前31頁，總共109頁。§5.2.3二項分布■二項分布（續(xù)）二項分布的數(shù)值，取決于試驗的次數(shù)n和每次事件A出現(xiàn)的概率P。如果n=1，則二項分布就是二點分布。二點分布是二項分布的特例，X只能是0,1記為X~b(x；1，P)。二項分布的分布函數(shù)為(5.2.22)其期望值和方差為E(X)=nP；D(X)=nPq；(5.2.23)Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)當前32頁，總共109頁。x值域(0,1,2,3,….n)密度函數(shù)CDF分布函數(shù)PDF期望值E(x)np方差D(x)np(1-p)偏度skew(1-2p)(np-np2)1/2峰度kurt3+(1-6p+6p2)/(np-np2)矩母函數(shù)MGF特征函數(shù)CF二項分布Binomialx;n,p當前33頁，總共109頁?！?.2.3二項分布■二項分布（續(xù)）特別地，當P很小，n為極大，nP恒定保持為一個常數(shù)，nP=時，有(5.2.24)但當n為極大，P不是很小，則為(5.2.25)它表示，如果X表示在n次獨立試驗中成功的次數(shù)，P為每單一試驗成功的概率，則當試驗次數(shù)無限增大時，在P很小或者不是很小時，變量X的分布分別趨近于兩種不同的分布：前者為泊松分布；后者則是正態(tài)分布。Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)當前34頁，總共109頁?！?.2.3二項分布■二項分布（續(xù)）Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)圖5－2二項分布密度與分布函數(shù)P(x)xx二項分布函數(shù)二項分布密度F(x)n=10,P=0.50123456789100.20.30.2n=10,P=0.5000.10.61012345678910返回當前35頁，總共109頁?！?.2.4正態(tài)分布Normal

■如果隨機變量X是一個連續(xù)變量，且X的概率密度為(5.2.26)則稱X服從正態(tài)分布N(,2)；簡記為X~N(,2)?？梢宰C明：E(X)=

；D(X)=2

；Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)圖5－3正態(tài)分布密度與分布函數(shù)f(X)X0x0正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布密度F(x)=0.5=2=110.5當前36頁，總共109頁?！?.2.4正態(tài)分布■正態(tài)分布N(,2)f(X)的圖形呈對稱鐘形，對稱軸為X=；f(X)的最大值在X=，在X=有拐點；當X→∞時，曲線以X軸為漸近線。當大時，曲線平緩；當小時，曲線陡峭。如果=0,2=1，則N(0,1)就稱為標準正態(tài)分布。它的概率密度為(5.2.27)

Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)當前37頁，總共109頁?！?.2.4正態(tài)分布■正態(tài)分布（續(xù)）如果X~N(,2)，則X的分布函數(shù)可表示為(5.2.28)因為只要令Z=(X-)/，z=(x-)/，就有(5.2.29)則證明，如果X~N(,2)，則隨機變量Z=(X-)/~N(0,1)。Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)當前38頁，總共109頁?！?.2.4正態(tài)分布■正態(tài)分布（續(xù)）進一步，令(5.2.30)容易得，

(-x)=1－(x)。已經(jīng)編制了(x)的函數(shù)表在附表，供查用。■于是正態(tài)分布函數(shù)可表示為Pro(Xx)=(x)?！隹梢宰C明，正態(tài)分布N(,2)的E(X)=，D(X)=2?！鲲@然，當n為極大，P不是很小，如果二項分布的極限分布是正態(tài)分布，則其平均數(shù)為nP、方差為nP(1-P)。Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)當前39頁，總共109頁?！?.2.4正態(tài)分布圖5－4標準正態(tài)分布與上分位點f(Z)Z0Z0正態(tài)分布上分位點標準正態(tài)分布1-Zf(z)由N(0,1)分布圖形的對稱性質知：1-分位點Z1-=-Z，N(0,1)分布的分位點Z可查表求得!當前40頁，總共109頁。數(shù)理統(tǒng)計標準正態(tài)分布表Z(Z)Z(Z)Z(Z)0.000.5000001.100.8643342.000.9772500.100.5398281.200.8849302.100.9821360.200.5792601.300.9031992.200.9860970.300.6179111.400.9192432.300.9892760.400.6554221.500.9331932.400.9918020.500.6914621.600.9452012.500.9937900.600.7257471.640.9494972.600.9953390.700.7580361.700.9554352.700.9965330.800.7881451.800.9640702.800.9974450.900.7881451.900.9712842.900.9981341.000.8413451.960.9750023.000.998650當前41頁，總共109頁。統(tǒng)計學(p385)標準正態(tài)分布表返回Z/2F(Z/2)Z/2F(Z/2)Z/2F(Z/2)0.000.0000001.100.7286682.000.9545000.100.0796561.200.769862.100.9642720.200.1585201.300.8063982.200.9721940.300.2358221.400.8384862.300.9785520.400.3108441.500.8663862.400.9836040.500.3829241.600.8904022.500.9875800.600.4514941.640.8989942.600.9906780.700.5160721.700.9108702.700.9930660.800.5762901.800.9281402.800.9948900.900.5762901.900.9425682.900.9962681.000.6826901.960.9500043.000.997300當前42頁，總共109頁。x變化范圍分布密度函數(shù)伽瑪分布(0,)貝塔分布(0,+1)對數(shù)正態(tài)分布2(0,)指數(shù)分布Exponential(0,)拉普拉斯分布Laplace(,)極值分布ExtremeValue(,)邏輯分布Logistic(0,1)(,)雙曲正割分布Sech(0,1)(,)柯西分布Cauchy(0,1)(,)補充：若干連續(xù)分布當前43頁，總共109頁。X值域(0,)密度函數(shù)CDF分布函數(shù)PDF期望值E(x)方差D(x)2偏度skew21/2峰度kurt3+6矩母函數(shù)MGF特征函數(shù)CF伽瑪分布x;當前44頁，總共109頁。X值域(0,1)密度函數(shù)CDF分布函數(shù)PDF期望值E(x)(+)方差D(x)(+)-2(++1)-1偏度skew2(-)(++1)1/2(++2)-2()-1/2峰度kurt比較復雜矩母函數(shù)MGF特征函數(shù)CF比較復雜貝塔分布x;當前45頁，總共109頁。X值域(0,1)密度函數(shù)CDF分布函數(shù)PDF期望值E(x)12方差D(x)1/8偏度skew0峰度kurt3/2矩母函數(shù)MGF特征函數(shù)CF比較復雜反正弦分布Arcsine

當前46頁，總共109頁。X值域(-,)密度函數(shù)CDF分布函數(shù)PDF期望值E(x)方差D(x)2偏度skew0峰度kurt3矩母函數(shù)MGF特征函數(shù)CF正態(tài)分布Nx;2當前47頁，總共109頁。X值域(0,)密度函數(shù)CDF分布函數(shù)PDF期望值E(x)exp2方差D(x)exp2exp2偏度skewexp2+2exp21/2

峰度kurtexp42+2exp32+3exp22-3矩母函數(shù)MGF比較復雜特征函數(shù)CF對數(shù)正態(tài)分布x;2當前48頁，總共109頁。X值域(0,)密度函數(shù)CDF分布函數(shù)PDF期望值E(x)1方差D(x)1/2偏度skew2峰度kurt9矩母函數(shù)MGF特征函數(shù)CF指數(shù)分布Exponential當前49頁，總共109頁。X值域(-,)密度函數(shù)CDF分布函數(shù)PDF期望值E(x)0方差D(x)2/2偏度skew0峰度kurt6矩母函數(shù)MGF特征函數(shù)CF拉普拉斯分布Laplace當前50頁，總共109頁。X值域(-,)密度函數(shù)CDF分布函數(shù)PDF期望值E(x)-==0.5772…(歐拉數(shù))方差D(x)2偏度skew1.29857..峰度kurt5.4矩母函數(shù)MGF特征函數(shù)CF極值分布ExtremeValue當前51頁，總共109頁。X值域(-,)密度函數(shù)CDF分布函數(shù)PDF期望值E(x)0方差D(x)23偏度skew0峰度kurt4.2矩母函數(shù)MGF特征函數(shù)CF邏輯分布Logistic(0,1)當前52頁，總共109頁。X值域(-,)密度函數(shù)CDF分布函數(shù)PDF期望值E(x)0方差D(x)24偏度skew0峰度kurt5.0矩母函數(shù)MGF特征函數(shù)CF雙曲正割分布Sech(0,1)當前53頁，總共109頁。X值域(-,)密度函數(shù)CDF分布函數(shù)PDF期望值E(x)0方差D(x)1/(-3),>3偏度skew0峰度kurt3+6/(-5),>5矩母函數(shù)MGF特征函數(shù)CF比較復雜StudentZ()分布當前54頁，總共109頁。X值域(-,)密度函數(shù)CDF分布函數(shù)PDF期望值E(x)不存在方差D(x)不存在偏度skew不存在峰度kurt不存在矩母函數(shù)MGF不存在特征函數(shù)CF柯西分布Cauchy(0,1)返回當前55頁，總共109頁?！?.2.5大數(shù)定律與中心極限定理■大數(shù)定律是反映算術平均數(shù)穩(wěn)定性與頻率穩(wěn)定性的定律。它們由以下三組定理組成：定理一契比雪夫定理特例。定理二貝努利定理。定理三辛欽定理。是隨機變量函數(shù)的分布的基礎。

Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)當前56頁，總共109頁?！?.2.5大數(shù)定律與中心極限定理■定理一契比雪夫定理特例。設隨機變量X1,X2,X3,…,Xn,…相互獨立，且具有相同的數(shù)學期望和方差，E(Xi)=，D(Xi)=2，i=1,2,..。作前n個隨機變量的算術平均(5.2.31)則對于任意的正數(shù)ε有(5.2.32)或者表達為：設隨機變量X1,X2,X3,…,Xn,…相互獨立，且具有相同的數(shù)學期望和方差，E(Xi)=，D(Xi)=2，i=1,2,..。則序列Yn依概率收斂于。記為(5.2.33)Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)當前57頁，總共109頁?！?.2.5大數(shù)定律與中心極限定理■定理二貝努利定理。設nA是n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)。P是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)ε有(5.2.34)在抽樣統(tǒng)計里，nA/n也叫抽樣成分數(shù)，簡稱為成數(shù)。■定理三辛欽定理。設隨機變量X1,X2,X3,…,Xn,…相互獨立，服從相同的分布，且具有數(shù)學期望E(Xi)=，i=1,2,..。則對于任意的正數(shù)ε有

(5.2.35)Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)當前58頁，總共109頁?！?.2.5大數(shù)定律與中心極限定理■中心極限定理在客觀實際中有許多隨機變量，它們是由大量的相互獨立的隨機因素的綜合影響所形成。而其中每一個個別因素，在總體中的影響作用都是很小的。這種隨機變量，往往近似地服從正態(tài)分布。它同樣由3組定理組成：定理一獨立同分布的中心極限定理。定理二Lyapunov中心極限定理。定理三DeMoivre—Laplace定理。

Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)當前59頁，總共109頁?！?.2.5大數(shù)定律與中心極限定理■定理一獨立同分布的中心極限定理。設隨機變量X1,X2,X3,…,Xn,…相互獨立，服從相同的分布，且具有相同的數(shù)學期望和方差，E(Xi)=，D(Xi)=2，i=1,2,..。則隨機變量(5.2.36)的分布函數(shù)Fn(x)，對于任意的x滿足(5.2.37)■Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)當前60頁，總共109頁?！龆ɡ矶﨤yapunov中心極限定理。設隨機變量X1,X2,X3,…,Xn,…相互獨立，它們有數(shù)學期望和方差，E(Xi)=i，D(Xi)=i2，i=1,2,..。記(5.2.38)如果存在正數(shù)，使得當n→∞時，(5.2.39)則隨機變量(5.2.40)的分布函數(shù)Fn(x)，對于任意的x滿足

(5.2.41)即不論X服從什么分布，只要n→∞，隨機變量Zn將近似地服從標準正態(tài)分布。當前61頁，總共109頁。§5.2.5大數(shù)定律與中心極限定理■定理三DeMoivre—Laplace定理。設隨機變量n服從參數(shù)為n,P的二項分布，則對于任意的x，恒有(5.2.42)這個定理表明，正態(tài)分布是二項分布的極限分布。即(5.2.43)在抽樣統(tǒng)計里，n/n也叫抽樣成數(shù)。

Ch5抽樣與抽樣分布§5.2隨機變量的分布(new)返回當前62頁，總共109頁。統(tǒng)計估計的核心問題是求F(x；

)和。求F(x；

)和就必須掌握X的分布和的分布。

的分布又叫參數(shù)分布。在上一節(jié)，我們了解了隨機變量X的分布。在這里了解可列的抽樣分布?？闪械某闃臃植?，就是樣本的所有可能取值與相應的概率組成。F(x；)F(X；

)∴F(X；

)∵=(X)F(X)F(

)隨機變量的分布隨機變量函數(shù)的分布、參數(shù)分布、抽樣分布。n,N比較小時，可列出?！郌(

)n,N比較大時，可求出精確分布或者極限分布?！?.3抽樣分布Ch5抽樣與抽樣分布§5.1隨機抽樣(new)§5.2隨機變量的分布(new)§5.3抽樣分布(new)§5.4抽樣方法與抽樣誤差(new)當前63頁，總共109頁。樣本統(tǒng)計量的分布，統(tǒng)稱為抽樣分布。抽樣分布，就是樣本統(tǒng)計量Zn=Z(X1,X2,X3,…,Xn；

)的分布。樣本統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，它是一隨機變量。在使用統(tǒng)計量進行統(tǒng)計推斷時，常需知道它的分布。對于任意一個給定統(tǒng)計量Zn=Z(X1,X2,X3,…,Xn；

)，其分布的確定，一般有兩種情況：第一種是，當總體的分布函數(shù)已知時，Zn的分布是可精確確定的，但這種情況極少，絕大多數(shù)只能求出它們的極限分布，即樣本數(shù)目n→∞時統(tǒng)計量Zn的漸近分布；另一種是，總體的分布函數(shù)為未知時，只能求出的樣本統(tǒng)計量的極限分布。支持統(tǒng)計量極限分布的理論依據(jù)，是概率函數(shù)序列中的極限定理。下面我們順序給出若干統(tǒng)計量的分布結論，并假定樣本都是簡單隨機樣本，不涉及它們的證明。§5.3抽樣分布當前64頁，總共109頁。§5.3抽樣分布§5.3.1樣本均值分布與中心極限定理§5.3.2樣本成數(shù)的分布§5.3.32分布與2階原點矩的分布

§5.3.4t分布§5.3.5樣本方差的分布與樣本標準差的分布

§5.3.6F分布與兩個樣本方差比的分布§5.3.7樣本相關系數(shù)的分布§5.3.8樣本矩的極限分布Ch5抽樣與抽樣分布§5.1隨機抽樣(new)§5.2隨機變量的分布(new)§5.3抽樣分布(new)§5.4抽樣方法與抽樣誤差(new)返回當前65頁，總共109頁。樣本平均數(shù)的分布（可列的）總體中全部樣本平均數(shù)的可能取值與相應的概率排列。重置抽樣不重置抽樣【例5-1】（p111）總體{34，38，42，46，50}，=42，2=32。重置抽取2個構成樣本。求樣本平均數(shù)的分布。解：重置抽取2個構成樣本，其樣本總數(shù)為C51

C51

=25。其樣本平均數(shù)的全部可能數(shù)據(jù)為Ch5抽樣與抽樣分布§5.3抽樣分布(new)樣本變量3438424650343436384042383638404244423840424446464042444648504244464850§5.3.1樣本均值分布與中心極限定理當前66頁，總共109頁。整理數(shù)據(jù)，可得樣本平均數(shù)的分布。同時得樣本平均數(shù)的期望值和樣本平均數(shù)的方差，以及樣本與總體的關系樣本平均數(shù)頻數(shù)fi頻率3411/253622/253833/254044/254255/254444/254633/254822/255011/25合計251fi343638404244464850當前67頁，總共109頁?！纠?-2】（p115）總體{34，38，42，46，50}，=42，2=32。不重置抽取2個構成樣本。求樣本平均數(shù)的分布。解：不重置抽取2個構成樣本，其樣本總數(shù)為A52

=C51

C41=20。其樣本平均數(shù)的全部可能數(shù)據(jù)為Ch5抽樣與抽樣分布§5.3抽樣分布(new)樣本變量343842465034-363840423836-404244423840-444646404244-485042444648-§5.3.1樣本均值分布與中心極限定理當前68頁，總共109頁。整理數(shù)據(jù)，可得樣本平均數(shù)的分布。同時得樣本平均數(shù)的期望值和樣本平均數(shù)的方差，以及樣本與總體的關系樣本平均數(shù)頻數(shù)fi頻率3622/203822/204044/204244/204444/204622/204822/20合計201fi343638404244464850當前69頁，總共109頁。當n,N比較小時，可得可列的樣本平均數(shù)的分布。但如果n,N非常大時，其樣本平均數(shù)的分布是怎樣的呢？一、精確分布：如果X~N(,2)，X1,X2,X3,…,Xn是X的一個樣本，則樣本平均數(shù)其中重置抽樣不重置抽樣二、中心極限定理(極限分布)：如果X的均值為，方差為2，X1,X2,X3,…,Xn是X的一個樣本，則不論X服從什么分布，只要X存在矩母函數(shù)，總有(5.3.3)并且，當n≥30時，近似服從N(,2/n)。因此，亦可有返回當前70頁，總共109頁?！?.3.2樣本成數(shù)的分布Ch5抽樣與抽樣分布§5.3抽樣分布(new)返回從任一總體成數(shù)為P，方差為P·(1-P)的(0,1)分布中，抽取樣本容量為n的樣本，其樣本成數(shù)p的分布，當樣本單位數(shù)n25時，其分布為二項分布；當n

25時，其分布趨近于平均數(shù)為E(p)=P，標準差為

p的正態(tài)分布。即p~N(P,

p2)其中，當抽樣為簡單重置抽樣時，當抽樣為簡單不重置抽樣時，當前71頁，總共109頁?！?.3.32分布與2階原點矩的分布

■2分布如果X1,X2,X3,…,Xn是來自總體N(0,1)的樣本，則統(tǒng)計量

2=X12+X22+X32+…+Xn2(5.3.4)服從自由度為n的2分布，記為2~2(n)。其中，自由度是指獨立變量的個數(shù)。

2分布的概率密度為(5.3.5)f(y=2)的圖形如圖5-5所示。Ch5抽樣與抽樣分布§5.3抽樣分布(new)當前72頁，總共109頁。■2分布（續(xù)）2分布的期望值和方差為E(2)=n；D(2)=2n；(5.3.6)Ch5抽樣與抽樣分布§5.3抽樣分布(new)圖5－5

2分布與上分位點f(y)y0y0f(y)2分布n=11-2(n)n=5n=152分布上分位點當前73頁，總共109頁?！?分布（續(xù)）又由于，(5.3.7)于是，可知2分布也是一個特殊的分布。對于給定的正數(shù)，0<<1，則滿足條件(5.3.8)的點2(n)為2(n)分布的上分位點，如圖所示。對于不同的,n，上分位點的值已制成表格，可以查用。例如，對于=0.1,n=25，查表得2(n)=34.382?！霎斍?4頁，總共109頁。統(tǒng)計學(p388)2分布表2(n)

=0.950=0.900=0.500=0.250=0.050=0.025=0.010n=10.0039320.0157910.4549361.32330413.8414555.0239036.634891n=20.1025860.2107211.3862932.77259045.9914767.3777799.210351n=103.9402954.8651789.34181612.54885818.3070320.483223.20929n=157.2609358.54675314.3388518.24508424.995827.4883630.57795n=2010.850812.442619.3374323.82768931.4104234.1695837.56627n=2514.611416.4734124.3365829.33884637.6524940.646544.31401n=3018.4926720.5992429.3360234.79973543.7729546.9792250.89218n=4026.509329.0505239.3353445.61600655.7584959.3416863.69077n=50n=100n=當前75頁，總共109頁?！?.3.32分布與2階原點矩的分布

■2階原點矩的分布如果X1,X2,X3,…,Xn是來自總體N(0,1)的樣本，定義統(tǒng)計量

2=X12+X22+X32+…+Xn2.A2=2/n=(X12+X22+X32+…+Xn2)/n.因為2~2(n)，所以

2/n

=A2~(n/2,n/2)。(5.3.9)于是，2階原點矩的分布的期望值和方差為E(A2)=1；D(A2)=2/n；(5.3.10)顯然，2階原點矩的抽樣平均誤差，是一個與抽樣數(shù)目n有關的數(shù)。但如果X1,X2,X3,…,Xn是來自總體N(0,2)的樣本，則

2~(n/2,1/22).；A2

~(n/2,n/22).(5.3.11)于是有